1、2.4.2 2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程圆的标准方程：圆的标准方程： (x-a)2 +(y-b)2 =r2 (r0) 其中点其中点(a，b)为圆心，为圆心， r为半径为半径特别地，当圆心在坐标原点时，特别地，当圆心在坐标原点时，圆的方程是圆的方程是 x2 +y2 =r2 复习回顾复习回顾一、一、 复习引入复习引入圆的标准方程圆的标准方程:可见：任何一个圆的方程都可以化成下面的形式可见：任何一个圆的方程都可以化成下面的形式 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (1)二元二次方程（二元二次方程（1）表示的曲线是否一定为一个圆）表示的曲线是否一定为一个圆?(x-a)2 +(y-b)2=r2 (r
2、0)将标准方程展开可得将标准方程展开可得: x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0 (1) x2+y22x+4y+4=0(2) x2+y22x+4y+5=0(3) x2+y22x+4y+6=0练：判断下列二元二次方程是否表示一个圆的方程练：判断下列二元二次方程是否表示一个圆的方程(x1)2+(y+2)2=1(x1)2+(y+2)2=0(x1)2+(y+2)2=1已知方程已知方程 x2 +y2+Dx+Ey+F=022221()()(4 )224DExyDEF故（故（1）当）当D2+E2-4F0时，该方程表示以点时，该方程表示以点 (,)22DE22142DEF为圆心，为圆心， 为半径的
3、圆为半径的圆（2）当）当D2+E2-4F=0时，该方程表示点时，该方程表示点 (,)22DE（3）当）当D2+E2-4F0时时,方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆表示一个圆叫做圆的一般方程叫做圆的一般方程已知方程已知方程 x2 +y2+Dx+Ey+F=022221()()(4 )224DExyDEF配方，得配方，得二、二、 新课讲解新课讲解注意：注意：（1）圆的方程是二元二次方程，但二元二次方程不）圆的方程是二元二次方程，但二元二次方程不 一定能表示一个圆；一定能表示一个圆；（2）上述方程要表示圆，需满足）上述方程要表示圆，需满足 D2+E2-4F0；（3）圆的一般方程中，）圆的
4、一般方程中，x2 和和y2的系数都是的系数都是1；例例1.求过三点求过三点O(0，0)，A(1，1)，B(4，2)的圆的方程，的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心的坐标并求出这个圆的半径长和圆心的坐标.解：设所求圆的方程为解：设所求圆的方程为 x2 +y2+Dx+Ey+F=0 则依题意可得则依题意可得F=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0解得解得 D=-8，E=6，F=0故所求圆的方程为故所求圆的方程为 x2 +y2-8x+6y=0 三、三、 例题例题练习：练习：123页页1、2题题所求的圆心坐标是（所求的圆心坐标是（4，-3），半径长），半径长r=5 。 例例2.已知线段已知线段
5、AB的端点的端点B的坐标为（的坐标为（4，3），端点），端点A在在圆圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段上运动，求线段AB的中点的轨迹方程的中点的轨迹方程.解：设点解：设点M的坐标为的坐标为(x，y)，点，点A的坐标为的坐标为(x0，y0)0043,22xyxy即即x0=2x-4， y0=2y-3则依题意可得则依题意可得 点点A在圆在圆(x+1)2+y2=4上运动上运动 (x0+1)2+y02=4故故(2x-4+1)2+(2y-3)2=42233()()122xy整理，得整理，得故故线段线段AB的中点的轨迹方程的中点的轨迹方程为为2233()()122xy三、三、 例题例题xyoB(4,3)
6、AM(x,y)例例2.已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标为（的坐标为（4，3），端点），端点A在在圆圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段上运动，求线段AB的中点的轨迹方程的中点的轨迹方程.三、三、 例题例题xyoB(4,3)AM(x,y)相关点法相关点法是指：当生成轨迹的动是指：当生成轨迹的动点点M随着另一动点随着另一动点A的变动而有的变动而有规律地变动，且规律地变动，且A又落在一给定又落在一给定的曲线的曲线C上时上时,根据条件去寻找根据条件去寻找表表示示M、A两点间规律的表达式，两点间规律的表达式，然后将然后将A点的两个坐标分别用点的两个坐标分别用M点的坐标来表示，再把点的坐标来表示
7、，再把A点的坐点的坐标代入曲线标代入曲线C的方程的方程这一方法这一方法的本质问题是代入！的本质问题是代入！ 例例3. 方程方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0 表示圆，表示圆，（1）求）求m的取值范围；的取值范围；（2）求半径）求半径r的取值范围的取值范围.解：（解：（1）依题意可得）依题意可得 4 (m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)0 整理，得整理，得 7m2-6m-10解得解得117m117m（， ）的的取取值值范范围围为为三、三、 例题例题解：（解：（2）222424(3)4(1 4)4(169) 761rmmmmm23167()77m4
8、 707r（ ，半半径径 的的取取值值范范围围为为4 77例例3. 方程方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0 表示圆，表示圆，（1）求）求m的取值范围；的取值范围；（2）求半径）求半径r的取值范围的取值范围.三、三、 例题例题小结：用待定系数法求圆的方程步骤小结：用待定系数法求圆的方程步骤 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；2. 根据条件列出关于根据条件列出关于a,b,r或或D,E,F的方程；的方程； 3. 解方程组，求出解方程组，求出a,b,r或或D,E,F的值，代入所设方程，的值，代入所设方程， 就得要求的方程就得要求的方程五、五、 小结小结作业.
