1、3.3.2 抛物线的简单几何性质一知识梳理抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0与焦点弦有关的常用结论(以图为依据)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)y1y2p2，x1x2.(2)|AB|x1x2p(为直线AB的倾斜角)(3)为定值.二 每日一练一、单选题1已知抛物线上一点
2、到焦点F的距离，则（ ）A1B2C4D52已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点，的重心为点，则点到直线的距离的最小值为（ ）A2BCD3以轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（ ）A B C或 D或4已知直线ykxt与圆x2(y1)21相切且与抛物线C：x24y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是（ ）A(，3)(0，) B(，2)(0，)C(3，0) D(2，0)5在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于、两点若，则直线的方程为（ ）AB CD6抛物线的焦点为F，在C上有一点P，PF的中点M到C的准
3、线l的距离为（ ）A6B8C4D17过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若的倾斜角为，则线段的中点到轴的距离是（ ）ABCD8已知抛物线C的焦点在x轴的正半轴上，顶点为坐标原点，若抛物线上一点M(2，m)满足|MF|6，则抛物线C的方程为（ ）Ay22x By24x Cy28x Dy216x二、多选题9设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为（ ）A为定值B直线过抛物线的焦点C最小值为16D到直线的距离最大值为410已知抛物线：的焦点为，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）A的准线方程：B若直线过点，则C若，则线段的中点到轴的距离为D若，则11(多选)设抛物线的焦点为.点在轴
4、上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离为，则点的坐标为ABCD12(多选)已知抛物线C：x22py，若直线y2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为（ ）Ax24y Bx24y Cx22y Dx22y三、填空题13过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x24，则|PQ|_.14抛物线的焦点为椭圆1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为_15若三个点中恰有两个点在抛物线上，则该抛物线的方程为_.16已知点，过抛物线上一点P作的垂线，垂足为B，若，则_四、解答题17已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为，F为抛物线C的焦点，点P
5、为直线上任意一点，以P为圆心，PF为半径的圆与抛物线C的准线交于A、B两点，过A、B分别作准线的垂线交抛物线C于点D、E.（1）求抛物线C的方程；（2）证明：直线DE过定点，并求出定点的坐标.18如图，已知抛物线：，点为抛物线上一点，过点的圆与轴相切于点，且与抛物线在点处有相同切线，过点的直线交抛物线于点，直线，的斜率分别为，满足.（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）求点到直线的距离的最小值.19在平面直角坐标系中，设点，直线，点在直线上移动，是线段与轴的交点，（1）求动点的轨迹的方程；（2）直线与曲线交于，两点，求证：20过点Q(4，1)作抛物线y28x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB
6、所在直线的方程21已知点，动点满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过抛物线上一点作曲线的两条切线分别交抛物线于，两点，求直线的斜率.22已知点是平面直角坐标系中异于原点的一个动点，过点且与轴垂直的直线与直线交于点，且向量与向量垂直.（1）求点的轨迹方程；（2）设位于第一象限，以为直径的圆与轴相交于点，且，求的值.参考答案1B由抛物线的定义可知，即,点在抛物线上，解得：或（舍去）,2C由题意，抛物线为，可令直线为，若，联立直线与抛物线得且，则，又的重心为点，即，则到直线的，当时，3C设抛物线方程为或，依题意得，代入或得，抛物线方程为或，4A因为直线与圆相切，所以1，即k2t22t.将直线方程代
7、入抛物线方程并整理得x24kx4t0，于是16k216t16(t22t)16t0，解得t0或t3.5B点的坐标为，若直线的斜率不存在，此时，不合题意；若直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程，消去后整理得，有，可得，有，解得，故直线的方程为6A如图，过P作于C，由抛物线的定义可知，故PF的中点M到C的准线l的距离为.7D由题意，抛物线为，则，即直线为，将直线方程代入抛物线整理得：，令，故线段的中点的横坐标为代入直线，得：.线段的中点到轴的距离是.8D设抛物线C的方程为y22px，p0，因为|MF| 2 6，所以p8，所以抛物线C的方程为y216x.9ACD对于A，因为，所以，所以，故A正确；
8、对于B，设直线，代入可，所以，即，所以直线过点，而抛物线的焦点为，故B错误；对于C，因为，当时，等号成立，又直线过点，所以，故C正确；对于D，因为直线过点，所以到直线的距离最大值为4，故D正确.10ACD对于A，由抛物线方程知：，的准线方程为，A正确；对于B，由抛物线方程知，可设直线方程为，代入抛物线方程得：，B错误；对于C，即点到轴的距离为，C正确；对于D，若，则三点共线，又点到直线的距离，（当且仅当时取等号），D正确.11BC设，易知，则，如图所示.则，解得.抛物线方程为，且，又在抛物线上，因此，解得.所以点的坐标为或.12CD解：由，解得：或，则交点坐标为，则，解得：， 则抛物线的方程，
9、136抛物线y24x的焦点为F(1，0)，准线方程为x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x226.14x24y由椭圆方程知，a29，b24，焦点在y轴上，下焦点坐标为(0，c)，其中c.所以抛物线焦点坐标为(0，)，所以抛物线方程为x24y.15由抛物线的对称性知：在上，可得，即抛物线的方程为.故答案为：.167设，可得，由，带入可得：，所以，17（1）；（2）证明见解析，定点.（1）设抛物线的标准方程为，依题意，有，得，抛物线的方程为；（2），设，则，于是圆的方程为，令，得，设，由式得，直线的斜率为，则直线的方程为，即，代入式，有，即，则恒过定点.18（1）焦点坐标，准线
10、方程；（2）.（1）抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标，准线方程；（2）已知，则点处的切线方程：，因为过点的圆与轴相切于点，且与抛物线在点处有相同切线所以，化简得：.由得：设，则由得：，即，所以，由得，所以，直线：，则，上单调递增所以，当时，此时，直线与抛物线相交.19（1）；（2）证明见解析.（1）如图，是线段与轴的交点，直线与轴平行，故是线段的中点，又，故是线段的中垂线，所以，结合知，动点到点的距离等于到直线的距离，故动点的轨迹是开口向右的抛物线，是焦点，是准线，依题意动点不能与重合，所以抛物线的方程为（2）证明：设，联立得，所以，故，故，即204xy150法一：(点差法)设以Q为中点的弦
11、AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有8x1，8x2，(y1y2)(y1y2)8(x1x2)又y1y22，y1y24(x1x2)，即4，kAB4.AB所在直线的方程为y14(x4)，即4xy150法二：由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为yk(x4)1联立消去x，得ky28y32k80，此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标由根与系数的关系得y1y2又y1y22，k4AB所在直线的方程为4xy15021（1）；（2）.（1）设，由，可得：，故动点的轨迹为；（2）由题意知，切线斜率存在且不为，设切线方程为，联立，得，化简得，解得，切线方程为和，联立，解得，.22（1）；（2）.（1）设，则，点的轨迹方程（2）由题意知：，直线倾斜角为，则直线方程为，由得：或，点异于原点，.
