1、10.5 曲线与方程,高考数学,考点曲线与方程1.曲线与方程一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的步骤(1)建系建立适当的坐标系;(2)设点设轨迹上的任一点P(x,y);(3)列式列出动点P所满足的关系式;,知识清单,(4)代换依条件式的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x、y的方程式,并化简;(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨
2、迹方程.3.要注意有的轨迹问题包含一定的隐含条件,也就是曲线上点的坐标的取值范围.由曲线和方程的概念可知,在求曲线方程时一定要注意它的完备性和纯粹性,即轨迹若是曲线的一部分,应对方程注明x的取值范围,或同时注明x、y的取值范围.4.“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系,求“轨迹”时先要求出“轨迹方程”,然后再说明方程表示的轨迹图形,最后“补漏”和“去掉增多”的点,若轨迹有不同的情况,应分类讨论,以保证它的完整性.,直接法求轨迹方程如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达,那么我们只需把这种关系“翻译”成含x、y的等式就可得到曲线的轨迹方程.由于这种
3、求轨迹方程的过程不需要其他步骤,也不需要特殊的技巧,所以称之为直接法.例1(2017浙江杭州质检,19)在平面直角坐标系内,已知点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),点P满足?=k|?|2.(1)若k=2,求点P的轨迹方程; (2)当k=0时,若|?+?|max=4,求实数的值.,方法技巧,解题导引(1)利用向量的数量积,得动点坐标的关系式化简得轨迹方程(2)由向量的数量积得动点P的轨迹为圆把|?+?|2化简为关于点P纵坐标的函数对进行分类讨论检验得结论,解析(1)设P(x,y),则?=(x,y-1),?=(x,y+1),?=(1-x,-y).由k=2,得(x,y-1)(x,y+1)=
4、2(1-x)2+(-y)2,化简并整理得(x-2)2+y2=1,故点P的轨迹方程为(x-2)2+y2=1.?(7分)(2)由k=0,得?=0,所以 x2+y2=1.所以|?+?|2=2?+?=2x2+(y-1)2+x2+(y+1)2=(2-22)y+22+2,y-1,1.当2-220,即-11时,(|?+?|max)2=2-22+22+2=416,不合题意,舍去;当2-220,即1或-1时,(|?+?|max)2=22-2+22+2=16,解得=2,符合题意.故实数的值为-2或2.?(15分),评析本题考查向量的数量积运算,用直接法求轨迹方程、条件最值等基础知识,考查运算求解能力和分类讨论思想
5、.,定义法求轨迹方程若所求动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义,则可根据定义直接求出动点的轨迹方程.例2(2016浙江名校交流卷,4)一动圆与圆O:x2+y2=1外切,与圆C:x2+y2-6x+8=0内切,那么动圆的圆心的轨迹是?()A.双曲线的一支B.椭圆C.抛物线 D.圆,A,解题导引利用圆与圆内切、外切的性质得连心线长消去未知量得两连心线长的差为定值由双曲线定义得结论,解析设动圆的圆心为P(x,y),动圆的半径为r,则有|PO|=r+1,且|PC|=r-1,从而有|PO|-|PC|=2,故选A.,相关点法求轨迹方程有些问题中,某动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点
6、)的运动而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法,又叫代入法或坐标代换法.例3已知定点A(1,0)及圆x2+y2=4上的两点P,Q,满足POQ=60(其中O为坐标原点),则PAQ的重心G的轨迹方程为.,解题导引设点的坐标,由条件得横、纵坐标的等量关系由重心坐标公式,用点P,Q的坐标表示重心G的坐标化简得轨迹方程,解析设P(x1,y1),Q(x2,y2),G(x,y),则有?+?=4,?+?=4,又x1x2+y1y2=?=22cos 60=2.而?则(3x-1)2+9y2=(x1+x2)2+(y1+y2)2=12,化简得?+y2=?.PAQ的重心G的轨迹方程为?+y2=?.,答案?+y2=,
