1、专题38：圆锥曲线的新定义一、单选题1若椭圆或双曲线上存在点，使得点到两个焦点的距离之比为，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（ ）ABCD2已知椭圆的焦点为、，若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点），则称点为“”点.下列结论正确的是（ ）A椭圆上的所有点都是“”点B椭圆上仅有有限个点是“”点C椭圆上的所有点都不是“”点D椭圆上有无穷多个点（但不是所有的点）是“”点3在平面直角坐标系中，定义称为点的“和”，其中为坐标原点，对于下列结论：（1）“和”为1的点的轨迹围成的图形面积为2；（2）设是直线上任意一点，则点的“和”的最小值为2；（3）设是直线上任意一点，则使得“
2、和”最小的点有无数个”的充要条件是；（4）设是椭圆上任意一点，则“和”的最大值为.其中正确的结论序号为（ ）A（1）（2）（3）B（1）（2）（4）C（1）（3）（4）D（2）（3）（4）4已知两定点，若直线上存在点，使，则该直线为“型直线”，给出下列直线，其中是“型直线”的是（ ）；ABCD二、多选题5曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线上点处的曲率半径公式为，则下列说法正确的是（ ）A对于半径为的圆，其圆上任一点的曲率半径均为B椭圆上一点处的曲率半径的最大值为C椭圆上一点处的曲率半径的最小值为D对于椭圆上点处的曲率半径随着的增大而减小6发现土星卫星的天文学家乔凡
3、尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样， 笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数.已知：曲线C是平面内与两个定点F1(-1，0)和F2(1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是（ ）A曲线C过坐标原点B曲线C关于坐标原点对称C曲线C关于坐标轴对称D若点在曲线C上，则 的面积不大于7双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素曲
4、线C：是双纽线，则下列结论正确的是（ ）A曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）B曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2C曲线C关于直线yx对称的曲线方程为D若直线ykx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为三、填空题8在平面直角坐标系xOy中，点M不与原点重合，称射线OM与的交点N为点M的“中心投影点”，曲线上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是_9在平面直角坐标系中，为坐标原点定义点的“友好点”为：，现有下列命题：若点的“友好点”是点，则点的“友好点”一定是点单位圆上的点的“友好点”一定在单位圆上若点的“友好点”还是点，则点一定在单位圆上对任意点，它的“友好点”是点，则
5、的取值集合是 其中的真命题是_四、解答题10以椭圆的中心O为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”已知椭圆C的长轴长是短轴长的倍，且经过点，椭圆C的“准圆”的一条弦所在的直线与椭圆C交于两点（1）求椭圆C的标准方程及其“准圆”的方程；（2）当时，证明:弦的长为定值11定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题：（1）写出协同圆圆的方程；（2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值；（3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.12给定椭圆C： (ab0)，称圆心在原点O，半径为的圆为椭圆C
6、的“准圆”若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为.（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（2）若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N.证明：l1l2，且线段MN的长为定值13我们称点P到图形C上任意一点距离的最小值为点P到图形C的距离，记作.（1）求点到抛物线的距离；（2）设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积.14给定椭圆，称圆心在原点、半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，若椭圆的离心率为，点在上.（1）求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；（2）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线、使得，与椭圆都只有一个交点，且、分别交其“
7、卫星圆”于点、，证明：弦长为定值.15已知抛物线的焦点为，准线的方程为.若三角形的三个顶点都在抛物线上，且，则称该三角形为“向心三角形”.（1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和？说明理由；（2）设“向心三角形”的一边所在直线的斜率为，求直线的方程；（3）已知三角形是“向心三角形”，证明：点的横坐标小于.16若给定椭圆和点，则称直线为椭圆C的“伴随直线”（1）若在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；（2）命题：“若点在椭圆C的外部，则直线与椭圆C必相交”写出这个命题的逆命题
8、，判断此逆命题的真假，说明理由；（3）若在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交于M点（异于A、B），设，问是否为定值？说明理由17已知椭圆（），点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知.（1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；（3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论.参考答案1C【分析】求出满足条件时的和，再求出，验证，能否是三角形的三边长，即可得【解析】，则
9、，若是椭圆，则，若是双曲线，则，A中椭圆，不存在；B中椭圆，不存在C中双曲线，双曲线上点到到右焦点距离的最小值是，构成，存在“点”，D中双曲线，不存在故选：C【点评】本题考查新定义“点”，解题方法是弱化条件，求出满足部分条件的点具有的性质，验证是否满足另外的条件：构成三角形从而完成求解2B【分析】设点，由得出关于、的等式，由，求出方程的解，即可得出结论.【解析】设点，则，、，由，得，即，解得，此时，所以，椭圆上有且只有个点是“”点.故选：B.【点评】本题考查椭圆中的新定义，考查椭圆方程的应用，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.3B【分析】根据新定义“和”，通过数形结合判断（1）正确，通过研
10、究函数最值对选项（2）（3）（4）逐一判断即可.【解析】（1）当时，点的轨迹如图，其面积为2，正确；（2）是直线上的一点，可知，时递减，时递增，故的最小值在时取得，正确；（3）同（2），可知当时，都满足，“和”最小的点有无数个，故错误；（4）可设椭圆参数方程为，易知其最大值为，正确.故选：B.【点评】本题的解题关键是认真读题，理解新定义“和”，再通过数形结合和函数最值的研究逐一判断即突破难点.4D【分析】易得点在以、为焦点的椭圆上，“型直线”和椭圆有公共点，逐个选项联立方程由判别式验证即可.【解析】两定点，在以、为焦点的椭圆上，且，故椭圆的方程为，满足题意的“型直线”和椭圆有公共点，联立和x2
11、4+y23=1，消整理可得，故，即直线与椭圆有公共点，即为“型直线”，联立和，显然无交点，故不是“型直线”，联立和x24+y23=1，消整理可得，故，故不是“型直线”，联立和消整理可得，故，即直线与椭圆有公共点，即为“型直线”，故选：D【点评】本题考查了椭圆的定义以及椭圆的标准方程，此题属于圆锥曲线的新定义题目，同时考查了直线与椭圆位置关系的判断，属于中等题.5AC【分析】利用曲率半径公式的定义，A中有圆上任一点；B、C中由椭圆在， 处分别是最大、最小处，结合公式求得曲率半径的范围；D中由公式得，构造，利用导数研究其单调性即可，进而可确定正确选项.【解析】A：由题设知：圆的方程可写为，所以圆上
12、任一点曲率半径为，正确；B、C：由弯曲最大处为，最小处为，所以在处有，在处有，即，故B错误，C正确；D：由题意，处的曲率半径，而，所以，令，则在上有恒成立，故在上随着的增大而增大，错误；故选：AC.【点评】 由曲率半径公式，结合曲线方程写出相应点的曲率半径，根据圆、椭圆的性质，构造函数并应用导数研究其单调性，判断各项的正误.6BCD【分析】动点坐标为，根据题意可得曲线的方程为，对各个选项逐一验证，即可得出结论【解析】由题意设动点坐标为，则，即，若曲线C过坐标原点，将点代入曲线C的方程中可得与已知矛盾，故曲线C不过坐标原点，故A错误；把方程中的x被代换，y被代换，方程不变，故曲线C关于坐标原点对
13、称，故B正确；因为把方程中的x被代换，方程不变，故此曲线关于y轴对称，把方程中的y被代换，方程不变，故此曲线关于x轴对称，故曲线C关于坐标轴对称，故C正确；若点P在曲线C上，则，当且仅当时等号成立，故的面积不大于，故D正确.故选：BCD.【点评】 本题考查圆锥曲线新定义，轨迹方程的求法，关键是读懂题意，并能正确运用新定义是解题的关键，属于中档题型.7BCD【分析】令，求出整点的坐标，可判断选项A；利用已知和两点距离公式可判断选项B；由曲线C上关于对称的两点都满足方程，可判断选项C；联立直线ykx与曲线C解出方程的根，可得实数k的取值范围【解析】时，或2或，三个整点，无解，共有3个整点，A错误，
14、曲线C上往取一点到原点的距离B正确；曲线C上往取一点M关于的对称点为N，设，则，M在曲线C上，C正确与曲线C一定有公共点，与曲线C只有一个公共点，则，或，D正确故选：BCD8【分析】可作出对应曲线的图象，结合图形，求出题中“中心投影点”构成的曲线长度对应圆中的圆心角，从而求出其“中心投影点”构成的曲线的长度.【解析】曲线的渐近线方程为： ，设渐近线与圆的交点分别为,如下图则曲线上所有点的“中心投影点”构成的曲线为圆弧 由题意，所以 所以,则故答案为：9【分析】根据“友好点”的定义，根据逐项判断即可得到结果【解析】定义点的“友好点”为：，即，且 对于，取，且，则点的“友好点”点，所以的“友好点”
15、是点，故错误；对于，设单位圆上任意一点，所以的“友好点”点，所以仍在在单位圆上，故正确； 对于，取，且，则点的“友好点”点，若的“友好点”点为，则，可知，所以点一定在单位圆上，故正确；对于，由“友好点”点的定义可知且，故，故错误 故答案为：【点评】本题考查了新定义型问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型10（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）利用椭圆C的长轴长是短轴长的倍，且经过点，列方程求出的值，从而可得答案；（2）讨论弦垂直与不垂直于x轴两种情况，不垂直时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用点到直线距离公式、勾股定理求出弦的长，利用韦达定理，结合化简即
16、可得答案.【解析】（1）由题意解得，所以椭圆的标准方程为椭圆C的“准圆”方程为（2）证明：当弦轴时，交点关于x轴对称，又，则，可设得此时原点O到弦的距离，则，因此当弦不垂直于x轴时，设直线的方程为，且与椭圆C的交点，联列方程组，代入消元得：，由可得，由得，即，所以此时成立，则原点O到弦的距离，则，综上得，因此弦的长为定值.【点评】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.11（1）；（2）；（3）证明见解析，定圆的方程为.【分析】（1）由协同圆的定义，结合椭圆
17、方程的参数写出协同圆圆的方程；（2）讨论直线的斜率存在和不存在两种情况：斜率不存在时，直接求出交点坐标，利用向量数量积的坐标表示求；斜率存在时，设联立椭圆方程，由切线的性质确定判别式符号，应用根与系数关系、向量数量积的坐标表示求；（3）设，则，讨论有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在，分别求，由等面积法求，即可证结论，并写出定圆方程.【解析】（1）由椭圆，知.根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆.（2）设，则.直线为圆的切线，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论：当直线的斜率不存在时，直线.若，由，解得，此时.若，同理得：.当直线的斜率存在时，设.由，得，有，又直线是圆的切线，故，
18、可得.，则，而.，即.综上，恒有.（3）是椭圆上的两个动点且，设，则.直线：有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论.若直线的斜率不存在，即点在轴上，则点在轴上，有.，且，由，解得.若直线的斜率都存在，设，则.由，得，有；同理，得.于是，.由，可得.因此，总有，即点在圆心为坐标原点，半径为的圆上.该定圆的方程为圆.【点评】 研究直线与曲线相交关系注意讨论直线的斜率是否存在，求出交点坐标或联立椭圆、直线方程，根据判断判别式的符号、根与系数关系，结合题设已知条件列方程求定值或定曲线.12（1）椭圆方程为，“准圆”方程为x2y24；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知，进而可得椭圆
19、C的方程和其“准圆”方程；（2）当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，分别求出l1和l2，验证命题成立；当l1，l2斜率存在时，设点P(x0，y0)，其中，联立过点P(x0，y0)与椭圆相切的直线方程与椭圆方程，由0化简整理，可证得l1l2；进而得出线段MN为“准圆”x2y24的直径，即线段MN的长为定值【解析】（1）椭圆C的一个焦点为 其短轴上的一个端点到F的距离为.，椭圆方程为，“准圆”方程为x2y24.（2）证明：当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x，当l1：x时，l1与“准圆”交于点(，1)，(，1)，此时l2为y1(或y1)，显然直线l1，l2垂
20、直；同理可证当l1：x时，直线l1，l2垂直当l1，l2斜率存在时，设点P(x0，y0)，其中.设经过点P(x0，y0)与椭圆相切的直线为yt(xx0)y0，由得(13t2)x26t(y0tx0)x3(y0tx0)230.由0化简整理，得(3)t22x0y0t10，有(3)t22x0y0t(3)0.设l1，l2的斜率分别为t1，t2，l1，l2与椭圆相切，t1，t2满足上述方程(3)t22x0y0t(3)0，t1t21，即l1，l2垂直综合知，l1l2.l1，l2经过点P(x0，y0)，又分别交其“准圆”于点M，N，且l1，l2垂直线段MN为“准圆”x2y24的直径，|MN|4，线段MN的长为
21、定值【点评】思路点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查新定义，考查椭圆的切线方程，考查直线与椭圆的位置关系，有关平面解析问题一些基本解题思想总结如下：1.常规求值问题：需要找等式，范围问题需要找不等式；2.是否存在问题：当作存在去求，不存在时会无解；3.证明定值问题：把变动的元素用参数表示出来，然后证明结果与参数无关，也可先猜再证；4.处理定点问题：把方程中参数的同次项集在一起，并令各项系数为，也可先猜再证；5.最值问题：将对象表示为变量的函数求解13（1）；（2）.【分析】（1）设是抛物线上任意一点，则，可求出答案.（2）设线段的端点分别为A，B，以直线为x轴，的中点为原点建立直角坐标系，则，,
22、则集合所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，从而可求解.【解析】解：（1）设是抛物线上任意一点，则，因为，所以当时，.点到抛物线的距离.（2）设线段的端点分别为A，B，以直线为x轴，的中点为原点建立直角坐标系，则，点集D由如下曲线围成：，集合所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，其面积为.【点评】本题考查抛物线上的点与已知点的距离的最值，考查新定义问题，考查数形结合思想，考查逻辑分析能力，属于中档题.14（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）本题可根据题意得出以及，然后通过计算得出、的值以及椭圆方程，最后根据即可求出卫星圆的方程；（2）本题可先讨论、中有
23、一条无斜率的情况，通过求出与的方程即可求出的值，然后讨论、都有斜率的情况，设点以及经过点且与椭圆只有一个公共点的直线为，再然后通过联立方程以及韦达定理的应用得出满足条件的两直线、垂直，判断出此时线段应为“卫星圆”的直径以及的值，最后综合两种情况即可得出结果.【解析】（1）因为椭圆的离心率为，点在上，所以，解得，椭圆方程为，因为，圆心为原点，所以卫星圆的方程为.（2）当、中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，所以其方程为或，当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和，此时经过点或且与椭圆只有一个公共点的直线是或，即为或，此时，线段应为“卫星圆”的直径，当、都有斜率时，设点，其中，设
24、经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，联立方程，消去得到，则，满足条件的两直线、垂直，此时线段应为“卫星圆”的直径，综合可知，为定值，.【点评】本题考查椭圆方程的求法以及圆的方程的求法，考查椭圆、直线以及圆相交的综合问题的求解，考查韦达定理以及判别式的灵活应用，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.15（1）不存在，理由详见解析；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）由题意可知，点为的重心，假设存在一点使得“向心三角形”存在，求得该点的坐标，代入抛物线的方程，进行判断即可；（2）设点、，利用点差法求得，根据重心的坐标公式，求出线段的中点坐标，然后利用点斜式方程可得出直线的方程；（3）由，等
25、式两边平方，利用基本不等式可得出，结合等式可求出，进而证明结论成立.【解析】（1）由题意可知，抛物线的标准方程为，由，可知，为重心，设存在点“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和，另外的顶点为，由，解得：，显然，故不存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和；（2）设、，由，两式相减，得，所以，所以，由题意可知，所以，则，由，所以，所以，线段的中点，因此，直线的方程为，整理得.因此，直线的方程；（3）由（2）可知，则，由，平方可得，当且仅当时取等号，显然，所以，即，将代入可得，解得，所以点的横坐标小于.【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查三角形重心坐标公式的应用、
26、点差法以及基本不等式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.16（1）l与椭圆C相切见解析（2）逆命题：若直线与椭圆C相交，则点在椭圆C的外部是真命题见解析（3）为定值0，见解析【分析】（1） ，由根的差别式能得到l与椭圆C相切（2）逆命题：若直线与椭圆C相交，则点在椭圆C的外部是真命题联立方程得由，能求出在椭圆C的外部（3）此时与椭圆相离，设则代入椭圆，利用M在上，得由此能求出【解析】解：（1）即与椭圆C相切（2）逆命题：若直线与椭圆C相交，则点在椭圆C的外部是真命题联立方程得则在椭圆C的外部（3）同理可得此时与椭圆相离，设则代入椭圆，利用M在上，即，整理得同理得关于的方程，类似即是的两
27、根【点评】本题是一道解析几何中的新定义题目，考查了四种命题以及命题真假的判断、直线与椭圆中的定值问题，考查了学生审题、分析、解决问题的能力，综合性比较强，属于难题.17（1）是；（2）；（3）是，证明见解析.【分析】（1）直接判断即可，（2）由（1）的方法判断，可得y2时，函数值达到最大，分别讨论二次项系数的正负，是否满足条件得出a的取值范围；（3）设参数方程满足以MN为直径的圆过原点，使数量积为零得出定点（0，2）【解析】（1）由题意得椭圆方程：1，所以A（0，2），设P（x，y）则|PA|2x2+（y2）25（1）+（y2）2y24y+9，y2，2，二次函数开口向下，对称轴y8，y2，2上
28、函数单调递减，所以y2时，函数值最大，此时P为椭圆的短轴的另一个端点，椭圆是“圆椭圆”；（2）由（1）的方法：椭圆方程：1，A（0，2）设P（x，y），则|PA|2x2+（y2）2a2（1）+（y2）2（1）y24y+4+a2，y2，2，由题意得，当且仅当y2时，函数值达到最大，讨论：当开口向上时，满足：2a2（与矛盾，舍）；当开口向下时，满足2a2，综上a的范围：（2，2（3）a2，椭圆方程：1，由题意：设P（2cos，sin），0，2，且，则Q（2cos，sin），则直线AP：yx+2M（，0）则直线AQ：y2N（，0），MN为直径的圆过定点C，由对称性知C在y轴上，设C（0，n）则，且0， ,（n），,所以得定点（0，2）【点评】考查新定义圆椭圆的定义，以及圆过定点问题，涉及到二次函数最值问题的考查，考查了分类讨论及转化的数学思想，属于中档题
