1、抚松一中2021-2022年上学期高二年期末复习题五一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.在空间直角坐标系中，点（-2,1,4）关于轴对称的点坐标是（ ）A（-2 , 1 , -4）B（2 , 1 , -4）C（-2 , -1 , -4）D（2 , -1 , 4）【答案】C【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标【详解】在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，y，z），点（2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为：（2，1，4）故选C【点睛】本小题主
2、要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题2. 直线与直线交于点，则点到直线的最大距离为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据联立直线的方程解出交点P，再得出直线的恒过点，从而求得最大距离得选项【详解】由解得，所以，由，得，令，恒成立，所以直线恒过点，所以点到直线的最大距离为，故选：C【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：3.在等比数列中，已知对有，那么ABCD【答案】D【详解】解：设等比数列的公比为，当时，解得，数列是等比数列，首项为1，公比为4故选：D4.如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成
3、.在翻折过程中，直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为（ ）ABCD【答案】A【分析】分别取DE，DC的中点O，F，点A的轨迹是以AF为直径的圆，以为轴，过与平面垂直的直线为轴建立坐标系，利用向量法求出正弦值为，换元后利用基本不等式可得答案.【详解】分别取DE，DC的中点O，F，则点A的轨迹是以AF为直径的圆，以为轴，过与平面垂直的直线为轴建立坐标系， 则，平面ABCD的其中一个法向量为= (0,0.1)， 由，设，则，记直线与平面ABCD所成角为，则设，所以直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为，故选：A.【点睛】本题主要考查利用向量法求线面角，考查了三角函数的恒的变换以及基本不等式的应用，
4、考查了空间想象能力与计算能力，属于综合题.5. 已知直线与圆相切，则满足条件的直线有（ ）条A1B2C3D4【答案】C【详解】由于直线和圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即，（其中），故，或 ，正弦值为的只有在轴正半轴，正弦值为可以在第三或者第四象限，故有种可能，所以选.6. 四棱锥中，底面是一个平行四边形，底面，则四棱锥的体积为（ ）A8B48C32D16【答案】D【详解】由题设，易知，而，且， 若夹角为，则，则，即，又，.故选：D7. 已知椭圆：的长轴顶点为、，点是椭圆上除、外任意一点，直线、在轴上的截距分别为，则（ ）A3B4CD【答案】A【分析】先设椭圆上点，写出、，求直线、的方程，
5、再表示出，即得结果.【详解】椭圆上、，设点，则，即.直线的方程为：，令，得，直线的方程为：，令，得，故.故选：A.8. 已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，分别为、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且两曲线在第二象限的公共点为点P，且满足，则的值为（ ）A3B4C5D6【答案】C【分析】根据题意，由双曲线与椭圆的定义，结合离心率的概念，分别求出，即可得出结果.【详解】因为，不妨令，因为点P是椭圆与双曲线位于第二象限的交点，记椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，两曲线的焦距为，根据椭圆与双曲线的定义可得：，因此，所以.故选：C.9. 已知点是轴左侧一点，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在
6、上，设线段的中点为，则（ ）A直线的斜率为正数B直线一定经过原点C直线平行于轴或与轴重合D直线斜率为负数【答案】C【分析】设出，坐标，利用，的中点在抛物线上，转化求解的中点，判断选项的正误【详解】设,，,，,，因为，的中点在抛物线上，所以，化简可得，为方程的两个不相同的实数根，所以，所以平行于轴或与轴重合，故选：C.10. 设，分别为等比数列，的前项和若（，为常数），则（ ）ABCD【答案】C【详解】由题意，设则故选：C10. 已知是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点、点P，且，下列判断错误的是（ ）AB的离心率等于C的内切圆半径D若为上的两点且关于原点对称，则的
7、斜率存在时其乘积为2【答案】C【详解】如上图所示，因为分别是的中点，所以中，所以轴A选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确B选项中，中，所以，得：，故B正确C选项中，的周长为，设内切圆为，根据三角形的等面积法，有，得：，是与有关的式子，所以C错误D选项中，关于原点对称，可设，根据得： ，所以当斜率存在时， ，因为在双曲线上，所以，即，得： ，所以，故D正确故选：C11. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，则下列结论不正确的是（ ）A点的坐标为B若直线过点，则C若，则的最小值为D若，则线段的中点到轴的距离为【答案】A【详解】对于A，抛物线，即，易知点的坐标为，故A错误；对于B，显然直线斜率
8、存在，设直线的方程为，联立，整理得，故B正确；对于C，若，则过点，则，当时，即抛物线通经的长，故C正确，对于D，抛物线的焦点为，准线方程为，过点，分别作准线的垂直线，垂足分别为，所以，所以，所以线段，所以线段的中点到轴的距离为，故D正确故选：A二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则直线与所成角的大小为_【答案】【分析】直接由公式计算两直线的方向向量的夹角，进而得出直线与所成角的大小【详解】解：因为，所以，所以，所以直线与所成角的大小为故答案为：14. 设抛物线的焦点为,已知为抛物线上的两个动点，且满足,过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂
9、足为,则的最大值为_ 【答案】【详解】试题分析：过作准线的垂线,垂足为,由图可知,根据抛物线的定义可知,所以在中,根据余弦定理可知,所以根据基本不等式的性质,所以上式可化为,即,所以考点：抛物线定义,余弦定理,基本不等式15.已知等比数列的公比为2，若存在两项使得，则+的最小值为_.【答案】2【详解】等比数列的公比为2，若存在两项，使得，即，当且仅当，即，时取等号，故则的最小值为2，故答案为：215. 已知双曲线：右支上的一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点，若点，分别位于第一、第四象限，为坐标原点，当时，的面积为，则_【答案】【分析】求出双曲线的渐近线为和，可得设，由，用和
10、表示点坐标，将点坐标代入双曲线方程可得，利用三角形的面积公式列方程结合即可求得的值.【详解】由双曲线：可得，则渐近线为和，设，由，得，则，易知点在直线上，点在直线上，则，所以，化简可得：，因为，所以， 由渐近线的对称性可得：所以的面积为，解得：，故答案为：.三、 解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题10分） 已知直线：，： .（1）求直线过的定点P，并求出直线的方程，使得定点P到直线的距离为 ；（2）过点P引直线分别交，轴正半轴于A、B两点，求使得面积最小时，直线 的方程.【答案】（1），：或（2）【分析】（1）利用直线系求出定点，根据点到
11、直线距离求出；（2）由题意直线斜率存在，设出直线方程，求出截距，表示出三角形面积，利用均值不等式求最值.【详解】（1）由可得，所以直线的定点，到直线：的距离，解得或，所以直线：或（2）由题意，设直线：，因为直线分别交，轴正半轴于A、B两点，所以令，所以，当且仅当时等号成立，故所求直线方程为，即【点睛】关键点点睛：直线系过定点问题，需将直线化为含参数与不含参数的部分，如，可根据此形式直接写出定点；直线与坐标轴围成三角形的面积，可利用截距表示.18.（本小题12分） 已知圆，直线（1）当为何值时，直线与圆相切；（2）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）
12、将圆的方程化为标准方程，得圆心坐标与半径，计算圆心到直线的距离，再根据列式求解；（2）得圆心到直线的距离，根据几何法求弦长的公式列式计算.【详解】（1），所以圆心，半径为，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为：，所以当时，直线与圆相切；（2）圆心到直线的距离为：，由几何法求弦长的公式可知：，解得或，所以直线为：或19.（本小题12分） 已知正项数列的前n项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）若为等差数列，求证：【答案】（1）；（2）证明过程见解析.【分析】（1）根据前n项和与第n项的关系，结合等差数列的定义进行求解即可；（2）根据等差数列的性质，结合裂项相消法进行证明即可.【详解】（1
13、）当时，解得，当时，所以有，由题意可知：，化简得：，所以，因此；（2）由（1）可知：，因为为等差数列，所以，因此，因为，因此有：20.（本小题12分） 已知抛物线和直线，直线恒过圆P的圆心，且圆P上的点到直线的最大距离为2.（1）求圆P的方程；（2）直线与抛物线C和圆P都相交，且四个交点自左向右顺次记为A、B、C、D如果，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）直线过定点，圆心.因为圆P上的点到直线的最大距离为2，所以， 所以圆P的方程为.（2）由知为抛物线焦点由图和，知. ，设，则，. 由拋物线的定义得， 所以，所以，从而有所以.所以直线的方程为.21.（本小题12分） 如图，三棱柱
14、所有的棱长为2，M是棱BC的中点.（）求证：平面ABC;（）在线段B1C是否存在一点P，使直线BP与平面A1BC 所成角的正弦值为? 若存在，求出CP的值; 若不存在，请说明理由.【答案】（）证明见解析；（）存在，.【分析】（1）由题意，证明与，根据线面垂直的判定定理即可证明平面；（2）建立恰当的空间直角坐标系，令，求出所需点的坐标，向量的坐标，法向量的坐标，根据向量法求解线面角即可.【详解】解：（1）证明：，是中点，又，平面，（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）知平面A1BC的法向量为，令，则，设直线BP与平面A1BC 所成角为，则,解得或（舍），所以当时，满足题意，此时.22.（本
15、小题12分） 已知抛物线：和椭圆：，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的中垂线交椭圆于，两点（1）若恰是椭圆的焦点，求的值；（2）若恰好被平分，求面积的最大值【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，再根据恰是椭圆的焦点，即可得出答案；（2）设直线：，联立，求得的中点坐标，根据因为恰好被平分，则直线的斜率等于，再根据点差法求得直线的斜率，求得，根据由的中点在椭圆内，求得p的最大值，从而可求得面积的最大值【详解】解：（1）在椭圆中，所以，因为恰是椭圆的焦点，所以，所以；（2）设直线：，联立，得，则，则，故的中点坐标为，又因为恰好被平分，则，直线的斜率等于，将M、N的坐标代入椭圆方程得：，两式相减得：，故，即直线的斜率等于，所以，解得，由的中点在椭圆内，得，解得，因为，所以的最大值是2，则面积，所以，当时，面积的最大值是
