1、（第一课时）（第一课时）1.1.21.1.2空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算记作：规定： 如果 ，那么向量a,b互相垂直，记作ab .两个非零空间向量的夹角： ba.OAB ,已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O, 作OAa OBb则叫做向量的夹角.AOBa,b.a,b0, a b,2a b aOAbB两个非零空间向量的夹角： （1 1）向量）向量a,b a,b ababOABabOaAbB （2 2）向量）向量a,b a,b =0a,b=a,b记作：两个非零空间向量的数量积： ,已知两个非零向量a,bcos,inner product)则叫做的数量积(a ba ba b.a b
2、cos,.即 a ba ba b规定：零向量与任意向量的数量积都等于零. 两个向量的数量积是数量还是向量？数量!（1）0a = （选择0还是0）. （2）对于两个非零向量a，b，ab ab _.（3）aa_或|a|_.（4）若a，b同向，则 ab_；若反向，则ab_.（5）|ab| _ |a|b|（6）若为a，b的夹角，则cos _.a a空间向量的数量积的性质： 02aa b a ba ba b证明垂直关系证明垂直关系求空间向量的长度求空间向量的长度求向量夹角的余弦值求向量夹角的余弦值【例【例1 1】如图所示，在棱长为】如图所示，在棱长为1 1的正四面体的正四面体ABCDABCD中，中，E
3、E，F F分别是分别是ABAB，ADAD的中点，求的中点，求值：值： （1） EF BA （2） EF BD （3） EF DC=cos, （1） EF BAEF BAEF BA11=1 cos60 =24 【解】【解】【例【例1 1】如图所示，在棱长为】如图所示，在棱长为1 1的正四面体的正四面体ABCDABCD中，中，E E，F F分别是分别是ABAB，ADAD的中点，求的中点，求值：值： （1） EF BA （2） EF BD （3） EF DC= （2） EF BDEF BD11=1=22=cos, （3） EF DCEF DCEF DC11=1 cos120 =24 【解】【解】在平
4、面向量的学习中，我们学习了向量的投影：baABA1DCB1ba.ONMM1 |a|cosa,b |bb1 OM类似地，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？作法1作法2在空间中，由于向量a与向量b是自由向量，将向量a与向量b平移到同一平面内进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的投影向量c：ba.Oac向量a向向量b投影： cos,bcaa bb 投影向量投影向量c的长度？的长度？cos,caa b向量a向直线l投影： la.Oac向量a向直线l投影： 向量a向平面投影： caABA1B1a注：向量a与投影向量c的夹角就是向量a所在的直线与平面所成的角类比平面向量数量积的运算律，空间向量
5、数量积满足哪些运算律？数乘向量与向量数量积的结合律(a)b(ab), R交换律abba分配律a(bc)abac平面向量数量积的运算律： 空间向量？同样满足上述运算律！AOBCabc, 令OAa OBb BCc()OA OBBCOA OC 左边=|cos OA OC=| OA OCCOCOA 记与的夹角为OCOAOC 向投影，投影向量为cos = 则 OCOCAOBCabcC1OBOA 记与的夹角为=| 左边OA OCBBCOAB C 同理， 向投影，投影向量为2BCOA 记与的夹角为OA OBOA BC 右边12=|cos|cos OA OBOA BC=| | | OA OBOA B C=|(
6、|) OAOBB C=|= 左边OA OCOB OAOB 向投影，投影向量为思考问题1 对于三个均不为0的数a,b,c，若ab=ac，则b=c.对于非零向量a,b,c，由abac，能得到bc吗？ 不一定！不一定！由ab = ac， abac 0，有a(bc)0. 或 a(bc).从而有bc 0即bcaOAbBcC思考问题2 对于三个均不为零的数a,b,c，若abc，则 或 .那么对于向量a,b，若abk，能写成 或 吗？ 不能！不能！kabcabkbaabk ac ?.?k=bca向量没有除法运算向量没有除法运算! !cba思考问题3 对于三个均不为零的数a,b,c，则 (ab)c a(bc)
7、.那么对于向量a,b,c，(ab)c a(bc)成立吗？不一定！两个向量的数量积为一个实数，(ab)c和a(bc)分别表示与向量c和向量a共线的向量，它们不一定相等. 向量的数量积运算没有结合律向量的数量积运算没有结合律!（1）空间向量夹角的定义及范围；）空间向量夹角的定义及范围；（2）空间向量数量积运算的定义、性质与几何意义；）空间向量数量积运算的定义、性质与几何意义；（3）空间向量数量积运算的运算律及简单计算）空间向量数量积运算的运算律及简单计算.【练习【练习1 1】如图所示，在棱长为】如图所示，在棱长为1 1的正四面体的正四面体ABCDABCD中，中，E E，F F分别是分别是ABAB，ADAD的中点，的中点，求求 AB CD= AB CD ABADACAB ADAB AC=cos,cos, AB ADAB ADAB ACAB AC【解】【解】0=1 1 cos601 1 cos60 =0 【练习【练习1 1】如图所示，在棱长为】如图所示，在棱长为1 1的正四面体的正四面体ABCDABCD中，中，E E，F F分别是分别是ABAB，ADAD的中点，的中点，求求 AB CD（1）能否利用空间向量的数量积证明空间中两条直线垂直？（2）能否利用空间向量的数量积求出空间中异面直线所成角？（3）能否利用空间向量的数量积解决更多的立体几何中的问题？
