1、 3.3.1 3.3.1 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 yxo 在二次函数中研究的抛物线，在二次函数中研究的抛物线， 有开口向上或向下两种情形。有开口向上或向下两种情形。抛物线是一种常见的曲线，抛物线是一种常见的曲线，例如喷泉中喷出的例如喷泉中喷出的水珠水珠。你能举出生活中与抛物线有关的例子吗你能举出生活中与抛物线有关的例子吗?射电望远镜天线阵射电望远镜天线阵赵州桥赵州桥探照灯探照灯投篮运动投篮运动在平面解析几何里，抛物线是怎样在平面解析几何里，抛物线是怎样形成形成的？的？ 二次函数的图象是抛物线，且研究过它二次函数的图象是抛物线，且研究过它的顶点坐标及对称轴等问题的顶点坐标及对称轴等
2、问题定点定点F F叫做抛物线的叫做抛物线的定直线定直线l叫做抛物线的叫做抛物线的 1.抛物线的定义：抛物线的定义： 平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线 的距离的距离相等的点的轨迹叫做相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线l()FllFKMHFl思考：若点 在 上呢？Fl过点 且与直线 垂直的一条直线圆锥曲线圆锥曲线统一统一定义定义： 平面内平面内与一个与一个定点定点F的距离和一条的距离和一条定直线定直线 的距离的比是常数的距离的比是常数e的点的轨迹的点的轨迹.MFl0e 1lFMe1(3) 当当e1时，是双曲线时，是双曲线;(1)当当0e 0)| |MFMN22()|22p
3、pxyx 方程方程 y2 = 2px（p0）叫做叫做抛物线的标准方程抛物线的标准方程(焦点位于焦点位于X轴的正半轴上，其准线交轴的正半轴上，其准线交于于X轴的负半轴轴的负半轴)其中其中 为正常数，它的几何意义是为正常数，它的几何意义是: 抛物线的标准方程抛物线的标准方程焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离xyoFMlNK设设KF= p则则F（ ，0），），L：x =- p2p2设动点设动点M的坐标为（的坐标为（x，y） 由抛物线的定义可知，由抛物线的定义可知，化简得化简得 y2 = 2px（p0）解：如图，取过焦点解：如图，取过焦点F F且垂直于准线且垂直于准线L L的直的直线为线为
4、x x轴，线段轴，线段KFKF的中垂线为的中垂线为y y轴轴 ( p 0)22()+22ppxyxp 把方程把方程 y2 = 2px（p0） p 的几何意义是: 焦点到准线的距离 其中 焦点 F（ ，0），准线方程l：x = - p2p2KOlFxy. 把方程把方程 y2 = 2 2px (p0)叫做抛物线的叫做抛物线的标准标准方程方程.其中其中 p 为正常数为正常数,表示焦点在表示焦点在 x 轴正半轴上轴正半轴上.且且 p的几何意义是的几何意义是: : 焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离焦点坐标是焦点坐标是(,0)2p2px 准线方程为准线方程为: :想一想想一想: : 坐标系的
5、建立还坐标系的建立还有没有其它方案有没有其它方案也也会使抛物线方程的形式简单会使抛物线方程的形式简单 ？yxo方案方案(1)(1)yxo方案方案(2)(2)yxo方案方案(3)(3)yxo方案方案(4)(4)y2=2px ( (p0) )想一想想一想? 这种坐标这种坐标系下的抛物系下的抛物线方程形式线方程形式怎样怎样? ?)0(22ppyx四种标准方程四种标准方程 一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种形式种形式.yxoyxoyxoyxo(, 0)2p2px ( (三三) )
6、抛物线的标准方程抛物线的标准方程 图图 形形 焦焦 点点 准线方程准线方程 标准方程标准方程y2= - -2px(p0)x2=2py(p0)x2= - -2py(p0)y2=2px(p0)2px (,0)2p 0 ,2p 2py 0,2p 2py 图形图形标准方程标准方程pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p？焦点在一次项字母对应的坐标轴上. 一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向. 左边都是平方项， 右边都是一次项.2ymx,04m4mx 4my 2xmy0,4m4.4.四种抛物线的标准方程对比四种抛物线的标准方程对比例例1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：求下列抛物线的
7、焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20 x （2）y=2x2 （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程（1)（2)（3)（4)（5，0）x= -5（0，）18y= - 188x= 5（- ，0）58（0，-2）y=2练习：练习：1、求下列抛物线的焦点坐标和准线、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程方程.（1）y 2 = 20 x（2） x 2 = y12（4）（3） 2 y 2 +5x=0焦点焦点F ( 5 , 0 ) 准线：准线：x =518焦点焦点F ( 0 , ) 准线：准线：y = 18求抛物线的焦点时一定要先把抛求抛物线的焦点时一定要先把抛
8、物线化为标准形式；物线化为标准形式；本题小结本题小结:先定位先定位，后定量。后定量。焦点焦点508F，准线准线58x 214yx焦点F（0，1） 准线：y=-12、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（3 3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2 2. . （1 1）焦点是）焦点是 ； )0 , 3(F（2 2）准线方程是）准线方程是 ； 41xxy122xy 2yx42xy42或或小结：小结：已知抛物线的标准方程已知抛物线的标准方程 求其焦点坐求其焦点坐标和准线方程标和准线方程.先定位先定位，后定量后定量3、设抛物线、设抛物线 上一点上一点P到到y轴
9、的距离是轴的距离是4，则点则点P到该抛物线焦点的距离是（到该抛物线焦点的距离是（ ） A.4 B.6 C.8 D.12xy82B例例2：求过点：求过点A（-3，2）的抛物线的的抛物线的 标准方程标准方程.AOyx解：解：1）设抛物线的标准方程为）设抛物线的标准方程为 x2 =2py(p0)，把把A（-3，2）代代入入， 得得p= 49 2）设抛物线的标准方程为）设抛物线的标准方程为 y2 = -2px(p0)，把把A（-3，2）代入代入， 得得p= 32抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2 = y或或y2 = x 。2934解：解：二次函数二次函数 y = ax2 化为：化为：x2= y
10、，表示抛物线表示抛物线1a其中2p=1 a4a1焦点坐标是（0 ， ），准线方程是： y=4a1当当a0时时, ,抛物线的开口向上抛物线的开口向上p2=14a思考：思考：试讨论试讨论抛物线抛物线y = ax2 的的开口方向、焦点开口方向、焦点坐标和准线方程。坐标和准线方程。变式变式练习：练习：1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（3，0）；）；（2）准线方程）准线方程 是是x = ；41（3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2。y2 =12xy2 =xy2 =4x、y2 = -4x、x2 =4y 、x2 = -4y(4) 过
11、点过点A（-3，2）229423xyyx 或例例2.点点M与点与点F(4,0)的距离比它到直线的距离比它到直线l:x+5=0的距离的距离小小1,求点求点M的轨迹方程的轨迹方程.xyoF(4,0)Mx+5=0 解解: :由已知条件可知由已知条件可知, ,点点M M与点与点F F的距离等于它到直的距离等于它到直线线x+4=0 x+4=0的距离的距离, ,根据抛物根据抛物线的定义线的定义, ,点点M M的轨迹是以的轨迹是以点点F(4,0)F(4,0)为焦点的抛物线为焦点的抛物线. .p/2=4,p=8.p/2=4,p=8.又因为焦点在轴的正半轴又因为焦点在轴的正半轴, ,所以点所以点M M的轨迹方程
12、为的轨迹方程为 y y2 2=16x.=16x.1.理解抛物线的定义,四种标准方程类型.2.抛物线四种标准方程形式与图象、焦点坐标、准线方程的相应关系思考：二次函数 图象的焦点坐标 及准线方程？2(0)yaxbxc a解法一：以 为 轴，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定点 设动点点 ，由抛物线定义得：LyFLx( , )F p o( , )M x yxypx22)(化简得：222(0)pxpypM(x,y)xyOFL解法二：以定点 为原点，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点 ， 的方程为FFLx(0,0)FLxp 设动点 ，由抛物线定义得
13、 ( , )M x y22yx xp化简得： 222(0)pxpypM(x,y)xyF(O)L准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程焦点位置焦点位置 图图 形形三三. . 四种抛物线及其它们的标准方程四种抛物线及其它们的标准方程 x轴的轴的正半轴上正半轴上 x轴的轴的负半轴上负半轴上 y轴的轴的正半轴上正半轴上 y轴的轴的负半轴上负半轴上y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py)0 ,2(pF)0 ,2pF(-)2, 0(pF)2, 0(pF-2=px-2=px2=py2=py-例例2 2. .求过点求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。）的抛物线的标准方程。AOyx解
14、：当抛物线的焦点在解：当抛物线的焦点在y轴轴的正半轴上时，把的正半轴上时，把A（-3，2）代入代入x2 =2py，得，得p= 49当焦点在当焦点在x轴的负半轴上时，轴的负半轴上时，把把A（-3，2）代入）代入y2 = -2px，得得p= 32抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2 = y或或y2 = x 。2934题型一：题型一：利用抛物线的定义解题利用抛物线的定义解题例例1：已知抛物线：已知抛物线y22x的焦点是的焦点是F，点，点P是抛物线上的动点，又是抛物线上的动点，又有点有点A(3,2)，求，求|PA|PF|的最小值，并求出此时的最小值，并求出此时P点的坐标点的坐标 2326xyxy解
15、：将代入抛物线方程，得62,A点 在抛物线内部。1:,2Pl xPQd如图,设抛物线上点 到准线的距离为PAPFPAd由定义知: ，72APlPAd由图可知，当时， 最小，最小值为 ，2 ,2.,PyxxP22 2此时 点纵坐标为2,代入得点 的坐标为4 ,(12,6),xyPAPAPx2已知抛物线点 是抛物线上的动点,点求练习：点 到点 的距离与点 到 轴的距离之和的最小值A解:易知点 在抛物线外部，( , ),(0,1),P x yF设焦点Pxy则 到 轴的距离即 值,11Pydyd 设 到准线的距离为 ，则1,PAyPAd 故 1PAdPAPF 于是-1.PFd由抛物线定义知APFPAP
16、F当 、 、 三点共线时，取最小值，故所求距离之和的最小值为12.AF最小值为=13.题型一：题型一：利用抛物线的定义解题利用抛物线的定义解题例例1.（1）已知抛物线的标准方程是）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它的，求它的焦点坐标及准线方程焦点坐标及准线方程33( ,0),22Fx焦点：准线：题型二：求抛物线方程的方法：题型二：求抛物线方程的方法：-待定系数法待定系数法（2）已知抛物线的焦点坐标是）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，2），求抛物线），求抛物线的标准方程的标准方程xyolF（0,2）解解:(:(2)2)因为焦点在因为焦点在y y轴的负半轴上，轴的负半轴上，并且并且
17、所求抛物线的标准方所求抛物线的标准方程是程是 x2 =8y . = 2,p = 4 ,2p28xy FxyolX = 1解：解：（3）准线方程是准线方程是 x = 1，（3）已知抛物线的准线方程为）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线的标，求抛物线的标准方程准方程y 2 =4 x题型二：求抛物线方程的方法：题型二：求抛物线方程的方法：-待定系数法待定系数法且焦点在且焦点在 x 轴的负半轴上，轴的负半轴上，所求抛物线的标准方程是所求抛物线的标准方程是 y2 =4x . p =2 ，xyo(3,2)解：解：（4）点点A(3，2) 在第一象限，在第一象限，y 2 = x 或或 x 2 =
18、y4392（4）求过点）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程）的抛物线的标准方程224932yxxy或抛物线的开口方向只能抛物线的开口方向只能是向右或向上，是向右或向上，设抛物线的标准方程是设抛物线的标准方程是 y2 = 2px（p0），），或或 x2 = 2py（p0），），将（将（3，2）点的坐标分别代入）点的坐标分别代入上述方程可得抛物线的标准方上述方程可得抛物线的标准方程为程为题型二：求抛物线方程的方法：题型二：求抛物线方程的方法：-待定系数法待定系数法例例3点点M到点到点F(4，0)的距离比它到直线的距离比它到直线l: x+5=0 的距离小的距离小 1，求点求点M的轨迹方程。的轨迹方
19、程。|MF|+1=|x+5|ly.oxMF解（直接法）：解（直接法）：设设 M(x，y)，则，则由已知，得由已知，得51)4(22xyx即化简得xy162.的轨迹方程即为点 M另解另解(定义法定义法)：由已知，得点由已知，得点M到点到点F(4，0)的距离等于它到直线的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离的距离.由抛物线定义知：由抛物线定义知：点点M的轨迹是以的轨迹是以F(4，0)为焦点的抛物线为焦点的抛物线.，42p.8 p.162xyM的轨迹方程为故点题型二：求抛物线方程的方法：题型二：求抛物线方程的方法：-轨迹法，定义轨迹法，定义法法练习：练习：若动圆若动圆M与圆与圆C：(x2)2y
20、21外切，又与直外切，又与直线线x10相切，则动圆圆心的轨迹方程是相切，则动圆圆心的轨迹方程是()(A)y28x (B)y28x (C)y24x (D)y24x解解:设动圆圆心为设动圆圆心为M(x，y),半径为半径为R, 圆圆C:圆心为圆心为C(2,0),半径半径r1. 圆圆M与圆与圆C外切，外切，|MC|R1.又动圆又动圆M与已知直线与已知直线x10相切，相切，圆心圆心M到直线到直线x10的距离的距离dR.即动点即动点M到定点到定点C(2,0)的距离等于它到定直线的距离等于它到定直线x20的距离的距离 |MC|d1.由抛物线的定义可知，由抛物线的定义可知，点点M的轨迹是以的轨迹是以C(2,0
21、)为焦点，为焦点，x20为准线的抛物线，为准线的抛物线， 且且p/22，p4， 故其方程为故其方程为y28x.A3)4(1m20:8myx时,抛物线的方程是024pmmpm当时，2 =- ,8m0,24pmmpm解 :当时 由 2得:4mx 准线方程是1x准线与直线的距离为练习：练习：21ymxx设抛物线的准线与直线的距离为,求抛物线方程.点拨：求抛物线的标准方程关键是知道标准方点拨：求抛物线的标准方程关键是知道标准方程的程的类型和的值类型和的值2016myx时，抛物线的标准方程为：:4mx 准线方程是1x准线与直线的距离为134m 16m M是抛物线是抛物线y2 = 2px（P0）上一点，）
22、上一点，若点若点M 的横坐标为的横坐标为X0，则点，则点M到焦点的距离到焦点的距离是是.X0 + 2pOyxFM思考题思考题 :02pM Fx焦 半 径 公 式 : 抛物线抛物线 上有一点上有一点M,其横坐标为其横坐标为-9,它到焦点的距离为它到焦点的距离为10,求抛物线方程和求抛物线方程和M点的坐标点的坐标.应用提高应用提高) 0(22 ppxy:,0),22pplx 解 抛物线焦点F(-准线 ：M lMFd( 9)102p 2p24yx 抛物线方程为：2( 9, )46Myyxy 代入：，得( 9, 6)M1 1、已知抛物线的顶点在原点，焦点在已知抛物线的顶点在原点，焦点在x x轴上，抛轴
23、上，抛物线上一点物线上一点M M(-3(-3，m)m)到焦点的距离为到焦点的距离为5 5，求，求m m的值、的值、抛物线方程和准线方程抛物线方程和准线方程. .解：抛物线顶点在原点，焦点在解：抛物线顶点在原点，焦点在x x轴上，过轴上，过M(-3,m), M(-3,m), (,0)2pF 焦点22(3)()52pMFm 抛物线方程可设为：抛物线方程可设为：y y2 2=-2px(p0)=-2px(p0)22 ( 3)mp 42 6pm 抛物线方程为：抛物线方程为：y y2 2=-8x=-8x，2 6m 准线方程为：准线方程为：x=2x=22 2、求顶点在原点求顶点在原点, ,焦点在焦点在x x
24、轴上的抛物线且截直线轴上的抛物线且截直线2x2x-y+1=-y+1=0 0所得的弦长为所得的弦长为 的抛物线的方程的抛物线的方程. .15解：设所求的抛物线方程为解：设所求的抛物线方程为y y2 2=mx=mx把把y=2x+1y=2x+1代入代入y y2 2=mx=mx化简得：化简得：4x2+(4-m)x+1=01244mxx1214xx221212(1)()4lkxxx x2(4)5116m15124mm 或所求的抛物线方程为所求的抛物线方程为y y2 2=12x=12x或或y y2 2=-4x=-4x4.4.标准方程中标准方程中p p前面的前面的正负号正负号决定抛物线的决定抛物线的 开口方向开口方向 1.1.抛物线的定义抛物线的定义; ;2.2.抛物线的标准方程有四种不同的形式抛物线的标准方程有四种不同的形式, , 每一对焦点和准线对应一种形式每一对焦点和准线对应一种形式; ;3.3.p p的几何意义是的几何意义是: :焦点到准线的距离焦点到准线的距离; ;课堂小结课堂小结
