1、开学季PPT模板THIS TEMPLATE DESIGNED FOR FEI ER SHE JI演讲人：XXX 时间：20XX年XX月XX日3.2.1 双曲线及其标准方程生活中的双曲线生活中的双曲线数学实验数学实验1.取一条拉链并拉开一部分；2.将拉链拉开两头按一长一短固定在两点F1和F2处； (注意：拉链两边的长度之差小于|F1F2|)3.将笔尖放在拉链张开处M点，慢慢拉开拉链， 使笔尖慢慢移动，画出图形的一部分；4.再把拉链两边交换位置分别固定在F1和F2处， 用同样的方法可以画出图形的另一部分数学探究F2F1M画双曲线实验画双曲线实验 通过刚才的实验画出的图像就是双曲线，它由两条曲线组成
2、，其中一条叫作双曲线的一支双曲线由这两支共同组成：一条满足|MF1|MF2| = |F2F| = 2a；另一条满足|MF2|MF1| = |F1F| = 2a 整个实验过程我们可以发现细绳两端始终固定在两个定点F1,F2上，而且动点M到两定点F1,F2的距离之差始终保持不变距离之差始终保持不变，等于拉链原长与短边的长度之差FF2F1M 我们根据这个几何性质来得出双曲线的定义 平面上到两个定点F1, F2的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点两个焦点之间的距离|F1F2|叫作焦距双曲线的定义双曲线的定义:1F2FM探究新知注意注意|
3、|MF1| - |MF2| | = 2a(1)距离之差的绝对值(2)常数要小于|F1F2|且大于002a2c探究新知探究：试说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？(F1,F2是两定点是两定点, | |MF1| - |MF2| | = 2a, |F1F2| =2c (0a2c，动点，动点M的轨迹的轨迹 .以以F1,F2为端点的两条射线为端点的两条射线2a与与2c的大小的大小双曲线的右支双曲线的右支双曲线的左支双曲线的左支不存在不存在线段线段F1F2的垂直平分线的垂直平分线问题：问题：根据双曲线的定义如何用坐标法来探究双曲线的标准方程呢？（一）（一）建建立平面直角坐标系立平面直角坐标系 如图，
4、取过焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系 设双曲线的焦距|F1F2|=2c，双曲线上的点与两定点的距离之差的绝对值为2a (a 0)，则F1,F2的坐标分别为(c,0)，(c,0)yxo1F2F（二）（二）设设曲线上任意一点曲线上任意一点(或动点或动点)的坐标为的坐标为(x,y)设M(x,y)为双曲线上任意一点探究新知M（三）找出（三）找出限限制动点的几何条件制动点的几何条件因为|MF1|MF2|=2a，即|MF1|MF2| = 2a，（四）将坐标（四）将坐标代代入几何关系入几何关系所以 2222()()2xcyxcya （五）（五）化化简式子简式子2
5、2222222 ()()caxa ya ca化简，得由双曲线的定义知 2c2a，即ca，所以ca0 22221 (0,0)xyabab上式两边同时除以a2b，得设ca = b (b0)，则 bxay = a2b， yxo1F2FM 若双曲线焦点在y轴上，焦点分别为F1(0,c)，F2(0,c)，双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值等于2a(2a2c)，则双曲线的方程为：22221 (00)yxabab，yxo1F2F探究新知 方程 称为双曲线的标准方程标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点分别为F1(c,0), F2(c,0)的双曲线, 这里 c=a b .22221 (0,0)xyabab焦点
6、在坐标轴上，双曲线的标准方程为：焦点在坐标轴上，双曲线的标准方程为： 焦点在x轴上： 22221 (00)xyabab，焦点在y轴上： 22221 (00)yxabab，探究新知问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？ 由于x2与y2的系数符号决定焦点所在的坐标轴，x2,y2哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，而椭圆的焦点所在位置与分母的大小有关，所以例例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1(5，0),F2(5，0)，双曲线上一点P到F1, F2的距离之差的绝对值等于6，求该双曲线的标准方程.解：由于双曲线的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为由双曲线的定义知2c
7、= 10，2a = 6，所以c = 5，a = 3所以 b = 5 3 = 16因此，所求双曲线的标准方程为 22221 (00)xyabab，221 916xy典例分析1.已知双曲线的两个焦点分别为F1(0,2)，F2(0,2)，且双曲线经过点P(3,2)，求该双曲线的标准方程解：解：由于双曲线的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为由双曲线的定义知因此a = 1 又因为c = 2，所以 b = c a = 41=3因此，所求双曲线的标准方程为 221 3xy 2222122(3 0) 2( 2)(3 0)( 22)2aPFPF 22221 (00)yxabab，巩固练习例例2 已知已知A，B两
8、地相距两地相距800m，在，在A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B地晚地晚2s，且声速为，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程，求炮弹爆炸点的轨迹方程.典例分析,OxyA BxOAB解： 如图 建立平面直角坐标系使两点在 轴上并且原点 与线段的中点重合.222800,2800,400,44400ABccbca又所以6800,340.PAPBPx因为所以点 的轨迹是双曲线的右支因此 22=1(340).11560044400 xyx所以炮弹爆炸点的轨迹方程为( , ),340 2680,2680,340.Px yPAPBaa 设炮弹爆炸点 的坐标为则即思考思考: 若方程 m x
9、n y=1表示双曲线, 则实数m,n需要满足什么条件?综上可知：当mn 0，该方程表示双曲线22 1 11xymn原方程可化为：1100mnxmn当，即时，该方程表示焦点在 轴上的双曲线1100mnymn当，即时，该方程表示焦点在 轴上的双曲线探究新知2.已知双曲线经过点 , 求该双曲线的标准方程( 6 1) ( 2 3 2)，解：解：设双曲线的方程为m x n y=1 (mn 0) . ( 6 1) ( 2 3 2)因为双曲线经过点， ，61 1241mnmn所以，14 12mn 解得22142xy所以双曲线的标准方程为巩固练习1.双曲线的定义双曲线的定义: 平面上到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作焦距yxo1F2Fyxo1F2F课堂小结焦点在x轴上： 22221 (00)xyabab，焦点在y轴上： 22221 (00)yxabab，2.双曲线的标准方程双曲线的标准方程:
