1、专题3.1 椭圆标准方程及性质 期末滚动复习一、单选题1阿基米德(公元前年公元前年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家,他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为则椭圆的方程为（ ）ABCD2设，是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的最大值为（ ）A14B13C12D103已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）AB6C4D4阿基米德是古希腊著名的数学家物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已
2、知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（ ）ABCD5若用周长为24的矩形截某圆锥，所得截线是椭圆，且与矩形的四边相切设椭圆在平面直角坐标系中的方程为，若的离心率为，则椭圆的方程为（ ）ABCD6已知椭圆方程为的一个焦点是，那么（ ）ABCD7若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为（ ）AB2CD8椭圆的焦距为2，则的值等于（ ）.A5B8C5或3D5或8二、多选题9设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点（在轴左侧），则（ ）A为定值B的周长的取值范围是C当时，为直角三角形D当时，的面积为10(多选)已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过
3、F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1l2，则下列结论正确的有（ ）ABCD11已知是椭圆上一动点，分别是圆与圆上一动点，则（ ）A的最小值为B的最小值为C的最大值为D的最大值为12（多选题）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列结论正确的是（ ）A椭圆和椭圆一定没有公共点BCD三、填空题13已知椭圆，过点作直线l交椭圆C于A，B两点，且点P是AB的中点，则直线l的方程是_.14已知，分别为椭圆的左右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，且，则椭圆的离心率为_.15“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面千米
4、，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面千米，则椭圆形轨道的焦距为_千米.16已知，是椭圆（）的左，右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则与的面积之比为_四、解答题17设点是椭圆上的点，离心率（1）求椭圆的标准方程；（2）设，是椭圆上的两点，且（是定值），则线段的垂直平分线是否过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由18在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，直线与椭圆相交于另一点.（1）求的周长；（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为
5、，若，求点的坐标.19已知椭圆，为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为1（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，其中点P在椭圆C上，O为坐标原点，求的取值范围20已知直线与是分别过椭圆的左，右焦点的两条相交但不重合的动直线与椭圆相交于点A，B，与椭圆相交于点C，D，O为坐标原点直线的斜率分别为，且满足（1）若与x轴重合试求椭圆E的方程：（2）在（1）的条件下，记直线试问：是否存在定点M，N，使得为定值？若存在求出定值和定点M，N的坐标：若不存在，请说明理由21设椭圆过点，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的直线交椭圆于、两点，求弦的中点坐标及22
6、某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽至少是多少米？（结果取整数）（2）如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数）参考数据：，椭圆的面积公式为，其中，分别为椭圆的长半轴和短半轴长.参考答案1A【解析】解：由题意，设椭圆C的方程为，因为椭圆的离心率为，面积为，所以，解得，所以椭圆C的方程为，故选：A.2A【解析】由椭圆的定义，知，所以的周长为，所以当最小时，最大.又当时，最小，此时，所以的最大值为.故选：A.3D【解析】由椭
7、圆，得：，由题意可得的周长为:.故选：D.4A【解析】由题意得，解得，所以椭圆的标准方程是.故选：A5A【解析】解： 由已知得，即 ，由及，得 ，联立，解得，所以椭圆的方程为，故选：A6A【解析】解：椭圆 即，焦点坐标为，故选：7D【解析】因为椭圆：，焦点，所以，即，解得或（舍去）.所以，长轴为.故选：D8C【解析】当焦点在轴上时：，解得：，当焦点在轴上时：，解得：，所以或，故选：C9AD【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，根据椭圆的对称性知，所以，故A正确；由椭圆，可得，则，因为，所以的取值范围是，所以的周长为，其取值范围是，故B错误；联立方程组，解得，又由，所以，所以为钝角，则为钝角
8、三角形，故C错误；联立方程组，解得，可得，所以，又由，可得，故D正确.故选：AD.10ACD【解析】解：由椭圆，可得：，左、右焦点分别为，设，则，可得：，直线与直线交点在椭圆的内部，A正确；，B不正确；直线与椭圆联立，可得：无解，因此直线与椭圆无交点而点在椭圆的内部，在直线的左下方，满足，C正确，因此D正确故选：ACD.11AD【解析】解：圆与圆的圆心分别为：；，则、是椭圆的两个焦点坐标，两个圆的半径为，所以的最大值为；的最小值.故选：AD.12AB【解析】依题意，即，所以，所以，因此B正确；又，所以椭圆和椭圆一定没有公共点，因此A正确；设，其中，则有，即有，则，因此C错误；，即有，则，因此D
9、错误故选：AB13【解析】解：设，则，恰为线段的中点，即有，直线的斜率为，直线的方程为，即由于在椭圆内，故成立故答案为：14【解析】如图,设又,由椭圆定义知, ,可得：即，在中,由余弦定理可得,，即.即,解得:.故答案为: 15【解析】设椭圆长轴长为，焦距为，月球半径为，则，两式作差，可得，椭圆形轨道的焦距为千米.故答案为：85.16【解析】设，由椭圆的定义可知：所以因为，所以,即，解得或，当时，所以不符合题意，故舍去，因此，所以，与的面积之比为：，故答案为：17（1）；（2）过定点，定点坐标为【解析】解：（1）由于椭圆的离心率，所以，所以椭圆的标准方程为 将点的坐标代入椭圆的标准方程可得，解
10、得，所以，因此，椭圆的标准方程为（2）当时，若直线的斜率存在，设直线的方程为，则由，得，所以，所以，所以，则线段的中心坐标为，所以线段的垂直平分线的方程为，即，即，此时，线段的垂直平分线过定点 若直线垂直于轴，则，两点关于轴对称，线段的垂直平分线为轴，过点当时，若直线关于坐标轴对称，则线段的垂直平分线为坐标轴，过原点；若直线关于原点对称，则线段的中点为原点，其垂直平分线过原点 综上所述，线段的垂直平分线过定点18（1）；（2）最小值为；（3）或.【解析】（1）设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，.所以的周长为.（2）椭圆的右准线为.设，则，在时取等号.所以的最小值为.（3）因为椭圆的左右焦
11、点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，则，所以直线.设，因为，所以点到直线距离等于点到直线距离的3倍.由此得，则或.由，得，此方程无解；由，得，所以或.代入直线，对应分别得或.因此点的坐标为或19（1）；（2）.【解析】解：（1）把，代入椭圆，解得，所以过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为，所以，由，由解得或（舍）所以，所以椭圆（2）设，由已知得，所以，由，得，所以，所以，又，所以，解得，又，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围是20（1）；（2）存在点，定值为【解析】（1）当与x轴重合时，故，即轴故当时，由，得由，得所以椭圆E的方程是（2）如图所示，焦点的坐标分别为当直线或的斜率不存在
12、时，点P的坐标为或当直线和的斜率都存在时，设斜率分别为，点联立，得因为直线过椭圆内一点，则，则同理可得，因为，所以，化简得由题意，知，所以设点，则，所以，化简得，而且当直线或的斜率不存在时，点P的坐标为或，也满足此方程所以点在椭圆上，根据椭圆定义可知存在点，使得为定值，定值为21（1）；（2）中点坐标为，【解析】解：（1）将点代入椭圆的方程得，所以又由，得，即，所以所以椭圆的方程为（2）过点且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为，联立方程消去得，得，设线段的中点坐标为，则，即中点坐标为由弦长公式22（1）此隧道设计的拱宽至少是22米（2）当拱高为7米、拱宽为18米时，土方工程量最小【解析】（1）建立直角坐标系如图所示，则点在椭圆上，将与点代入椭圆方程，得，此时，因此隧道设计的拱宽至少是22米. （2）由椭圆方程，得，因为，即，由于隧道长度为1.5千米，故隧道的土方工程量，当取得最小值时，有且，得，此时，.若，此时，此时，若，此时，此时，因为，故当拱高为7米、拱宽为18米时，土方工程量最小.
