1、专题31：抛物线的存在探索性问题1已知点P到直线y3的距离比点P到点A(0，1)的距离多2.（1）求点P的轨迹方程；（2）经过点Q(0，2)的动直线l与点P的轨迹交于M，N两点，是否存在定点R使得MRQNRQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由.2如图，已知抛物线的焦点为，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，在A，B两点处的切线相交于N，再分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为C，D.（1）求证：点N在定直线上；（2）是否存在点N，使得的面积是的面积和的面积的等差中项，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.3已知抛物线（）的焦点为，过作一条直线与抛物线相交于、两点（1）若
2、直线的倾斜角为，请用表示、两点之间的距离；（2）若点在抛物线的准线上的射影为点，求证：、在同一条直线上；（3）在轴上是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上？如果存在，求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由4已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为（1）求抛物线的方程；（2）若点，问x轴上是否存在点，使得过点的任一条直线与抛物线交于点两点，且点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由5从抛物线上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段上的一点，且满足.（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设直线与轨迹C交于A，B两点，T为C上
3、异于A，B的任意一点，直线，分别与直线交于D，E两点，以为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的所有定点坐标；若不过定点，请说明理由.6如图，点F为抛物线：的焦点，点M是抛物线在第二象限上的一点，过点M作圆：的两条切线，交于A，B两点，抛物线在点M处的切线分别交轴，轴于点P，Q（1）求证：为定值；（2）是否存在点M，使得A，B，P三点共线，若存在，求M点坐标，不存在，说明理由7已知抛物线与圆一个交点的横坐标，的一条切线过点，与交于，两点，且点在点的右侧，为坐标原点.（1）证明：；（2）若过点的直线与交于不同的两点，.求直线的斜率的取值范围；是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出
4、定点和定值；若不存在.请说明理由.8已知抛物线，与圆有且只有两个公共点（1）求抛物线的方程；（2）经过的动直线与抛物线交于两点，试问在直线上是否存在定点，使得直线的斜率之和为直线斜率的倍？若存在，求出定点；若不存在，请说明理由9已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是x轴，并且经过点.（1）求抛物线的方程；（2）若直线交抛物线C于异于点P的，两点，且，为垂足.是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.10已知三点，曲线上任意一点满足.（1）求曲线的方程；（2）动点在曲线上，曲线在点处的切线为.问：是否存在定点，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比是常数？若存在，求的
5、值；若不存在，说明理由.11已知抛物线经过点（1）求抛物线的方程及其相应准线方程；（2）过点作斜率为的两条直线分别交抛物线于和四点，其中.设线段和的中点分别为过点作垂足为证明：存在定点使得线段长度为定值.12已知抛物线：经过点，过点的直线与抛物线交于，两点.（1）求抛物线的方程；（2）在抛物线上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.13已知抛物线的弦过焦点.若轴，为抛物线准线与轴交点，求的大小；若焦点弦斜率为（常数），则能否在抛物线准线上找到一点使中大小不变.14动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为4.（1）若动圆圆心的轨迹为曲线，求曲线的方程； （2）在曲线的对称轴上
6、是否存在点，使过点的直线与曲线的交点满足为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由.15已知抛物线L：（）的焦点为F，过点的动直线l与抛物线L交于A，B两点，直线交抛物线L于另一点C，直线的最小值为4.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点A作y轴的垂线m，则x轴上是否存在一点，使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由.参考答案1（1）x24y；（2）存在，定点R(0，2).【分析】（1）由|PA|等于点P到直线y1的距离，结合抛物线的定义得出点P的轨迹方程；（2）由对称性确定点R必在y轴上，再由MRQNRQ可得kMRkN
7、R0，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求出定点R(0，2).【解析】（1）由题知，|PA|等于点P到直线y1的距离，故P点的轨迹是以A为焦点，y1为准线的抛物线，所以其方程为x24y.（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点R，则点R必在y轴上，可设其坐标为(0，r)此时由MRQNRQ可得kMRkNR0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则0由题知直线l的斜率存在，设其方程为ykx2，与x24y联立得x24kx80，则x1x24k，x1x282k2k0故r2，即存在满足条件的定点R(0，2).【点评】关键点睛：解决问题一时，关键是由抛物线的定义得出轨迹方程；解决问题二时，关键是由对
8、称性得出点R必在y轴上，进而设出其坐标.2（1）证明见解析；（2）存在，.【分析】（1）由题意设直线，将直线与抛物线方程联立求出两根之和、两根之积，求出直线以及直线，将两直线联立求出交点即证.（2）由（1）知点N为的中点，取的中点E，则，利用抛物线的定义可得，根据，可得，即，结合韦达定理即可求解.【解析】解（1）由题知所以设直线，联立得所以对求导得所以直线的斜率为所以直线即同理直线联立和得所以点N的坐标为，即点N在定直线上（2）由（1）知点N为的中点取的中点E，则由题知所以所以而，若存在点N满足题意则即所以即又因为将代入解得由（1）知即经检验，存在满足题意.【点评】 本题考查了直线与抛物线的位
9、置关系，解题的关键是由，求出点N的坐标为以及，考查了计算能力、推理能力.3（1）；（2）证明见解析；（3）存在满足题意的点，其坐标为和【分析】（1）设，与抛物线方程联立,利用根与系数的关系以及抛物线的定义得出、两点之间的距离；（2）设，与抛物线方程联立，得出一元二次方程，通过计算得出，即可证得、在同一条直线上；（3）设点的坐标为，列方程组求出点关于直线的对称点为，将的坐标代入，可得点的坐标【解析】（1），设，联立得：，；（2）设，联立得：，、在同一条直线上；（3）设点的坐标为，点关于直线的对称点为，则，解得：，若在上，将的坐标代入，得或存在满足题意的点，其坐标为和【点评】 本题考查抛物线的定义
10、，考查焦半径公式，考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键点是通过设出直线方程，与抛物线方程联立化简，利用设而不求法以及，证得三点共线成立，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题4（1）；（2）存在；【分析】（1）设，利用点差法可得解； （2）由题知为的角平分线，可得，设直线的方程为，与抛物线方程联立得，由韦达定理结合得，即对于任意的恒成立，可得答案.【解析】（1）设，则因为线段的中点的纵坐标为，则，两式相减得所以，即抛物线的方程为（2）假设存在这样的点满足条件，设为，因为点到直线的距离相等，所以为的角平分线，则，可得，显然直线的斜率不能为零，故设直线的方程为，由联立得，设，则有得即，
11、整理得，即，得，即对于任意的恒成立，所以且此时满足，所以存在点到直线的距离相等.【点评】 本题考查求抛物线的方程，直线与抛物线相交问题：（1）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交（2）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤：设点，设出弦的两端点的坐标；代入：将两端点的坐标代入曲线方程；作差：将两式相减，再用平方差公式展开；整理：转化为斜率和中点坐标的关系式，然后求解5（1）；（2）是，定点为和.【分析】（1）设，用动点转移法求得轨迹的方程；（2）设直线与曲线C的交点坐标为，直线方程代入曲线方程
12、，应用韦达定理得，设，写出直线方程求得两点坐标，若存在定点，利用（注意代入韦达定理的结论）求得定点【解析】 （1）设，则点Q的坐标为.因为，所以，即，因为点P在抛物线上，所以，即.所以点M的轨迹C的方程为.（2）设直线与曲线C的交点坐标为，由得.由韦达定理得.设点，则.所以直线的方程为.令，得点D的坐标为.同理可得点E的坐标为.如果以为直径的圆过x轴某一定点，则满足.因为.所以.即，解得或.故以为直径的圆过x轴上的定点和.【点评】本题考查求抛物线方程，考查抛物线中的定点问题解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得，代入定点对应的表达式，利用恒等
13、式知识求得定点坐标6（1）证明见解析；（2）存在点，使得A，B，P三点共线.【分析】（1）设，求出坐标，直接计算求解即可；（2）设过M的圆的切线方程为，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，其两根，为两切线斜率，设直线：，转化为求关于t的方程是否有解.【解析】（1）证明：设（），则切线的斜率，所以切线方程为，即，所以， 则 所以（定值）（2）设过M的圆的切线斜率为，则切线方程为，则即： 其两根，为两切线斜率， 设，则直线：化简得：若存在M，符合题意，则又斜率公式知，同理 代入并化简有所以：，解得或或，由知，故存在点，使得A，B，P三点共线.【点评】本题主要考查了抛物线的简单几何性质，圆的切线的性
14、质，函数与方程的思想，考查了运算能力，属于较难题目.7（1）证明见解析；（2）；存在；定点，.【分析】（1）将抛物线方程和圆方程联立，消去，得到关于的方程，然后将交点的横坐标代入方程中，可求出圆的半径，求出过点的切线方程，再与圆方程联立求点，的坐标，可得到，然后，可证得；（2）先判断直线的斜是否存在，再设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，消元后使判别式大于零，可求出斜率的取值范围；假设存在点，则，然后对上式化简，再结合根与系数的关系，可得，要使此式为定值，只要，求出点的坐标即可.【解析】（1）联立抛物线与圆的方程：，得，由题意，满足上述方程，所以解得，所以的方程为.由于点在上，且在第一象限，
15、在第一象限的方程为，则，故过点的切线斜率为1，所以在上过点的切线方程为，即.与圆的方程联立，又点在点的右侧，所以，故，所以（2）（1）若过点的直线斜率不存在，则的方程为，与只有一个交点，不合题意.由题意，设的方程为.由得，由于直线与交于不同的两点，故，所以直线的斜率的取值范围是.（2）假设存在点，设，则，.由（1）得，当，时，即当，时，.故存在定点，不论为何值，为定值.【点评】本题主要考查抛物线、圆、直线方程，定值等综合知识以及推理论证能力与运算求解能力，属于较难题.8（1）；（2）存在定点满足题意【分析】（1）联立方程，得，由可得值，即可得抛物线的方程；（2）由题设，易得当直线的斜率不存在时
16、，恒有；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程，由韦达定理与斜率公式表示出，由列方程求解出即可.【解析】（1）联立方程，得，因为抛物线与圆有且只有两个公共点，则，解得或，又，所以，所以抛物线的方程为；（2）假设直线上存在定点，当直线的斜率不存在时，由题知，即恒成立当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程得，则，由题知， 所以，整理得，因为上式对任意成立，所以，解得，故所求定点为【点评】本题主要考查了抛物线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，抛物线中的定点问题，考查了学生的运算求解能力.9（1）；（2）存在，定点M(9，0).【分析】（1）利用抛物线经过点，求得，得到抛物线的方程；（2
17、）设直线的方程为，联立，消元得到，利用韦达定理，结合向量数量积坐标公式以及条件，得到或，确定出直线方程，进而求得结果.【解析】（1）根据题意，可设抛物线C的方程为，因为点在抛物线C上，所以，即，所以抛物线的方程为.（2）设直线的方程为，联立，整理得，因为，所以.因为，所以，即，所以，或，则直线的方程为：或(舍去)，所以直线过定点，因为，所以点Q在以PH为直径的圆上所以存在定点M(9，0)，使得为定值.【点评】思路点睛：该题考查的是有关抛物线的问题，解题思路如下：（1）根据题意，设出抛物线方程，根据点在抛物线上，点的坐标满足抛物线方程，求得结果；（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理
18、以及向量数量积坐标公式，结合向量垂直，得到等量关系，确定出直线过的定点，结合图形的特征，得到结果.10（1）；（2）存在，【分析】（1）利用坐标写出 ，即可求出，再根据，化简即可求得曲线的方程；（2）先假设存在，根据题意写出的方程，对进行讨论，联立方程解出，即可求得与的面积之比的表达式，利用其为常数,即可求得结论.【解析】 （1）， ，即，即，化简得曲线C的方程：；（2）假设存在点满足条件，则，直线的方程是：，的方程是，动点在曲线上，曲线C的方程：；即，则， 曲线C在Q处的切线l的方程是：，与y轴交点为：，当时，,使得：，时不符合题意；当时，与一定相交，联立：，即，解得：，联立：，即，解得：，
19、又，又，对任意，要使为常数，则要满足：，解得：，此时，故存在，使与的面积之比是常数2.【点评】 求轨迹方程的常见方法有:直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；逆代法，将代入.11（1）；准线；（2）存在，【分析】（1）将点代入抛物线即可求解，再由抛物线的标准方程可得准线.（2）设出直线：，直线：，将直线与抛物线联立，利用韦达定理以及中点坐标公式求出、，从而求出直线，将两直线联立求出交点，得到点的轨迹是个圆，从而可得定点为圆心.【解析】（1）将点代入抛物线，可得， 解得，所以抛物线方
20、程：，准线.（2）由题意可得直线：，直线：，联立 ，整理可得，设，则，所以，同理，设，：，：，联立 ，解得， ，整理可得，即，所以点的轨迹是个圆，故的坐标为，线段长度为定值.【点评】 此题考查了直线与抛物线的位置关系，解题的关键是求出直线，的交点，得到点的轨迹方程，考查了运算求解能力.12（1）；（2）存在，.【分析】（1）由抛物线过点，代入即可解得；（2）依题意，设点，直线的方程为，联立直线与抛物线消去，列出韦达定理由，即，再结合，整理可得；【解析】 （1）因为抛物线：经过点，所以，解得.所以抛物线的方程是.（2）根据题意.设点，直线的方程为.联立消去得，则.则，.设点，因为，即，结合，得，
21、即，化简得，解得.所以，所以抛物线上存在定点，使得.【点评】本题考查待定系数法求抛物线方程，直线与圆锥曲线的综合应用，属于中档题.13；能（理由见解析）.【分析】根据抛物线的定义可知，进而可知，即可得出结果；设过焦点的弦方程为，代入，得，结合韦达定理写出，并令其为，算出，即可得证.【解析】 由抛物线的定义得，在直角三角形中，同理，直角三角形中，.根据题意，可知焦点，设过焦点的弦方程为.代入，得.设该方程两根为，.设抛物线准线上一点的坐标为，设，则，则：.令，即，则，即.解得.故在抛物线准线上能找到一点，使.【点评】本题考查抛物线的定义和性质，结合韦达定理，两直线的位置关系的知识点，考查转化与划
22、归的思想，属于中档题.14（1）.（2）存在点，定值为.【分析】（1）设，由题意知：，利用距离公式及弦长公式可得方程，化简可得P的轨迹方程；（2）假设存在，设，由题意知直线的斜率必不为0，设直线的方程，与抛物线联立，利用根与系数关系可求得，当时，上式，与无关，为定值.【解析】（1）设，由题意知：.当点不在轴上时，过做，交于点，则为的中点，.又，化简得；当点在轴上时，易知点与点重合.也满足，曲线的方程为.（2）假设存在，满足题意.设.由题意知直线的斜率必不为0，设直线的方程为.由得.，.，.，.，当时，上式，与无关，为定值.存在点，使过点的直线与曲线的交点满足为定值.【点评】本题考查轨迹方程、定
23、值问题的求解，求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，存在性与定值问题一般设存在，代入，结合韦达定理等知识消去参数求解，属于较难题型.15（1）；（2）存在，.【分析】（1）显然当轴时，取得最小值，可得，即可得到所求抛物线方程；（2）假设轴上存在一点，使得直线与直线的交点恒在一条定直线上设，直线的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理，由的方程和直线的方程，联立求得交点，化简可得所求定点和定直线【解析】（1）设直线的倾斜角为，所以由抛物线（）的焦点弦公式得，所以当，即当轴时，取得最小值.把代入可得，故，可得抛物线的方程为：（2）假设轴上存在一点，使得直线与直线的交点恒在一条定直线上设，直线的方程为，联立抛物线方程，可得，直线的方程为即，联立直线，可得，由，可得，即有，由假设可得，即，此时，可得存在定点，定直线为【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题
