1、专题1：曲线与方程的概念一、单选题1设方程表示的曲线是A一个圆和一条直线B一个圆和一条射线C一个圆D一条直线2方程：所对应的曲线是（ ）ABCD3在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：对任意三点、，都有；已知点和直线：，则；到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.其中正确的命题有（ ）A0个B1个C2个D3个4方程所表示的曲线的图形是（ ）ABC D5如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确，那么以下正确的命题是（ ）A曲线上的点的坐标都满足方程B坐标满足方程的点有些在上，有
2、些不在上C坐标满足方程的点都不在曲线上D一定有不在曲线上的点，其坐标满足方程6已知直线l的方程是，点不在直线l上，则方程表示的曲线是A直线lB与l垂直的一条直线C与l平行的一条直线D与l平行的两条直线7方程表示的曲线满足（ ）A关于轴对称B关于轴对称C关于原点对称D以上说法都不对8方程表示的曲线是（ ）A一条直线B两条直线C一个圆D两个半圆二、多选题9已知点的坐标分别是，经过点的直线相交于点，且它们的斜率分别为，下列命题是真命题的有（ ）A若，则的轨迹是椭圆(除去两个点)B若，则的轨迹是抛物线(除去两个点)C若，则的轨迹是双曲线(除去两个点)D若，则的轨迹是一条直线(除去一点)三、填空题10设
3、函数由方程确定，下列结论正确的是_（请将你认为正确的序号都填上） 是上的单调递减函数； 对于任意，恒成立； 对于任意，关于的方程都有解； 存在反函数，且对任意，总有成立.11关于曲线，给出下列四个结论：曲线C关于原点对称，但不关于x轴、y轴对称；曲线C恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点都不在圆的内部；曲线C上任意一点到原点的距离都不大于其中，正确结论的序号是_12已知点在以原点为圆心的单位圆上运动，则点的轨迹方程是_13已知命题方程表示的图形是双曲线的一支和一条直线；命题已知椭圆,过点的直线与椭圆相交于两点,且弦被点平分,则直线的方程为.则下列四个命题;中,是真命题
4、的是_(只写出序号).14关于曲线，有如下结论：曲线C关于原点对称；曲线C关于直线xy=0对称；曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2；曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2=2无公共点；曲线C与曲线有4个交点，这4点构成正方形其中所有正确结论的序号为_15关于曲线的下列说法：（1）关于点对称；（2）关于直线轴对称；（3）关于直线对称；（4）是封闭图形，面积小于；（5）是封闭图形，面积大于；（6）不是封闭图形，无面积可言.其中正确的序号是_.16平面直角坐标系中，若曲线上存在一点，使，则称曲线为“合作曲线”，有下列曲线；，其中“合作曲线”是_（填写所有满足条件的序号）参考答案1A【分析】根据
5、题意得到且，或，画出图像，分别判断得到答案.【解析】，故且，如图所示：画出图像知，表示一条直线；或，即表示一个圆.故选：.【点评】本题考查了方程表示的曲线，漏解是容易发生的错误.2D【分析】由时，利用其定义域，奇偶性和值域判断.【解析】当时，因为定义域为，排除C，该函数为偶函数，排除A,又，当且仅当时，取等号，排除B,故选：D.3C【分析】讨论，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；设点是直线上一点，且，可得，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；设定点，且相等距离为1，从而可判断出命题的真假.【解析】 对任意三点、，若它们共线，设，、，如图，结合三角形的相似可
6、得，为，或，则；若，或，对调，可得；若，不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，由矩形或矩形，；则对任意的三点，都有，故正确；设点是直线上一点，且，可得，由，解得，即有，当时，取得最小值；由，解得或，即有，的范围是，无最值；综上可得，两点的“切比雪夫距离”的最小值为；故正确；假设定点，到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等且距离为1的点为，则到定点的距离为1的点的轨迹为单位圆；到的“切比雪夫距离”的距离为1的点，所以，即或显然点的轨迹为正方形，所以只有四个点符合要求，故错误；故选：C【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题4D【分析】根据所给曲线
7、方程可知，曲线由和构成，即可选出.【解析】因为方程所以可得或，即或，且所以曲线为直线与圆在直线的右边部分构成，故选D.【点评】本题主要考查了方程与曲线的概念及直线与圆的方程，属于中档题.5D【分析】利用曲线与方程的关系，命题的否定即可得出答案.【解析】因为命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确，所有命题“坐标满足方程的点不都在曲线上”正确，即“一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程，因此D正确. 故选：D.6C【分析】根据两直线方程和特征，判定其平行 即可.【解析】因为点不在直线l上，所以是不为0的常数，所以方程表示过点且与直线l平行的一条直线.故选: C.【点评】本题考查了利用两直线方程判
8、定直线平行，属于基础题.7C【分析】根据对称的性质，将方程中的用替换，用替换，看方程是否与原方程相同【解析】依题意得，在方程中，用替换，用替换得：，即方程不变，而点与点关于原点对称，所以方程表示的曲线关于原点对称.故选：C.【点评】本题考查点关于轴的对称点为；关于轴的对称点为；关于原点的对称点为；关于的对称点为8D【分析】方程两边平方后可整理出方程，由于|x|1，从而可推断出方程表示的曲线为两个相离的半圆【解析】 由题意，首先|x|1，平方整理得（|x|-1）2+（y-1）2=1，若x1，则是以（1，1）为圆心，以1为半径的右半圆 若x-1，则是以（-1，1）为圆心，以1为半径的左半圆 总之，
9、方程表示的曲线是以（1，1）为圆心，以1为半径的右半圆与以 （-1，1）为圆心，以1为半径的左半圆合起来的图形 故选D【点评】本题的考点是曲线与方程，主要考查了曲线与方程的关系解题的过程中注意x的范围，注意数形结合的思想9BCD【分析】设，根据条件求出点的轨迹方程，确定轨迹【解析】设，A，化简得，不是椭圆方程，A错；B，化简得，是抛物线方程，轨迹是抛物线（去掉的两点），B正确；C，化简得，双曲线方程，轨迹是双曲线（除去两顶点），C正确；D，化简得，轨迹是直线，去除点，D正确，故选：BCD【点评】本题考查求动点的轨迹，解题方法是求出动点的轨迹方程，通过方程确定轨迹10【分析】首先化简所给的方程，
10、画出其对应的图像，然后逐一考查所给的结论是否正确即可.【解析】方程等价于：，绘制其对应的曲线如图所示：据此考查所给的性质： 由函数图像可知是上的单调递减函数； 注意到两段双曲线的渐近线均为，故对于任意，恒成立； 很明显函数的值域为R，故对于任意，关于的方程都有解； 很明显单调递减函数的定义域、值域均为，且函数关于直线对称，故存在反函数，且对任意，总有成立.综上可得，结论正确的是.故答案为【点评】本题主要考查分类讨论的数学思想，反函数的性质，双曲线的渐近线，圆的方程及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11【分析】根据关于原点、x轴、y轴对称的横纵坐标特点，代入即可判断；取的整数
11、值，代入求得的值即可判断；由基本不等式确定的最大值，即可判断；由两点间距离公式及基本不等式，化简即可判断；【解析】曲线，对于，将替换，替换，代入可得，所以曲线C关于原点对称；将替换，代入可得，所以曲线C不关于y轴对称；将替换，代入可得，所以曲线C不关于轴对称；所以正确；对于，当时，代入可得，所以经过；当时，代入可得，所以经过；当时，代入可得，所以经过；当时，代入可得，所以经过；所以至少有六个整点在曲线C上，所以错误；对于，由可知，而，所以，解得，即，则，同理，解得，所以，则错误；对于，由可知，所以，故正确，综上可知，正确的为，故答案为：.【点评】本题考查了由曲线方程研究曲线性质的应用，由基本不
12、等式确定取值范围的应用，属于中档题.12【分析】先设出点的坐标，进而根据定义得出和，利用圆的半径为1，代入圆的方程，进而求得和的关系，则得出点的轨迹方程.【解析】设，则因为点在以原点为圆心的单位圆上，所以，则：，且所以点的轨迹方程是，即.故答案为：.【点评】本题主要考查点的轨迹方程，通过两点坐标关系，代入已知方程得出所需的点的关系式即为轨迹方程13.【分析】先判定命题和命题真假,根据复合命题真假判定,即可求得答案.【解析】求解命题方程或当时,即,此时表示的是双曲线当时,即(),此时表示的是射线故命题是假命题求解命题直线与椭圆相交于,两点,设 则两式相减: 为的中点,直线的方程为 整理得:.故命
13、题是真命题根据复合命题真假判定可知:对于,是假命题;对于,是真命题;对于,是假命题;对于,是真命题.故答案为:.【点评】本题考查了复合命题真假判断,解题关键是掌握复合命题基础知识和椭圆的中点弦求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.14【分析】分析关于原点对称的两点与，是否都在曲线上，即可判断；分析关于直线与对称，点与，点与是否都在曲线上，即可判断；根据，可判断；联立方程，可判断；【解析】 对于，将方程中的换成，换成方程不变，故正确；对于，将方程中的换成，换成方程不变；或将方程中的换成，换成方程不变，故正确；对于，由方程得，故曲线不是封闭图形，故错；对于，联立曲线圆，方程组无解，无公共点，
14、故正确；对于，当，时，联立曲线与只有一解，根据对称性，共有有4个交点，这4点构成正方形，正确故答案为：【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题.15（1）（2）（5）【分析】将方程中换成,换成,可判断（1）（2）;将互换可判断（3）;根据的有界性和取值范围可判断（4）（5）（6）.【解析】曲线方程将方程中换成,换成,曲线C的方程都不变,所以（1）（2）正确;将互换,方程变为,方程发生改变,所以（3）错误;在曲线上任取一点,则即,所以是封闭图形,（6）错误;因为,所以因而即,所以在圆的外面所以封闭图形的面积大于,所以（4）错误,（5）正确.综上可知, 正确的序号是（1）（2）（5）故答案为: （1）（2）（5）【点评】本题考查了曲线的方程及性质的综合应用,属于中档题.16【解析】由题意，满足合作曲线，则说明曲线过单位圆内，如图，曲线（黄色圆）、曲线（蓝色双曲线）、曲线（绿色椭圆）过单位圆内，为合作曲线，即答案为
