1、2021-2022学年高二数学同步测试卷（人教A版（2019）第一单元 空间向量与立体几何一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在下列结论中：若向量共线，则向量所在的直线平行；若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；若三个向量两两共面，则向量共面；已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得其中正确结论的个数是（ ）A0B1C2D32在长方体中，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）ABCD3设平面与平面的夹角为，若平面的法向量分别为，则( )ABCD4如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA平
2、面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为（）ABCD5若是空间的一个基底，则的值分别为（ ）ABCD6如图，四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，则=（ ）ABCD7如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）ABCD8如图所示，在正方体中，点P是底面内（含边界）的一点，且平面，则异面直线与BD所成角的取值范围为（ ）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9正方体ABCDA1B
3、1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点则（ ）A直线D1D与直线AF垂直B直线A1G与平面AEF平行C平面AEF截正方体所得的截面面积为D点C与点G到平面AEF的距离相等10给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A若，则是钝角B若为直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量C若，则可知D在四面体中，若，则11在以下命题中，不正确的命题有（ ）A是、共线的充要条件B若，则存在唯一的实数，使C对空间任意一点和不共线的三点、，若，则、四点共面D若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底12如图，在三棱柱中，侧棱底面，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结
4、论错误的是（ ）.A当为线段的中点时，平面B当为线段的三等分点时，平面C在线段的延长线上，存在一点，使得平面D不存在点，使与平面垂直三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13三棱锥ABCD中，平面ABC平面BCD，ABBCBD，ABCDBC120，则二面角ABDC的平面角的正切值是_14如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，（1）；（2）；（3）；（4）存在实数，使得则其中正确的结论是_（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）15如图，在正三棱柱中，分别是的中点设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_16已知异面直线m，n的方向向量分别为(2，
5、1，1)，(1，1)，若异面直线m，n所成角的余弦值为，则 的值为 _ 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，在三棱锥PABC中，PA，AB，AC两两垂直，PAABAC3，且D为线段BC的中点（1）证明：BC平面PAD；（2）若，求平面PAB与平面PDE所成角的正弦值18如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，BCAD，点M是棱PD上一点，且ABBC2，ADPA4（1）若PM：MD1：2，求证：PB平面ACM；（2）求二面角ACDP的正弦值；（3）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求MD的长19在等腰梯形ABCD中，ADBC，A
6、BADBC2，E是BC的中点，将BAE沿着AE翻折成B1AE，使平面B1AE平面AECD，M为线段AE的中点（1）求证：CDB1D；（2）求二面角DAB1E的余弦值；（3）在线段B1C上是否存在点P，使得直线MP平面B1AD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，ABC=90，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将ADE折起，使得点A到点P位置，且PEEB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).（1）求证：平面EMN平面PBC；（2）是否存在点N，使得二面角BENM的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.21已知，分
7、别是空间四边形的边，的中点.（1）用向量法证明，四点共面；（2）用向量法证明：平面；（3）设是和的交点，求证：对空间任一点，有.22已知三棱柱中，（1）求证：平面平面；（2）若，在线段上是否存在一点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由参考答案1A【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故错两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故错.三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故错根据空间向量基本定理，需不共面才成立，故错故选:A2D【解析】以点为坐标原点，以所在的直线为轴、轴、
8、轴，建立空间直角坐标系，则，为平面的一个法向量直线与平面所成角的正弦值为故选：D3B【解析】由题意，因平面与平面的夹角与其法向量的夹角相等或互补，所以.故选：B4D【解析】设ACBDO，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设PAADAC1，则BD，且为平面BDF的一个法向量.由，可得平面BCF的一个法向量为.故选：D5A【解析】，由空间向量基本定理，得，即.故选：A.6B【解析】四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，=+=.故选：B7A【解析】因为底面，所以，又，所以以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐
9、标系：则，设异面直线与所成的角为，则.所以异面直线与所成的角的余弦值为.故选：A【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，属于基础题.8C【解析】过A作平面平面，点P是底面内（含边界）的一点，且平面，则平面，即在与平面的交线上，连接，则四边形是平行四边形，平面，同理可证平面，平面平面，则平面即为，点在线段上，以D为坐标原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，则，设，设与BD所成角为，则，当时，取得最小值为0，当或1时，取得最大值为，则.故选：C.9BC【解析】根据题意，假设直线D1D与直线AF垂直，又,平面AEF，所以平面AEF,所以,又,所以,与矛盾，所以
10、直线D1D与直线AF不垂直，所以选项A错误；因为A1GD1F，A1G平面AEFD1，平面AEFD1，所以A1G平面AEFD1，故选项B正确平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，由题得该等腰梯形的上底下底,腰长为，所以梯形面积为，故选项C正确；假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故选项D错误故选：BC10CD【解析】对于A，当时，若，但，不是钝角，所以A错；对于B，当时，不是直线的方向向量，所以B错；对于C，所以C对；对于D，如图，过P作平面ABD交平面于O点，连CO交AB于M，连AO交BC于N，连BO交AC于T，同理为垂心，所以
11、，从而，所以D对；故选：CD.11ABC【解析】对于A选项，充分性：若，则、方向相反，且，充分性成立；必要性：若、共线且方向相同，则，即必要性不成立，所以，是、共线的充分不必要条件，A选项错误；对于B选项，若，则，但不存在实数，使得，B选项错误；对于C选项，对空间任意一点和不共线的三点、，若、四点共面，可设，其中、，则，可得，由于，此时，、四点不共面，C选项错误；对于D选项，假设、共面，可设，由于为空间的一个基底，可得，该方程组无解，假设不成立，所以，构成空间的另一个基底，D选项正确.故选：ABC.12ABC【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则由，所以，.设平面
12、的一个法向量为，则，取，则，所以平面的一个法向量为.假设平面，且，则.因为也是平面的法向量，所以与共线，所以成立，但此方程关于无解.因此不存在点，使与平面垂直，故选：ABC.13-2【解析】解：平面ABC平面BCD，ABBCBD，ABCDBC120，设AB1，作AOBC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，得下列坐标：O（0，0，0），D（，0，0），B（0，0），C（0，0），A（0，0，），显然（0，0，1）为平面BCD的一个法向量，设平面ABD的法向量为（x，y，1）则（x，y，1）=（x，y，1）0（x，y，1）=（x，y，1）0解
13、得x1，y，则显然（0，0，1）为平面BCD的法向量设二面角ABDC大小为，则为钝角，则|cos|，即cos，则sin，则tan2，故答案为：214（1）（3）【解析】解：（1）是线段的中点，正确；（2）取的中点，连接，则，因此不正确；（3），因此正确；（4）、分别是线段、的中点，与平面不平行，不存在实数，使得综上可得：只有（1）（3）正确故答案为：（1）（3）15【解析】解：如图以为坐标原点建立空间直角坐标系：则设，则，设直线与所成角为所以解得，所以，故答案为：16【解析】由，两边平方，化简得67，解得故答案为：17（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：因为ABAC，D为线段BC的中点
14、，所以ADBC又PA，AB，AC两两垂直，且ABACA，所以PA平面ABC，则PABC因为ADPAA，所以BC平面PAD（2）解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，3，0），P（0，0，3），D（，0），可设E（0，t，0），则（0，t，3），（，0），t1，则（，0），（0，13），设平面PDE的法向量为（x，y，z），则，即，令z1，得（-1，3，1）平面PAB的一个法向量为（0，1，0），则则故平面PAB与平面PDE所成二面角的正弦值为18（1）证明见解析；（2）；（3）2【解析】（1）证明：在四棱锥PABCD中，PA平面
15、ABCD，ABAD，BCAD，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，点M是棱PD上一点，PM：MD1：2，ABBC2，ADPA4P（0，0，4），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），M（0，），（2，0，4），（2，2，0），（0，），设平面ACM的法向量，则，取x2，得（2，2，1），440，PB平面ACM，PB平面ACM（2）D（0，4，0），（2，2，4），（0，4，4），设平面CDP的法向量（a，b，c），则，取b1，得（1，1，1），平面ACD的法向量（0，0，1），设二面角ACDP的平面角为，则|cos|，二面角ACDP的正弦值为（3
16、）设，（01），则，平面CDP的法向量，直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，| |，解得，19（1）证明见解析；（2）；（3）存在；【解析】（1）证明：由题意可知四边形ABED是平行四边形，所以AMME，故B1MAE又因为ABBE，M为AE的中点，所以BMAE，即DMAE又因为ADBC，ADCE2所以四边形ADCE是平行四边形所以AECD故CDDM因为平面B1AE平面AECD，平面B1AE平面AECDAE，B1M平面AECD所以B1M平面AECDB1MAE因为CD平面AECD，所以B1MCD因为MDB1MM，MD、B1M平面B1MD，所以CD平面B1MD（2）解：以ME为x轴，MD为y轴，M
17、B1为z轴建立空间直角坐标系，则C（2，0），B1（0，0，），A（1，0，0），D（0，0）平面AB1E的法向量为设平面DB1A的法向量为，因为，所以，令z1得，所以，因为二面角DAB1E为锐角，所以二面角DAB1E的余弦值为（3）解：存在点P，使得MP平面B1AD设在线段B1C上存在点P，使得MP平面B1AD，设，（01），C（2，0），因为所以，因为MP平面B1AD，所以，所以2+0，解得，又因为MP平面B1AD，所以在线段B1C上存在点P，使得MP平面B1AD，.20（1）证明见解析；（2）存在，N为BC的中点.【解析】解：（1）证明：由PEEB，PEED，EBED=E，所以PE平面E
18、BCD，又BC平面EBCD，故PEBC，又BCBE，故BC平面PEB，EM平面PEB，故EMBC，又等腰三角形PEB，EMPB，BCPB=B，故EM平面PBC，EM平面EMN，故平面EMN平面PBC；（2）假设存在点N，使得二面角BENM的余弦值.以E为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PE=EB=2，设N(2，m，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)，设平面EMN的法向量为，由，令，得，平面BEN的一个法向量为，故，解得：m=1，故存在N为BC的中点.21（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）
19、如图，连接，因为，分别是空间四边形的边，的中点，则，则，由共面向量定理的推论知，四点共面；（2）因为.所以，又平面，平面，所以平面；（3）连接，由（2）知，同理，所以，所以交于一点且被平分，所以.22（1）证明见解析；（2）在线段上存在一点，.【解析】（1）在三棱柱中，四边形为平行四边形，所以，四边形为菱形，连接，则，又，且，平面，平面，又，即，平面，平面，平面平面；（2）以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴，面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，、，设在线段上存在一点，满足，使得二面角的余弦值为，则，设平面的一个法向量为，由，取，可得，得，平面的一个法向量为，由，整理可得，即，解得.故在线段上存在一点，满足，使二面角的余弦值为扫码关注学科网数学服务号，获取优质数学教育资源
