1、选修一 直线和圆的方程-单元复习一、直线与方程知识点一、倾斜角与斜率倾斜角（）：把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角。斜率（K）：已知两点，如果，则直线PQ的斜率为：（）；。随堂练习： 1、已知点，则直线的倾斜角为( ) A B C D2、已知直线经过两点，则直线的倾斜角的取值范围是_.3、已知坐标平面内三点 (1)求直线的斜率和倾斜角；(2) 若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围.知识点二、直线与直线的位置关系平行垂直随堂练习：1、已知直线的倾斜角为，且直线，则直线的斜率为( )A. B. C. D.2、若经过点(m，3)和(2，m)的直线l与斜率为4的
2、直线互相垂直，则m的值是_3、已知直线经过点，直线经过点.(1)当时，试判断直线与的位置关系； (2)若，试求实数的值.知识点三、直线方程名称已知条件方程适用范围一般式二元一次方程系数A、B、C（A、B不同时为0）平面内任意一条直线斜截式（1）直线的斜率k；（2）y轴上的截距b。直线的斜率k存在（反斜截式）（1）直线的斜率k的倒数；（2）轴上的横截距。直线的斜率k的倒数存在点斜式（1）直线的斜率k；（2）直线上一点直线的斜率k存在两点式直线上一点，直线不与坐标轴平行或重合截距式直线在坐标轴上的两截距：横截距与纵截距直线不与坐标轴平行或重合，且不过原点随堂练习：1、直线y=2x+1在x轴上的截距
3、为() A.-B.C.-1D.12、经过P(4,0),Q(0,-3)两点的直线方程是() A.+=1B.+=1 C.-=1D.-=13、已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为12,分别求满足下列条件的直线l的斜截式方程:(1)过定点A(-2,3)且斜率为正. (2)斜率为.4、在ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,求:(1)顶点C的坐标. (2)直线MN的方程.知识点四、直线的交点坐标方程组的解一组无数组无解直线与的公共点一个无数零直线与的位置关系相交重合平行随堂练习：1、若三条直线相交于一点，则( ) A. B. C.2 D.2、已
4、知在平行四边形中，点是边的中点，与交于点.(1)求直线的方程； (2)求点的坐标.知识点五、距离公式（1）中点坐标：点点 则中点；（2）平面点与点：点 点 则；（3）空间点与点：点 点 则（4）平面点与线：点 直线，则（5）平面线于线：直线，直线，则随堂练习：1、原点到直线x2y50的距离为() A1 B. C2 D.2、直线与间的距离为_.3、已知直线过两直线的交点，且两点到直线的距离相等，求直线的方程. 二、圆与方程知识点六、圆的方程名称方程圆心半径标准方程 一般方程参数方程 （为参数）随堂练习：1、圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y+1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3
5、=0,则a的值为()A.0B.1C.2D.32、已知圆x2+y2-2x-8y+1=0的圆心到直线ax-y+1=0的距离为1,则a=.3、已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为,求圆的一般方程.知识点七、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系点与圆的位置关系几何方法判断标准方程判断一般方程判断点在圆外点到圆心的距离点在圆上点到圆心的距离点在圆外点到圆心的距离直线与圆的位置关系几何法代数法直线与圆相离圆心到直线的距离直线与圆相切圆心到直线的距离直线与圆相交圆心到直线的距离圆与圆的位置关系几何法代数法公切线条数外离4外切3相交2内切1内含0随堂练习
6、：1、已知两圆，（1）m取何值时两圆外切？ （2）m取何值时两圆内切？（3）当m=45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长2、设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|= 3、已知点M（1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍（1）求曲线E的方程；（2）已知m0，设直线l：xmy1=0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx+ym=0交曲线E于B，D两点，若CD的斜率为1时，求直线CD的方程课 后 练 习1、在下列四个命题中，正确的共有( )坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 直线的倾斜角的取值范围是 若一条直线的
7、斜率为则此直线的倾斜角为 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 A.0个B.1个 C.2个 D.3个2、如图，已知直线l1的倾斜角是150，l2l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分BAC，则l3的倾斜角为_ （2） （3）3、如图，在菱形中，求对角线与所在直线的斜率. 4、下列说法中正确的有( )若两条直线斜率相等，则两直线平行； 若，则；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行. A.1个B.2个 C.3个D.4个5、直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k24km0的两根，若l1l2，则m
8、_，若l1l2，则m_.6、已知平行四边形中，(1)求点的坐标； (2)试判断平行四边形是否为菱形.7、若3x1-4y1=2,3x2-4y2=2,则经过A(x1,y1)和B(x2,y2)的直线l的方程为.8、已知直线与直线的交点在轴上，则的值为_.9、已知三边所在直线的方程分别为，. (1)判断的形状； (2)当边上的高为1时，求实数的值.10、圆x2+y2=8内有一点P(2,-1),AB为过点P的弦,则AB的中点Q的轨迹方程为.11、若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l1:x-y+4=0和直线l2:x+3y=0都对称,则D=,E=.12、已知圆C：x2+(y1)2=5，直线：mxy+
9、1m=0，（1）求证：对任意mR，直线与圆C总有两个不同的交点（2）设与圆C交于A、B两点，若，求的倾斜角；（3）求弦AB的中点M的轨迹方程；13、已知点P（x，y）在圆x2+y26x6y+14=0上（1）求的最大值和最小值（2）求x2+y2+2x+3的最大值与最小值；（3）求x+y的最大值与最小值直线和圆的方程-单元复习一、直线与方程知识点一、倾斜角与斜率倾斜角（）：把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角。斜率（K）：已知两点，如果，则直线PQ的斜率为：（）；。随堂练习： 1、已知点，则直线的倾斜角为( ) A B C D答案：B 解析：设直线AB的倾斜角为，
10、). 则，.2、已知直线经过两点，则直线的倾斜角的取值范围是_.答案：或 解析：易知直线的斜率存在，设直线的倾斜角为，则，当且仅当，即时，等号成立，又，所以或.3、已知坐标平面内三点 (1)求直线的斜率和倾斜角；(2) 若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围.答案：(1)由斜率公式，得，所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为.(2)如图，当直线由逆时针转到时，直线与线段恒有交点，即在线段上，此时上由增大到，所以的取值范围为.知识点二、直线与直线的位置关系平行垂直随堂练习：1、已知直线的倾斜角为，且直线，则直线的斜率为( )A. B. C. D.答案：C 解析：由题意可得直线的斜率
11、为，由线，得直线的斜率为.2、若经过点(m，3)和(2，m)的直线l与斜率为4的直线互相垂直，则m的值是_答案 解析：由题意可知kl，又因为kl， 所以，解得m.3、已知直线经过点，直线经过点.(1)当时，试判断直线与的位置关系； (2)若，试求实数的值.答案：(1)当时，故.又，从而.(2)，的斜率存在.当时，则，直线的斜存在，不符合题意，舍去.当时，. 故，解得或. 综上，实数的值为3或-4知识点三、直线方程名称已知条件方程适用范围一般式二元一次方程系数A、B、C（A、B不同时为0）平面内任意一条直线斜截式（1）直线的斜率k；（2）y轴上的截距b。直线的斜率k存在（反斜截式）（1）直线的斜
12、率k的倒数；（2）轴上的横截距。直线的斜率k的倒数存在点斜式（1）直线的斜率k；（2）直线上一点直线的斜率k存在两点式直线上一点，直线不与坐标轴平行或重合截距式直线在坐标轴上的两截距：横截距与纵截距直线不与坐标轴平行或重合，且不过原点随堂练习：1、直线y=2x+1在x轴上的截距为() A.-B.C.-1D.1 选A.由直线y=2x+1,令y=0,解得x=-. 所以直线在x轴上的截距为-.2、经过P(4,0),Q(0,-3)两点的直线方程是() A.+=1B.+=1 C.-=1D.-=1选C.因为由点坐标知直线在x轴,y轴上截距分别为4,-3,所以直线方程为+=1.3、已知直线l与两坐标轴围成的
13、三角形的面积为12,分别求满足下列条件的直线l的斜截式方程:(1)过定点A(-2,3)且斜率为正. (2)斜率为.(1)设直线l的方程为y-3=k(x+2)(k0),令x=0,得y=2k+3,令y=0,得x=-2,由题意可得|2k+3|-2|=24,得k=, 故所求直线方程为y=x+6.(2)设直线l的方程为y=x+b,令x=0,得y=b, 令y=0,得x=-2b.由已知可得|b|-2b|=24,解得b=2, 故所求直线方程为y=x+2或y=x-2.4、在ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,求:(1)顶点C的坐标. (2)直线MN的方程
14、.(1)设C(x0,y0), 则AC的中点M, BC的中点N.因为M在y轴上, 所以=0,x0=-5. 因为N在x轴上, 所以=0,y0=-3.即C(-5,-3).(2)因为M,N(1,0), 所以直线MN的方程为+=1, 即5x-2y-5=0.知识点四、直线的交点坐标方程组的解一组无数组无解直线与的公共点一个无数零直线与的位置关系相交重合平行随堂练习：1、若三条直线相交于一点，则( ) A. B. C.2 D.答案：B 由，得，所以两直线的交点为，将代入，得.2、已知在平行四边形中，点是边的中点，与交于点.(1)求直线的方程； (2)求点的坐标.答案：(1)设点的坐标为， 因为在平行四边形中
15、，所以线段所在直线的斜率相等，线段所在直线的斜率相等，则，解得，即.又点是边的中点，所以， 所以直线的方程为，即.(2)因为， 所以直线的方程为， 即.由，得，即点的坐标为.知识点五、距离公式（1）中点坐标：点点 则中点；（2）平面点与点：点 点 则；（3）空间点与点：点 点 则（4）平面点与线：点 直线，则（5）平面线于线：直线，直线，则随堂练习：1、原点到直线x2y50的距离为() A1 B. C2 D.答案D 解析d.2、直线与间的距离为_.答案： 解：因为直线与互相平行，.3、已知直线过两直线的交点，且两点到直线的距离相等，求直线的方程. 答案：由，得，即交点为.当直线的斜率存在时，设
16、直线的方程为，即.由题意得， 解得，所以直线的方程为，即.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意.综上，可知所求直线的方程为或.二、圆与方程知识点六、圆的方程名称方程圆心半径标准方程 一般方程参数方程 （为参数）随堂练习：1、圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y+1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a的值为()A.0B.1C.2D.3选C.由于圆x2+y2-ax-2y+1=0的圆心M,圆x2+y2-4x+3=0的圆心N(2,0),又两圆关于直线x-y+1=0对称,故有1=-1,解得a=2.2、已知圆x2+y2-2x-8y+1=0的圆心到直线ax-y+1=0的距离为
17、1,则a=.圆x2+y2-2x-8y+1=0的圆心C(1,4),因为圆心到直线ax-y+1=0的距离为1,所以d=1,解得a=.3、已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为,求圆的一般方程.圆心C,因为圆心在直线x+y-1=0上,所以-1=0,即D+E=-2,又r=, 所以D2+E2=20, 由可得 或又圆心在第二象限, 所以-0, 所以 所以圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.知识点七、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系点与圆的位置关系几何方法判断标准方程判断一般方程判断点在圆外点到圆心的距离点在圆上点到圆心的距离点在圆外点到圆
18、心的距离直线与圆的位置关系几何法代数法直线与圆相离圆心到直线的距离直线与圆相切圆心到直线的距离直线与圆相交圆心到直线的距离圆与圆的位置关系几何法代数法公切线条数外离4外切3相交2内切1内含0随堂练习：1、已知两圆，（1）m取何值时两圆外切？ （2）m取何值时两圆内切？（3）当m=45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长解析：（1）由已知可得两个圆的方程分别为，两圆的圆心距，两圆的半径之和为，由两圆的半径之和为，可得（2）由两圆的圆心距等于两圆的半径之差为，即，可得（舍去）， 或，解得（3）当m=45时，两圆的方程分别为，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为4x+3y23=0第
19、一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离为，可得弦长为2、设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|= 答案：8 解析：依题意，可设圆心坐标为（a，a）、圆半径为r，其中r=a0，因此圆方程是(xa)2+(ya)2=a2，由圆过点（4，1）得(4a)2+(1a)2=a2，即a210a+17=0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，3、已知点M（1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍（1）求曲线E的方程；（2）已知m0，设直线l：xmy1=0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx+ym=0交曲线E于B，D两点，若
20、CD的斜率为1时，求直线CD的方程解析：（1）设曲线E上任意一点坐标为（x，y），由题意，整理得x2+y24x+1=0，即(x2)2+y2=3，曲线E的方程为(x2)2+y2=3（2）由题知l1l2，且两条直线均恒过点N（1，0），设曲线E的圆心为E，则E（2，0），线段CD的中点为P，则直线EP：y=x2，设直线CD：y=x+t，由，解得点，由圆的几何性质，而，|ED|2=3，解之得t=0，或t=3，直线CD的方程为y=x，或y=x+3课 后 练 习1、在下列四个命题中，正确的共有( )坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 直线的倾斜角的取值范围是 若一条直线的斜率为则此直线的倾斜角为
21、若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 A.0个B.1个 C.2个 D.3个答案：A 解析：由于和x轴垂直的直线的倾斜角为，故此直线没有斜率，故不正确；由于直线的倾斜角不会等于，故不正确；若一条直线的斜率为则此直线的倾斜角为，且，故不正确；若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率不一定为，如时，不存在，故不正确.2、如图，已知直线l1的倾斜角是150，l2l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分BAC，则l3的倾斜角为_ 答案：30因为直线l1的倾斜角为150，所以BCA30，所以l3的倾斜角为(9030)30.3、如图，在菱形中，求对角线与所在直线的斜率. 答案：在菱形中，
22、，所以直线的斜率，直线的斜率.4、下列说法中正确的有( )若两条直线斜率相等，则两直线平行； 若，则；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行.A.1个B.2个C.3个D.4个答案：A 解析：若两条直线斜率相等，则两直线平行或重合，错误； 若，则或两直线的斜率都不存在，错误；易知正确；若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行或重合，错误.故选A.5、直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k24km0的两根，若l1l2，则m_，若l1l2，则m_.答案22 解析由一元二次方程根与系数的关系得k1k2，若l1l2，则1，m2
23、. 若l1l2，则k1k2，即关于k的二次方程2k24km0有两个相等的实根， (4)242m0，m2.6、已知平行四边形中，(1)求点的坐标； (2)试判断平行四边形是否为菱形.答案：(1)设，则， 即，解得， 所以.(2)因为， 所以，所以， 故平行四边形为菱形.7、若3x1-4y1=2,3x2-4y2=2,则经过A(x1,y1)和B(x2,y2)的直线l的方程为.解：由3x1-4y1=2,3x2-4y2=2,可得点A(x1,y1)和点B(x2,y2)都在直线3x-4y-2=0 上,又因为过两点确定一条直线, 故所求直线方程为3x-4y-2=0. 答案:3x-4y-2=08、已知直线与直线
24、的交点在轴上，则的值为_.答案：-4 解析：因为两直线的交点在轴上，且直线与轴的交点是，所以点在直线上，则，解得.9、已知三边所在直线的方程分别为，. (1)判断的形状； (2)当边上的高为1时，求实数的值.答案：(1)直线的斜率为，直线的斜率为，所以，所以直线与互相垂直，因此为直角三角形.(2)由，得，即点坐标为.由点到直线的距离公式，得点到边的距离即BC边上的高为， 所以，即， 解得或.10、圆x2+y2=8内有一点P(2,-1),AB为过点P的弦,则AB的中点Q的轨迹方程为.解：设AB的中点为Q(x,y), 则AB的斜率为k=,又OQAB, 所以kOQk=-1,即=-1,整理得x2+y2
25、+y-2x=0, 所以过点P的弦中点的轨迹方程为x2+y2+y-2x=0.答案:x2+y2+y-2x=011、若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l1:x-y+4=0和直线l2:x+3y=0都对称,则D=,E=.解：由题知直线l1,l2过已知圆的圆心,所以 所以 答案:6-212、已知圆C：x2+(y1)2=5，直线：mxy+1m=0，（1）求证：对任意mR，直线与圆C总有两个不同的交点（2）设与圆C交于A、B两点，若，求的倾斜角；（3）求弦AB的中点M的轨迹方程；解析：（1）由已知直线：y1=m(x1 )，知直线恒过定点P（1，1）12=15，P点在圆C内 则直线与圆C总有两个不同的交
26、点（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）， 则x1、x2为方程组的两个实根，m2=3，的倾斜角或（3）C（0，1）、P（1，1），|CM|2+|PM|2=|CP|2，设M（x，y），x2+(y1)2+(x1)2+(y1)2=1整理得轨迹方程为：x2+y2x2y+1=0（x1）13、已知点P（x，y）在圆x2+y26x6y+14=0上（1）求的最大值和最小值（2）求x2+y2+2x+3的最大值与最小值；（3）求x+y的最大值与最小值解析：方程x2+y26x6y+14=0，变形为(x3)2+(y3)2=4（1）表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然PO与圆相切时，斜率最大或最小设切线方程为y=k
27、x，即kxy=0，由圆心C（3，3）到切线的距离等于半径长2，可得，解得，所以，的最大值为，最小值为（2）x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2，它表示圆上的点P到E（1，0）的距离的平方再加2，所以，当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点P与点E距离的最大值为|CE|+2，点P与点E距离的最小值为|CE|2，又，所以x2+y2+2x+3的最大值为(5+2)2+2=51，最小值为(52)2+2=11（3）设x+y=b，则b表示动直线y=x+b与圆(x3)2+(y3)2=4相切时，b取最大值或最小值圆心C（3，3）到切线x+y=b的距离等于圆的半径长2，则，即，解得，所以x+y的最大值为，最小值为
