1、1.1.2 空间向量的数量积运算一知识梳理(1)实数与向量的积与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作a，其长度和方向规定如下：|a|_.当0时，a与向量a方向相同；当0时，a与向量a方向 ；当0时，a0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律(a)_； (ab)_；(12)a_(拓展).两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则ab_若a与b同向，则ab_；若反向，则ab_.特别地，aa_或|a|若为a，b的夹角，则cos _|ab|a|b|二每日一练一、单选题1设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：；.其中正确的个数为（ ）ABCD2已知向量，是
2、平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线l上，则，且是l的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3若均为非零向量，则“”是“与共线”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD2，AC4，则EG2HF2的值是（ ）A5 B10 C12 D不能确定5如图，面，为矩形，连接，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）A与B与C与D与6设为空间的一个标准正交基底，则等于（ ）A7BC23D117已知非零向量不平行，且，则与之间的关系是（
3、）A垂直 B同向共线C反向共线 D以上都可能8在棱长为的正方体中，设，则的值为（ ）ABCD二、多选题9在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，BAD=A1AB=A1AD=，各棱长均为1.则下列命题中正确的是（ ）A不是空间的一个基底BCDBD平面ACC1A110若是空间任意三个向量，下列关系中，不成立的是（ ）ABCD11已知是正方体，以下正确命题有（ ）A；B；C向量与向量的夹角为；D正方体的体积为.12(多选)设是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题正确的是（ ）A BC D三、填空题13若平面向量为单位向量， 空间向量满足，则对任意的实数，的最小值为_14已知，则_15如图，在正
4、方体ABCDA1B1C1D1中，E1，F1两点分别在A1B1，C1D1上，且E1B1A1B1，D1F1D1C1，求BE1与DF1所成角的余弦值16如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，分别是，的中点，则_.四、解答题17如图，在平行四边形中，沿着它的对角线将折起，使与成角，求此时，之间的距离18三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM2A1M，C1N2B1N.设.（1）试用表示向量；（2）若BAC90，BAA1CAA160，ABACAA11，求MN的长.19如图所示，在平行六面体中，ABADA1，ADABBAD60，求：（1）A的长；（2）B的长
5、.20如图，在平行四边形ABCD中，AD4，CD3，BAD120，PA平面ABCD，且PA6求PC的长21如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值22如图所示，已知是所在平面外一点，求证：在平面上的射影是的垂心参考答案|a|；()a；ab；1a2a；ab0；|a|b|；|a|b|；|a|21B对于，正确；对于，向量不能作比值，即错误，错误；对于，设、的夹角为，则，错误；对于，由空间向量数量积的运算性质可得，正确.2B若l平面，则，所以，；反之，若，则，并不能保证l平面3A解：，所以与的夹角为，所以与共线，反之不成立
6、，因为当与共线反向时，所以“”是“与共线”的充分不必要条件，4B如图所示，由三角形中位线的性质可,.所以四边形EFGH是平行四边形，因为，所以 .5A由面，为矩形，A：面，则，而与不一定垂直，不一定有面，故不一定与垂直，所以与数量积不一定为0，符合题意；B：由A知，又且，则面，又面，所以，即与数量积为0，不合题意；C：由上易知，又 且，则面，又面，所以，即与数量积为0，不合题意；D：由上知，而，所以，即与数量积为0，不合题意；6B解：因为为空间的一个标准正交基底，所以，所以7A因为，所以与垂直8B9ACD对于A，由，所以向量共面，所以不是空间的一个基底，故A正确；所以，故B错误；对于C，所以，
7、故C正确；对于D，连接交于点O，连接,由题意可得四边形为菱形，所以，由可得BD平面ACC1A1，故D正确.10ABD由向量加法的平行四边形法则，只有，即时，都有，A不成立；由数量积的运算律有，与不一定相等，B不成立；向量数乘法则，C一定成立；只有共线且时，才存在，使得，D这成立11ABA：两两垂直，且，所以，正确；B：由，所以，正确；C：由正方体性质知：面，而面，即，即向量与向量的夹角为，错误；D：由图知：，正方体的体积不为，错误；12BD解析：因为数量积不满足结合律，故A不正确；由数量积的性质可知B正确，C中结论不一定成立，D运算正确13即，当且仅当取等号即的最小值为1422因为，所以,，故15设，则，且由题意知，所以,所以BE1与DF1所成角的余弦值为16设，则且两两夹角为 所以 ，所以17或因为，所以，因为与成角，所以或因为，所以，所以当时，即；当时，综上，可知，之间的距离为或18（1）；（2）.（1）由题图知，而，（2）由题设条件知，由（1）知，19（1）；（2）.（11112112112116.A.（2）)111211()211211()2.207解：因为，所以，所以故PC的长为721异面直线OA与BC的夹角的余弦值为22证明见解析，平面，由题意可知，平面，同理可证，是的垂心
