1、3.1.1 椭圆及其标准方程一知识梳理条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为椭圆F1、F2为椭圆的焦点|F1F2|为椭圆的焦距|MF1|MF2|2a2a|F1F2|注意若2a|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a|F1F2|，则动点的轨迹不存在点与椭圆的位置关系已知点P(x0，y0)，椭圆1(ab0)，则(1)点P(x0，y0)在椭圆内1；(2)点P(x0，y0)在椭圆上1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外1.二 每日一练一、单选题1已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）A13B12C9D62已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点为坐标
2、原点，则（ ）A1BCD3椭圆的焦点为，上顶点为，若，则（ ）AB2CD34以椭圆的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆的标准方程为（ ）A B C D5已知，“”是“方程表示椭圆”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件6已知两定点，动点满足，则点的轨迹方程是（ ）A B C D7古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且F2AB的周长为32，则椭圆C的方
3、程为（ ）ABCD8已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆，其长轴长为4，焦距为2，则的方程为（ ）AB或CD或二、多选题9方程“”表示焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是（ ）ABCD10已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）A的周长为10 B面积的最大值为C当时，的面积为 D存在点P使得11已知F为椭圆的左焦点，A，B为E的两个顶点.若，则E的方程为（ ）ABCD12已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（ ）AB存在点满足C直线与直线的斜率之积为D若的面积为，则点的横坐标为三、填空题13
4、已知椭圆C：(3b0)的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是椭圆上一点，延长PF2与椭圆交于点A，若|OF1|=|OA|，OF1A的面积为2，则_.14写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆标准方程为_15已知，是椭圆的左右焦点，点P在C上，则的周长为_.16椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，如果的中点在y轴上，那么是的_倍四、解答题17已知P是椭圆上的动点，P到坐标原点的距离的最值之比为，P到焦点的距离的最值之差的绝对值为2.（1）求椭圆C的方程；18已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.（1）求动点的轨迹的方程；19已知双曲线的焦点为椭圆的长轴端点，且椭圆
5、E的离心率为（1）求椭圆E的标准方程；20椭圆的左、右焦点分别为、，焦点、和原点将椭圆的长轴恰好四等分，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；21已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点.（1）求椭圆的方程；22已知椭圆：的左右顶点分别为和，点是椭圆上与不重合的动点，且的斜率之积为.（1）求椭圆的标准方程；参考答案1C由题，则，所以（当且仅当时，等号成立）2A设，由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，即，即，解得，所以，即点与椭圆的上顶点重合，所以.3C由条件可知是等边三角形，即，即，且，解得：,4C解：由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则，椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即，则，.则椭圆的标
6、准方程为：.5B解：若方程表示椭圆，则，解得且，所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，6D， ，7B焦点F1，F2在y轴上，可设椭圆标准方程为，由题意可得，即，F2AB的周长为32，4a32，则a8，故椭圆方程为8D因椭圆中心在原点，其长轴长为4，焦距为2，则，当椭圆的焦点在轴上时，椭圆方程为：，当椭圆的焦点在轴上时，椭圆方程为：9CD解：由已知把椭圆的方程化为标准方程为：，即，因为椭圆的焦点在y轴上，则，解得，故焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是C，D，10AB由椭圆的方程可得的周长为，故A正确当点位于短轴端点时，的面积最大，最大值为，故B正确当时，由余弦定理可得所以，所以，可得
7、所以的面积为，故C错误设，则由可得，从而可得解得，不成立，故D错误11ACD仅有4种情况符合条件，即A为右顶点时，B为左顶点或上、下顶点；A为上顶点时，B为左顶点；当A为右顶点时，B为左顶点，此时，解得，椭圆方程为，故D正确；当A为右顶点时，B为上或下顶点，此时，解得，椭圆方程为，故A正确；A为上顶点时，B为左顶点时，此时，解得，椭圆方程为，故C正确；12CD由椭圆方程知：，A：，错误；B：当在椭圆上下顶点时，即最大值小于，错误；C：若，则，有，而，所以，即有，正确；D：若，的面积为，即，故，代入椭圆方程得，正确；13或因为|OF1|=|OA|，所以,所以OF1A的面积，所以，由椭圆的定义可得
8、，所以或，设，则，当时，由勾股定理得,即，解得；当时，由勾股定理得，解得；综上，或.14（答案不唯一）不妨设椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为因为长轴长等于离心率8倍，故，即不妨令，则，所以满足条件的一个椭圆方程为.1510由椭圆方程知，在椭圆上，所以165由题得，由题得轴，当时，所以,所以,所以是的5倍.17（1）；（1）由P到坐标原点的距离的最值之比为，得，所以.由P到焦点的距离的最值之差的绝对值为2，得，所以.又，所以.所以椭圆C的方程为.18（1）；解：（1），则，则动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为，可知，轨迹的方程为；19（1）；解析（1）由题意可得双曲线的焦点为，故，由此可得，故，所以椭圆的标准方程为20（1）；（1）设椭圆的焦点距为，由焦点，和原点将椭圆长轴四等份点有，可得椭圆方程为代入点的坐标有，可得故椭圆的标准方程为.21（1）；（1）解：由椭圆定义知：，所以，又，因此椭圆方程为.22（1）；解：（1）设，则，所以，因为，所以，所以椭圆的方程为.
