1、3.1椭圆小节练习一、选择题（共12题）已知椭圆 x225+y216=1 上一点 P 到椭圆 一个焦点的距离为 3，则点 P 到另 一焦点的距离为 A2B3C5D7已知椭圆的方程为 x29+y216=1，则此椭圆的长轴长为 A 3 B 4 C 6 D 8 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1ab0，若长轴的长为 6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为 A x236+y232=1 B x29+y28=1 C x29+y25=1 D x216+y212=1 已知椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F2 的直线交椭圆于 P，Q 两点，且 PF1:PQ
2、:QF1=2:3:4，则椭圆的离心率为 A 177 B 1717 C 519 D 176 已知 P 是椭圆 x216+y24=1 上的动点，则 P 到该椭圆两个焦点的距离之和为 A 23 B 4 C 43 D 8 椭圆 x2+y24=1 的焦点坐标为 A 3,0，-3,0 B 0,3，0,-3 C 5,0，-5,0 D 0,5，0,-5 椭圆 x2+y22=1 的左顶点的坐标为 A 1,0 B -1,0 C 2,0 D 2,0 已知椭圆方程为 x216+y29=1，P 为椭圆上任意一点，A，B 为椭圆的焦点，则 A PA+PB=16 B PA+PB=8 C PA-PB=16 D PA-PB=8
3、 已知椭圆 x2m-2+y210-m=1 的焦点在 x 轴上，焦距为 4，则 m 等于 A 8 B 7 C 6 D 5 已知焦点坐标为 0,-4，0,4，且 a=6 的椭圆方程是 A x236+y220=1 B x220+y236=1 C x236+y216=1 D x216+y236=1 设 P 是椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 上的一动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 A 2b B 2a C b D a 若 P 是以 F1，F2 为焦点的椭圆 x225+y29=1 上一点，则 PF1F2 的周长等于 A 16 B 18 C 20 D不确定二、填空题（共6题）若方程 x2+ky
4、2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是 椭圆的长轴长等于 m，短轴长等于 n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 椭圆 x225+y29=1 的短轴长为 椭圆 x2m+y215=1 的焦距等于 2，则 m 的值是 已知椭圆 x2a2+y2b2=1ab0，M 为椭圆上一动点，F1 为椭圆的左焦点，则线段 MF1 的中点 P 的轨迹形状为 已知点 P0,1，椭圆 x24+y2=m（m1）上两点 A，B 满足 AP=2PB，则当 m= 时，点 B 横坐标的绝对值最大三、解答题（共4题）双曲线 C:x2a2-y2b2=1a0,b0 的左顶点为 A，右焦点为 F，动点 B 在 C
5、 上当 BFAF 时，AF=BF(1) 求 C 的离心率；(2) 若 B 在第一象限，证明：BFA=2BAF椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab0 的左右焦点分别为 F1-3,0，F23,0，点 A3,12 在椭圆 C 上(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 直线 l:y=kx+m 与椭圆交于 E，F 两点，以 EF 为直径的圆过坐标原点 O，求证：坐标原点 O 到直线 l 的距离为定值已知点 1,e，e,32 在椭圆 C：x2a2+y2b2=1ab0 上，其中 e 为椭圆的离心率，椭圆的右顶点为 D(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 直线 l 过椭圆 C 的左焦点 F 交椭圆 C 于 A，B
6、两点，直线 DA，DB 分别与直线 x=-ae 交于 N，M 两点，求证：NFMF=0已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1ab0 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆 C 上一点，F1PF2=120，PF1=2+3，PF2=2-3(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 求点 P 的坐标答案解析部分一、选择题（共12题）1. 【答案】D【解析】点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=10，10-3=72. 【答案】D【解析】因为椭圆的方程为 x29+y216=1，所以 a=4，b=3，所以此椭圆的长轴长为 2a=8故选：D3. 【答案】B【解析】由题意知 2a=6，2c=136，所以
7、a=3，c=1，则 b=32-12=22，所以此椭圆的标准方程为 x29+y28=14. 【答案】C【解析】设 PF1=2，则 PQ=3，QF1=4，则 PF2=2a-2，QF2=2a-4，所以 2a-2+2a-4=3，解得 a=94，所以 PF2=52在 PF1Q 中，由余弦定理，可得 cosQPF1=22+32-42223=-14在 PF1F2 中，由余弦定理，可得 F1F2=22+522-2252-14=512，则椭圆的离心率为 494=5195. 【答案】D【解析】由椭圆的方程可得 a=4，所以 P 到该椭圆两个焦点的距离之和为 2a=86. 【答案】B7. 【答案】B【解析】椭圆 x
8、2+y22=1 的焦点位于 y 轴，所以左顶点为 -1,0故选B8. 【答案】B【解析】由椭圆的方程 x216+y29=1 知，a2=16，即 a=4，所以由椭圆的定义可知，PA+PB=2a=8，故选B9. 【答案】A【解析】因为椭圆 x2m-2+y210-m=1 的焦点在 x 轴上，所以 10-m0,m-20,m-210-m, 解得 6m10因为焦距为 4，所以 c2=m-2-10+m=4，解得 m=810. 【答案】B【解析】由条件知，椭圆的焦点在 y 轴上，且 c=4，a=6，所以 b2=a2-c2=36-16=20，所以其标准方程为 x220+y236=111. 【答案】B【解析】设椭
9、圆的两个焦点为 F1，F2，点 P 为椭圆上的点，由椭圆的定义有：PF1+PF2=2a12. 【答案】B二、填空题（共6题）13. 【答案】 0kF1O，故由椭圆的定义知点 P 的轨迹是椭圆18. 【答案】 5 【解析】设 Bt,u，由 AP=2PB，易得 A-2t,3-2u因为点 A，B 都在椭圆上，所以 t24+u2=m,4t24+3-2u2=m, 从而有 3t24+3u2-12u+9=0，即 t24+u2=4u-3所以 4u-3=mu=m+34，所以 t24+m+3216=m，所以 t2=-14m2+52m-94=-14m-52+4所以当 m=5 时，t2max=4，即 tmax=2，故
10、当 m=5 时，点 B 横坐标的绝对值最大三、解答题（共4题）19. 【答案】(1) 设双曲线的半焦距为 c，则 Fc,0，Bc,b2a，因为 AF=BF，故 b2a=a+c，故 c2-ac-2a2=0，即 e2-e-2=0，所以 e=2(2) 设 Bx0,y0，其中 x0a,y00因为 e=2，故 c=2a，b=3a，故渐近线方程为：y=3x，所以 BAF0,3，BFA0,23，又 tanBFA=-y0x0-c=-y0x0-2a，tanBAF=y0x0+a，所以 tan2BAF=2y0x0+a1-y0x0+a2=2y0x0+ax0+a2-y02=2y0x0+ax0+a2-b21-x02a2=
11、2y0x0+ax0+a2-3a2x02a2-1=2y0x0+ax0+a2-3x02-a2=2y0x0+a-3x0-a=-y0x0-2a=tanBFA, 而 2BAF0,23，故 BFA=2BAF20. 【答案】(1) 由椭圆定义可知，2a=AF1+AF2=12+14+14=4，又因 c=3，故 a=2从而有 b=1，椭圆 C:x24+y2=1(2) 由 x24+y2=1,y=kx+m, 得 1+4k2x2+8kmx+4m2-4=0，=8km2-41+4k24m2-40，设 Ex1,y1，Fx2,y2，则 x1+x2=-8km1+4k2， x1x2=4m2-41+4k2， OEOF=x1x2+y
12、1y2=1+k2x1x2+kmx1+x2+m2=1+k24m2-41+4k2+km-8km1+4k2+m2=0, 所以，5m2=4+4k2，满足 0， d=m1+k2=m21+k2=255，所以坐标原点的直线 l 的距离为定值 25521. 【答案】(1) 依题意得：1a2+e2b2=1,e2a2+34b2=1, 解得 a2=2，b2=1，所以椭圆 C 的方程为 x22+y2=1(2) 由（）得 ae=2，如图设 Ax1,y1，Bx2,y2，N-2,y3，M-2,y4，把直线 l：x=my-1 代入椭圆方程，得 m2+2y2-2my-1=0，所以 y1+y2=2mm2+2，y1y2=-1m2+
13、2，因为 M，B，D 三点共线，得 y4-2-2=y2x2-2，所以 y4=y2-2-2x2-2=y2-2-2my2-1-2, 同理，由 N，A，D 三点共线，得 y3=y1-2-2my1-1-2, 因为 kNFkMF=y3-2+1y4-2+1=y3y4, 所以把代入得 kNFkMF=y2-2-2my2-1-2y1-2-2my1-1-2=y1y22+22m2y1y2-m1+2y1+y2+1+22=6+42m2+22+2m2-2+m222+3=-1. 所以 NFMF=022. 【答案】(1) 由椭圆的定义得，2a=PF1+PF2=4，所以 a=2在 PF1F2 中，由余弦定理可得，F1F22=PF12+PF22-2PF1PF2cos120，所以 4c2=15，所以 c=152，b2=a2-c2=4-154=14，故椭圆 C 的方程为 x24+4y2=1(2) 设点 Pm,n，由题意可知 m0，因为 SPF1F2=12PF1PF2sin120=122+32-332=122cn, 所以 n=510将点 P 的坐标代入椭圆的方程可得 m24+15=1，解得 m=455，故点 P 的坐标为 455,-510 或 P455,510
