1、人教A版（2019） 选择性必修一 第1章 空间向量与立体几何重 难 点 复 习l 知识梳理一、本节课思维导图二、知识要点梳理1、空间向量的线性运算l 加法交换律：a+b=b+al 加法结合律：a+b+c=a+b+cl 数乘分配律：a+b=a+bRl 数乘结合律：a=aR，Rl 数量积的运算律：n ab=ban ab=abRn ab+c=ab+ac2、共线向量定理l 对空间任意两个向量a、ba=0，b与a共线的充要条件是存在实数，使b=a。l 规定：零向量与任意向量共线。3、共面向量定理l 如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在有序实数组x，y，使得p=xa+yb
2、。4、空间向量基本定理l 如果三个向量e1、e2、e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使p=xe1+ye2+ze35、空间向量的坐标运算设a=x1，y1，z1、b=x2，y2，z2，则l a+b=x1+x2，y1+y2，z1+z2l a-b=x1-x2，y1-y2，z1-z2l a=x1，y1，z1l ab=x1x2+y1y2+z1z26、空间向量的数量积l ab=abcos7、空间向量的夹角cos=abab=x1x2+y1y2+z1z2x12+x22+x32y12+y22+y32l 典型例题题型1 向量的坐标运算例1 （2020年1月苏州市期末阳光测试，第10题
3、，5分，多选）已知向量ab=bc=ac，b=3，0，-1，c=-1，5，-3，下列等式中正确的是（ ）A. abc=bcB. a+bc=ab+cC. a+b+c2=a2+b2+c2D. a+b+c=a-b-c变式训练（2020年1月无锡市期末测试，第10题，5分）正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，则AEAF的值为（ ）A. -2B. 4C. 2D. 1题型2 向量共线问题例2 （2020年1月苏州市期末阳光测试，第13题，5分）已知向量a=1，4，3，b=-2，t，-6，若a/b，则实数t的值为 。变式训练（2020年1月常州溧阳市期末测试，第10题，5分）已知在四面体
4、ABCD中，点M是棱BC上的点，且BM=3MC，点N是棱AD的中点，若MN=xAB+yAC+zAD其中x,y,z为实数，则x+y+z的值是（ ）A. 12B. -12C. 2D. 2题型3 向量垂直问题例3 （2020年1月常州市教育协会期末测试，第7题，5分）已知空间向量m=1,3,x，n=x2,-1,2，则“x=1”是“mn”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件题型4 直线与平面的夹角问题例4 （2020年1月苏州市期末阳光测试，第6题，5分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CD的中点，直线A1E与平面B1BC所成角的正弦值为
5、（ ）A. 12B. 13C. 22D. 32变式训练（2021年1月苏州中学期末测试，第11题，5分，多选）在正三棱锥A-BCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是（ ）A. EF与AD所成角的正切值为32B. EF与AD所成角的正切值为23C. AB与面ACD所成角的余弦值为7212D. AB与面ACD所成角的余弦值为79题型5 线面垂直问题例5 （2020年1月南通市启东中学期末测试，第20题，12分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1。（1）证明：BE平面EB1C1；（2）若AE=A1E，
6、求二面角BECC1的正弦值。题型6 面面垂直问题例6 （2020年1月苏州市期末阳光测试，第21题，12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=t，M是线段EF的中点。（1）求证：AM/平面BDE；（2）若t=1，求二面角A-DF-B的大小；（3）若线段AC上总存在一点P，使得PFBE，求t的最大值。题型7 二面角问题例7 （2020年1月常州市教育协会期末测试，第20题，12分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABAC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=5。（1）求二面角D1-AC-B1的正弦值；（2）点N是线段
7、D1D的中点，点E为线段A1B1上点，若直线NE与平面ABCD所成角的正弦值为36767，求线段A1E的长。题型8 异面直线的夹角问题例8 （2020年1月常州市教育协会期末测试，第11题，5分）如图，在三棱锥C-OAB中，OAOB，OC平面OAB，OA=6，OB=OC=8，点D、E分别为AC，AB的中点，点F在线段BC上若BF=BC，则异面直线EF与OD所成角的余弦值为（ B ）A. -B. C. -D. 变式训练（2020年1月常州溧阳市期末测试，第18题，12分）如图，在正方体ABCD-A1BC1D1中，点E是CD的中点。（1）求D1E与AC1所成的角的余弦值；（2）求EB1与平面AD1
8、E所成的角正弦值。题型9 球的内接几何体问题例9 （2021年1月苏州中学期末测试，第13题，5分）一个球的直径为2，则它的内接正四棱柱侧面积的最大值为 。题型10 几何体的体积问题例10 （2020年1月南通如皋市期末测试，第21题，12分）如图，ABC是边长为3的正三角形，D，E分别在边AB，AC上，且BD=AE=1，沿DE将ADE翻折至ADE位置，使二面角A-DE-C为60。（1）求证：AC平面ADE；（2）求四棱锥A-BDEC的体积。变式训练（2019年1月苏州市期末联考，第9题，5分）九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧
9、棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥如图，在“堑堵”ABC-A1B1C1中，ACBC，若“阳马”B-A1ACC1的体积为20cm，则“堑堵”ABC-A1B1C1的体积为 30 cm。题型11 平面图形的翻折问题例11 （2019年1月苏州市期末联考，第16题，12分）如图，AC，DF分别为正方形ABCD和正方形CDEF的对角线，M，N分别是线段AC，DF上的点，且AM=MC、DN=NF。（1）证明：MN平面BCF；（2）证明：MNDC。课堂练习1、（2020年1月无锡市期末测试，第2题，5分）已知向量a=0,1,1，b=1,-2,1.若向量a+b与向量c=m,2
10、,n平行，则实数n的值是（ ）A. 6B. -6C. 4D. -42、（2020年1月无锡市期末测试，第21题，12分）如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，ABCD，且AB=12，CD=6，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O平面BCO1O，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ/OB。（1）证明：OD平面PAQ；（2）若BE=2AE，求二面角C-BQ-A的余弦值。课后巩固练习一、选择题1、（2020年1月常州溧阳市期末测试，第4题，5分） a=2,2m-3,1，b=-4,2,3n-2.若a/b。则实数mn的值是（ ）A. 2B. 1
11、3C. 2D. 02、（2020年1月南通市启东中学期末测试，第11题，5分，多选）如图,在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中, O为底面正方形的中心, M,N分别为侧棱PA,PB的中点,有下列结论正确的有（ ）A. PD平面OMNB. 平面PCD平面OMNC. 直线PD与直线MN所成角的大小为90D. ONPB3、（2020年1月南通如皋市期末测试，第8题，5分）已知a，b是平面外的两条不同直线，它们在平面内的射影分别是直线a，b(a与b不重合)，则下列命题正确的个数是（ ） 若a/b，则a/b； 若ab，则ab； 若ab，则a/b； 若ab，则ab。A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4
12、、（2020年1月南京秦淮中学期末测试，第3题，5分）若向量a=(0,1,-1),b=(1,1,0)，且(a+b)a，则实数的值是（ ）A. -1B. 0C. -2D. 15、（2020年1月南通如皋市期末测试，第11题，5分，多选）在正三棱锥A-BCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是（ ）A. EF与AD所成角的正切值为32B. EF与AD所成角的正切值为23C. AB与面ACD所成角的余弦值为7212D. AB与面ACD所成角的余弦值为79第2题 第6题二、填空题6、（2020年1月常州溧阳市期末测试，第15题，5分）已知四棱柱ABCD-A1
13、BC1D1的底面ABCD是矩形，AB=5，AD=3，AA1=4，BAA1=DAA1=60，则AC1= 。7、（2019年1月苏州市期末联考，第11题，5分）设m，n是两条不同的直线，、是两个不同的平面下列命题中： 若m，n，则mn； 若m，mn，则n； 若m，则m。正确命题的序号是 。8、（2020年1月南京秦淮中学期末测试，第15题，5分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC1所成角的余弦值是 。9、（2020年1月徐州市期末测试，第14题，5分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=5，则AB1AC1=
14、。三、解答题10、（2020年1月常州溧阳市期末测试，第20题，12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ABAD，BC=233，AB=1，BD=PA=2。（1）求异面直线BD与PC所成角的余弦值；（2）在边BC是否存在一点Q使二面角A-PD-Q的余弦值为3010，若存在请确定点Q的位置，不存在，请说明理由。11、（2020年1月镇江市期末测试，第21题，12分）如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PD底面ABCD，其中PD=DC=2，点E是线段PC的中点。（1）求异面直线AP与BE所成角的大小；（2）若点F在线段PB上，使得二面角F-DE-B的正弦值为33，
15、求点F的位置。12、（2020年1月南通如皋市期末测试，第18题，12分）在直三棱柱ABC-ABC中，AC=BC=1，ACB=90，CC1=2，M，N分别是AB1、BC1上的点，且BM:MA=BN:NC=1:2。（1）求证：MN/平面ACC1A1；（2）求平面MNB1与平面A1B1C1所成锐二面角的余弦值。13、（2020年1月徐州市期末测试，第21题，12分）如图，在三棱锥P-ABC中，已知ACBC，AC=BC=2a，平面PAB平面ABC，点O,D分别是AB,PB的中点，POAB，连接CD。（1）若PA=2a，并异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；（2）若二面角P-PB-C的余弦值的大小为55，求PA的长。
