3.1.2 椭圆的离心率常考题选-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

绝密启用前绝密启用前3.1.2 椭圆的离心率常考题精选2021-2022 学年高二数学（人教 A 版 2019 选择性必修第一册）考生须知：考生须知：1.本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟。1.本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟。2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。4.考试结束后，只需上交答题纸。4.考试结束后，只需上交答题纸。一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。)1(本题本题 5 分分)己知椭圆己知椭圆2221 10 xybb的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为1F，2F，点，点 M 是椭圆上一点，点是椭圆上一点，点 A 是线段是线段12FF上一点，且上一点，且121223FMFFMA ，32MA ，则该椭圆的离心率为（，则该椭圆的离心率为（ ）A32B12C2 23D332(本题本题 5 分分)已知椭圆已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为的离心率为63，直线，直线0axby与圆与圆221:04M xymx相切，则实数相切，则实数 m 的值是（的值是（ ）AB2C4D83 (本题本题 5 分分)若椭圆若椭圆C：22221xyab（0ab） 满足） 满足2bac， 则该椭圆的离心率， 则该椭圆的离心率e （ ） ） A55B35C104D1524 (本题本题 5 分分)椭圆椭圆222210 xyabab的中心的中心 O 与一个焦点与一个焦点 F 及短轴的一个端点及短轴的一个端点 B 组成等腰直角三角形组成等腰直角三角形 FBO，则椭圆的离心率是（，则椭圆的离心率是（ ）A12B2C32D225(本题本题 5 分分)已知已知F是椭圆是椭圆E：22221(0)xyabab的左焦点，经过原点的直线的左焦点，经过原点的直线l与椭圆与椭圆E交于交于,P Q两点，若两点，若2PFQF，且，且120PFQ，则椭圆，则椭圆E的离心率为（的离心率为（ ）A33B12C13D226(本题本题 5 分分)已知椭圆已知椭圆22122:10 xyCabab与圆与圆2222:Cxyb，若在椭圆，若在椭圆1C上存在点上存在点P，使得过点，使得过点P所作的圆所作的圆2C的两条切线互相垂直，则椭圆的两条切线互相垂直，则椭圆1C的离心率的取值范围是（的离心率的取值范围是（ ）A1,12B23,22C2,12D3,127(本题本题 5 分分)如图，已知如图，已知1F，2F分别是椭圆的左、右焦点，现以分别是椭圆的左、右焦点，现以2F为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点M，N若过点若过点1F的直线的直线1MF是圆是圆2F的切线，则椭圆的离心率为（的切线，则椭圆的离心率为（ ）A31B23C22D328(本题本题 5 分分)已知已知 F 是椭圆是椭圆2221(1)xyaa的左焦点，的左焦点，A 是该椭圆的右顶点，过点是该椭圆的右顶点，过点 F的直线的直线 l（不与（不与 x 轴重合）与该椭圆相交于点轴重合）与该椭圆相交于点 M，N记记MAN，设该椭圆的离心率为，设该椭圆的离心率为 e，下列结论正确的是（，下列结论正确的是（ ）A当当01e时，时，2B当当202e时，时，2C当当1222e时，时，23D当当212e时，时，34二、选择题(本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。)9(本题本题 5 分分)椭圆椭圆22194xyk的离心率为的离心率为45，则，则k的值为（的值为（ ） ） A21B1929C1929D2110(本题本题 5 分分)已知已知 a，b，c 分别是椭圆分别是椭圆 E 的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于x 的方程的方程220axbxc有实根，则椭圆有实根，则椭圆 E 的离心率的离心率 e 可能是（可能是（ ）A512B35C34D3211(本题本题 5 分分)已知椭圆已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为的左右焦点分别为12,F F P是圆是圆222:O xya上且不在上且不在 x 轴上的一点，且轴上的一点，且12PFF的面积为的面积为232b.设设 C 的离心率为的离心率为 e，12FPF，则（，则（ ）A122PFPFaB12PF PFab C3,13eD2 3tan312(本题本题 5 分分)已知点已知点F为椭圆为椭圆2222:1xyCab（0ab）的左焦点，过原点）的左焦点，过原点O的直线的直线l交椭圆于交椭圆于P，Q两点，点两点，点M是椭圆上异于是椭圆上异于P，Q的一点，直线的一点，直线MP，MQ分别为分别为1k，2k，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为e，若，若3PFQF，23PFQ，则（，则（ ）A74e B34e C12916k k D12916k k 三、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。)13(本题本题 5 分分)已知椭圆的中心在原点，焦点在已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长为轴上，长轴长为 12，离心率为，离心率为13，则椭圆的方程为，则椭圆的方程为_14(本题本题 5 分分)已知已知A为为y轴上一点，轴上一点，1F，2F是椭圆的两个焦点，是椭圆的两个焦点，12AFF为正三角形，且为正三角形，且1AF的中点的中点B恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为_15(本题本题 5 分分)已知椭圆已知椭圆22221(0)xyabab， 焦点焦点 F1（-c，0） ，） ， F2（c，0） （） （c 0） ，若过） ，若过 F1的直线和圆的直线和圆2221()2xcyc相切，与椭圆在第一象限交于点相切，与椭圆在第一象限交于点 P，且，且 PF2 x 轴，则椭圆的离心率是轴，则椭圆的离心率是_.16(本题本题 5 分分)已知已知A，B为椭圆为椭圆E：22221(0)xyabab的左、右顶点，点的左、右顶点，点P在在E上，在上，在APB中，中，1tan2PAB，2tan9PBA，则椭圆，则椭圆E的离心率为的离心率为_17(本题本题 5 分分)若椭圆若椭圆 b2x2a2y2a2b2(ab0)和圆和圆 x2y222bc有四个交点，其中有四个交点，其中 c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率 e 的取值范围为的取值范围为_18(本题本题 5 分分)如图，椭圆如图，椭圆：2222xyab=1(ab0)的离心率为的离心率为 e，F 是是的右焦点，点的右焦点，点 P是是上第一象限内任意一点且上第一象限内任意一点且sincosPOFPOF，(0)OQOP 0FQ OPuuu r uuu r，若，若 e，则离心率，则离心率 e 的取值范围是的取值范围是_四、解答题(本大题共 5 小题，每题 12 分，共 60 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)19(本题本题 12 分分)已知椭圆已知椭圆C的标准方程为 ：的标准方程为 ：22221(0)xyabab，若右焦点为，若右焦点为( 2,0)F且离心率为且离心率为63（1）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程；（2）设）设M，N是是C上的两点，直线上的两点，直线MN与曲线与曲线222xyb相切且相切且M，N，F三点共线，求线段三点共线，求线段MN的长的长20(本题本题 12 分分)已知圆已知圆22:4O xy和椭圆和椭圆22:24C xy，F 是椭圆是椭圆 C 的左焦点的左焦点（1）求椭圆）求椭圆 C 的离心率和点的离心率和点 F 的坐标；的坐标；（2）点）点 P 在椭圆在椭圆 C 上，过上，过 P 作作 x 轴的垂线，交圆轴的垂线，交圆 O 于点于点 Q（P，Q 不重合） ，不重合） ，l 是过点是过点Q 的圆的圆 O 的切线圆的切线圆 F 的圆心为点的圆心为点 F，半径长为，半径长为PF试判断直线试判断直线 l 与圆与圆 F 的位置关系，并证明你的结论的位置关系，并证明你的结论21(本题本题 12 分分)已知椭圆已知椭圆2222:1(0)xyGabab的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为1F，2F，斜率为，斜率为k的直线的直线l过过1F，且与椭圆的交点为，且与椭圆的交点为A，B，与，与y轴的交点为轴的交点为C，B为线段为线段1CF的中点若的中点若14|2k ，求椭圆，求椭圆G的离心率的离心率e的取值范围的取值范围22(本题本题 12 分分)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，轴上，1A，2A，1B，2B分别为椭圆的左、右、下、上顶点，分别为椭圆的左、右、下、上顶点，2F为其右焦点，直线为其右焦点，直线12B F与与22A B交于点交于点P，若，若12B PA为钝角，求该椭圆的离心率的取值范围为钝角，求该椭圆的离心率的取值范围23(本题本题 12 分分)已知椭圆已知椭圆 E：2222xyab1（ab0）的左、右焦点为）的左、右焦点为 F1，F2，且，且|F1F2|2，左、右顶点为，左、右顶点为 M，N（1）若椭圆）若椭圆 E 的离心率的离心率 e12，设点，设点 P（4，n） （） （n0） ，直线） ，直线 PN 交椭圆交椭圆 E 于点于点 Q，且直线，且直线 MP，MQ 的斜率分别为的斜率分别为 k1，k2，求证：，求证：k1k2为定值；为定值；（2）斜率为）斜率为 k 的直线的直线 l 过过 F2，且与曲线，且与曲线 E 交于交于 A，B 两点，当两点，当 k 变化时，变化时，ABF1的内切圆面积有最大值，求椭圆的内切圆面积有最大值，求椭圆 E 的离心率的离心率 e 的取值范围的取值范围绝密启用前绝密启用前3.1.2 椭圆的离心率常考题精选2021-2022 学年高二数学（人教 A 版 2019 选择性必修第一册）考生须知：考生须知：1.本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟。1.本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟。2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。4.考试结束后，只需上交答题纸。4.考试结束后，只需上交答题纸。一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。)1(本题本题 5 分分)己知椭圆己知椭圆2221 10 xybb的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为1F，2F，点，点 M 是椭圆上一点，点是椭圆上一点，点 A 是线段是线段12FF上一点，且上一点，且121223FMFFMA ，32MA ，则该椭圆的离心率为（，则该椭圆的离心率为（ ）A32B12C2 23D33【答案】【答案】B【分析】利用余弦定理，结合三角形的面积转化求解椭圆的几何量，然后求解离心率即可 .【详解】设1122,MFr MFr，则1222,rra由余弦定理得 2221212122|2|cos3FFMFMFMFMF所以21 244,rrc2222121 2124()crrrrrr因为1212F MFF MAF MASSS，所以1 2121211sin| sin| sin232323rrrMArMA整理得1 212,rrrrMA即23442,2c整理得21,4c 所以 11,1,22ccaea故选：B .2(本题本题 5 分分)已知椭圆已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为的离心率为63，直线，直线0axby与圆与圆221:04M xymx相切，则实数相切，则实数 m 的值是（的值是（ ）AB2C4D8【答案】【答案】B【分析】根据椭圆的离心率为63，得3ab=，从而得到直线方程，再根据直线与圆的位置关系代数解法即可求出【详解】由题意知，63ca， 则3ab=， 直线0axby， 即3yx， 代入22104xymx得，21404xmx，由240m 解得2m 故选：B3 (本题本题 5 分分)若椭圆若椭圆C：22221xyab（0ab） 满足） 满足2bac， 则该椭圆的离心率， 则该椭圆的离心率e （ ） ） A55B35C104D152【答案】【答案】B【分析】由题意构建齐次式即可得到结果.【详解】由题意知2bac，又222abc，2224 acac25230ee，即35e 或1e （舍） ，故选:B4 (本题本题 5 分分)椭圆椭圆222210 xyabab的中心的中心 O 与一个焦点与一个焦点 F 及短轴的一个端点及短轴的一个端点 B 组成等腰直角三角形组成等腰直角三角形 FBO，则椭圆的离心率是（，则椭圆的离心率是（ ）A12B2C32D22【答案】【答案】D【分析】设椭圆半焦距为 c，根据给定条件可得 b=c，再确定 a 与 c 的关系即可得解.【详解】设椭圆半焦距为 c， 因椭圆的中心 O 与一个焦点 F 及短轴的一个端点 B 组成等腰直角三角形 FBO，则有 b=c，而222abc，于是得2ac，所以椭圆的离心率是22cea.故选：D5(本题本题 5 分分)已知已知F是椭圆是椭圆E：22221(0)xyabab的左焦点，经过原点的直线的左焦点，经过原点的直线l与椭圆与椭圆E交于交于,P Q两点，若两点，若2PFQF，且，且120PFQ，则椭圆，则椭圆E的离心率为（的离心率为（ ）A33B12C13D22【答案】【答案】A【分析】结合椭圆的对称性以及椭圆的定义得到142,33aaPFPF，在1FPF中结合余弦定理可得3ca，进而结合离心率的公式可以求出结果.【详解】取椭圆的右焦点1F，连接11,FP FQ，由椭圆的对称性以及直线PQ经过原点，所以OPOQ，且1OFOF，所以四边形1FQFP为平行四边形，故1FQFP，又因为2PFQF，则12PFPF，而12PFPFa，因此142,33aaPFPF，由于120PFQ，则160FPF，在1FPF中结合余弦定理可得2222112cos60FFPFPFPFPF，故2221644214299332aaaac ，即223ca，所以3ca，因此333cceac，故选：A.6(本题本题 5 分分)已知椭圆已知椭圆22122:10 xyCabab与圆与圆2222:Cxyb，若在椭圆，若在椭圆1C上存在点上存在点P，使得过点，使得过点P所作的圆所作的圆2C的两条切线互相垂直，则椭圆的两条切线互相垂直，则椭圆1C的离心率的取值范围是（的离心率的取值范围是（ ）A1,12B23,22C2,12D3,12【答案】【答案】C【分析】若长轴端点P，由椭圆性质：过P的两条切线互相垂直可得45AP O ，结合sinba求椭圆离心率的范围.【详解】在椭圆1C的长轴端点P处向圆2C引两条切线P A，P B，若椭圆1C上存在点P，使过P的两条切线互相垂直，则只需90AP B，即45AP O ，2sinsin452ba ，得222ac，212e ，又01e，212e，即2,12e故选：C7(本题本题 5 分分)如图，已知如图，已知1F，2F分别是椭圆的左、右焦点，现以分别是椭圆的左、右焦点，现以2F为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点M，N若过点若过点1F的直线的直线1MF是圆是圆2F的切线，则椭圆的离心率为（的切线，则椭圆的离心率为（ ）A31B23C22D32【答案】【答案】A【分析】由切线的性质，可得2MFc，13MFc，再结合椭圆定义122MFMFa，即得解【详解】因为过点1F的直线1MF圆2F的切线，2MFc，122FFc，所以13MFc由椭圆定义可得1232MFMFcca，可得椭圆的离心率23113cea故选：A8(本题本题 5 分分)已知已知 F 是椭圆是椭圆2221(1)xyaa的左焦点，的左焦点，A 是该椭圆的右顶点，过点是该椭圆的右顶点，过点 F的直线的直线 l（不与（不与 x 轴重合）与该椭圆相交于点轴重合）与该椭圆相交于点 M，N记记MAN，设该椭圆的离心率为，设该椭圆的离心率为 e，下列结论正确的是（，下列结论正确的是（ ）A当当01e时，时，2B当当202e时，时，2C当当1222e时，时，23D当当212e时，时，34【答案】【答案】A【分析】设M在x轴上方，N在x轴下方，设直线AM的倾斜角为，直线AN的倾斜角为，联立直线AM的方程与椭圆方程可求M的坐标， 同理可求N的坐标， 利用,M F N三点共线可得12211ek kae，利用离心率的范围可得121k k ，从而可判断为锐角.【详解】不失一般性，设M在x轴上方，N在x轴下方，设直线AM的斜率为1k，倾斜角为，直线AN的斜率为2k，倾斜角为，则210,0kk，,2，0,2，且0,.又212 1tantantantan1+tantan1kkk k.又直线AM的方程为1ykxa，由12222ykxaxa ya可得22232422111(1)20a kxa k xa ka，故42212211Ma kaxaa k，所以3212211Ma kaxa k，故122121Makya k，同理3222221Na kaxa k，故222221Nakya k，因为,M F N共线，故21222221323221222221221111akaka ka ka kaa kacca ka k，整理得到 21212210aac k kkkcakk即122cak kaac，若01e，122211caek kaacae，因为1211,011eee ，21a ，故121k k ，所以212 1tan01kkk k，故2.故选：A.【点睛】思路点睛：与椭圆有关的角的计算，一般利用其正切来刻画，因为角的正切与直线的斜率相关，注意运算结果的准确性.二、选择题(本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。)9(本题本题 5 分分)椭圆椭圆22194xyk的离心率为的离心率为45，则，则k的值为（的值为（ ） ） A21B1929C1929D21【答案】【答案】BD【分析】讨论焦点位置，进而利用离心率计算公式计算即得结论【详解】29a ，24bk，则5ck，则45ca，即5435k，解得1929k ，24ak，29b ，则5ck，则45ca，即5454kk，解得21k ，故选：BD10(本题本题 5 分分)已知已知 a，b，c 分别是椭圆分别是椭圆 E 的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于x 的方程的方程220axbxc有实根，则椭圆有实根，则椭圆 E 的离心率的离心率 e 可能是（可能是（ ）A512B35C34D32【答案】【答案】AB【分析】根据判别式不小于 0 可求, ,a b c的关系，从而可求离心率e的取值范围.【详解】由题意有2440bac ，由222bac可得220acac，故210ee ，解得515122e，而01e，5102e.故选：AB11(本题本题 5 分分)已知椭圆已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为的左右焦点分别为12,F F P是圆是圆222:O xya上且不在上且不在 x 轴上的一点，且轴上的一点，且12PFF的面积为的面积为232b.设设 C 的离心率为的离心率为 e，12FPF，则（，则（ ）A122PFPFaB12PF PFab C3,13eD2 3tan3【答案】【答案】AC【分析】由题意画出图形， 由椭圆定义及三角形两边之和大于第三边判断A； 设出P的参数坐标，利用向量数量积运算判断B；求出三角形12PFF的面积范围，结合已知列式求得椭圆离心率的范围判断C；由数量积及三角形面积公式求得tan判断D【详解】如图，连接1PF，2PF，设2PF交椭圆于Q，则12| 2QFQFa，121212| | | 2PFPFPFPQQFQFQFa，故A正确；设( cos , sin)P aa，1(,0)Fc，2( ,0)F c，1(cos ,sin)PFcaa ，2(cos ,sin)PFcaa ，2222222212cossinPFPFacaacbab ，故B错误；设(PP x，)Py，则1 2121| | |sin|2PF FPSFFyacac，又12PFF的面积为232b，232bac，即223() 2acac，2323 0ee，又01e，313e ，故C正确；由21212|cosPFPFPFPFb ，1 221213|sin22PF FSPFPFb ，两式作商可得：tan3，故D错误故选：AC12(本题本题 5 分分)已知点已知点F为椭圆为椭圆2222:1xyCab（0ab）的左焦点，过原点）的左焦点，过原点O的直线的直线l交椭圆于交椭圆于P，Q两点，点两点，点M是椭圆上异于是椭圆上异于P，Q的一点，直线的一点，直线MP，MQ分别为分别为1k，2k，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为e，若，若3PFQF，23PFQ，则（，则（ ）A74e B34e C12916k k D12916k k 【答案】【答案】AC【分析】设出右焦点F，根据椭圆定义结合对称性以及余弦定理可求得, a c的关系，则离心率可求 ； 设出,P M的坐标，根据对称性写出Q的坐标，利用点差法可求得12k k的表示，结合, a c的关系可求解出12k k的值.【详解】设椭圆的右焦点F，连接PF，QF，根据椭圆对称性可知四边形PFQF为平行四边形，则QFPF，且由120PFQ，可得60FPF，所以42PFPFPFa，则12PFa ，32PFa由余弦定理可得22222931122cos60244222acPFPFPFPFaaa ，所以22716ca，所以椭圆的离心率2277164cea设00,M xy，11,P x y，则11,Qxy，01101yykxx，01201yykxx，所以220101011222010101yyyyyyk kxxxxxx， 又2200221xyab，2211221xyab， 相减可得2220122201yybxxa因为22716ca，所以22916ba，所以12916k k 故选：AC【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于合理运用焦点三角形的知识以及点差法设而不求的思想去计算；椭圆是一个对称图形，任何过原点的直线（不与焦点所在轴重合）与椭圆相交于两点，这两点与椭圆的焦点构成的四边形为平行四边形.三、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。)13(本题本题 5 分分)已知椭圆的中心在原点，焦点在已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长为轴上，长轴长为 12，离心率为，离心率为13，则椭圆的方程为，则椭圆的方程为_【分析】由离心率求得c，再求得b后可得椭圆方程【详解】设长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则212a ，6a ，163ccea，2c ，所以22232bac，又焦点在x轴，所以椭圆方程为2213632xy故答案为：2213632xy14(本题本题 5 分分)已知已知A为为y轴上一点，轴上一点，1F，2F是椭圆的两个焦点，是椭圆的两个焦点，12AFF为正三角形，且为正三角形，且1AF的中点的中点B恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为_【答案】【答案】31【分析】连接2BF，由题设易知21F BBF且2130BF F，结合椭圆的定义得到32cca，即可求离心率.【详解】如图，连接2BF由12AFF为正三角形，且B为线段1AF的中点，21F BBF又2130BF F，122FFc，1BFc，23BFc，由椭圆的定义，得122BFBFa，即32cca，31ca，即椭圆的离心率31e 故答案为：3115(本题本题 5 分分)已知椭圆已知椭圆22221(0)xyabab， 焦点焦点 F1（-c，0） ，） ， F2（c，0） （） （c 0） ，若过） ，若过 F1的直线和圆的直线和圆2221()2xcyc相切，与椭圆在第一象限交于点相切，与椭圆在第一象限交于点 P，且，且 PF2 x 轴，则椭圆的离心率是轴，则椭圆的离心率是_.【答案】【答案】55【分析】由几何关系可得1ABAF为2:3， 结合相似三角形可得1212,PF PF FF的比例关系， 联立焦点三角形公式即可求解【详解】由题可知，ABc，11322ccAFOFOAc，故123ABAF，因为过 F1的直线和圆2221()2xcyc相切，所以1ABBF，又 PF2x 轴，故121ABFPF F，即2123PFPF，设22 ,PFx则1123 ,5PFx FFx，椭圆离心率1212255255FFccxeaaPFPFx故答案为：5516(本题本题 5 分分)已知已知A，B为椭圆为椭圆E：22221(0)xyabab的左、右顶点，点的左、右顶点，点P在在E上，在上，在APB中，中，1tan2PAB，2tan9PBA，则椭圆，则椭圆E的离心率为的离心率为_【答案】【答案】2 23【分析】设P m n,，进而根据1tan2PAB，2tan9PBA求出 m,n，然后将 m,n 代入椭圆方程进而得到 a,b 的关系，然后求出离心率.【详解】根据椭圆的对称性不妨设点P在 x 轴上方，设,0P m nn ，由11tan22nPABma，22tan99nPBAam，联立解得：413513nama ，代入到椭圆方程得：22222254139113aaabab，所以2222 293ccaeaa.故答案为：2 23.17(本题本题 5 分分)若椭圆若椭圆 b2x2a2y2a2b2(ab0)和圆和圆 x2y222bc有四个交点，其中有四个交点，其中 c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率 e 的取值范围为的取值范围为_【答案】【答案】5335e.【分析】根据椭圆和圆的对称性可以判断，当椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外时，椭圆和圆有四个交点，进而列出不等式解出答案.【详解】由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则22bacbbc，整理得22222142acacacc，解得5335e.故答案为：5335e.四、解答题(本大题共 5 小题，每题 12 分，共 60 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)18(本题本题 5 分分)如图，椭圆如图，椭圆：2222xyab=1(ab0)的离心率为的离心率为 e，F 是是的右焦点，点的右焦点，点 P是是上第一象限内任意一点且上第一象限内任意一点且sincosPOFPOF，(0)OQOP 0FQ OPuuu r uuu r，若，若 e，则离心率，则离心率 e 的取值范围是的取值范围是_【答案】【答案】6,13【分析】由已知得tan1POF，设直线OP的斜率为k，则01.k联立直线与椭圆的方程求得点 P，Q 的坐标，根据向量垂直的关系建立关于, a c不等式，可求得离心率的范围【详解】因为点P是上第一象限内任意一点，故POF为锐角且sincosPOFPOF，所以tan1POF，设直线OP的斜率为k，则01.k由2222100ykxxyabxy可得222222abxba kkabyba k，故222222,abkabPba kba k，所以222222,abk abQba kba k，因为0FQ OPuuu r uuu r，故1QFkk ，所以2222221k abba kabkcba k ，解得22221cba kab k，因为e对任意的01k恒成立，故22221cba keab k，整理得到22222abb k对任意的01k恒成立，故2222abb，即2223ac，即613e故答案为：6,13【点睛】方法点睛：(1)求椭圆的离心率时，将提供的椭圆的几何关系转化为关于双曲线基本量, ,a b c的方程或不等式，利用222bca和cea转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围（2）对于焦点三角形，要注意椭圆定的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量四、解答题(本大题共 5 小题，每题 12 分，共 60 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)19(本题本题 12 分分)已知椭圆已知椭圆C的标准方程为 ：的标准方程为 ：22221(0)xyabab，若右焦点为，若右焦点为( 2,0)F且离心率为且离心率为63（1）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程；（2）设）设M，N是是C上的两点，直线上的两点，直线MN与曲线与曲线222xyb相切且相切且M，N，F三点共线，求线段三点共线，求线段MN的长的长【答案】【答案】 （1）2213xy； （2）3.【分析】（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.（2）由（1）知曲线为221(0)xyx，讨论直线MN的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可.【详解】（1）由题意，椭圆半焦距2c 且63cea，则3a ，又2221bac，椭圆方程为2213xy；（2）由（1）得，曲线为221(0)xyx当直线MN的斜率不存在时，直线:1MN x ，不合题意：当直线MN的斜率存在时，设11,M x y，22,N xy又M，N，F三点共线，可设直线:(2)MN yk x，即20kxyk，由直线MN与曲线221(0)xyx相切可得2|2 |11kk，解得1k ，联立22(2)13yxxy ，得246 230 xx，则123 22xx，1234xx，21212|1 143MNxxxx .20(本题本题 12 分分)已知圆已知圆22:4O xy和椭圆和椭圆22:24C xy，F 是椭圆是椭圆 C 的左焦点的左焦点（1）求椭圆）求椭圆 C 的离心率和点的离心率和点 F 的坐标；的坐标；（2）点）点 P 在椭圆在椭圆 C 上，过上，过 P 作作 x 轴的垂线，交圆轴的垂线，交圆 O 于点于点 Q（P，Q 不重合） ，不重合） ，l 是过点是过点Q 的圆的圆 O 的切线圆的切线圆 F 的圆心为点的圆心为点 F，半径长为，半径长为PF试判断直线试判断直线 l 与圆与圆 F 的位置关系，并证明你的结论的位置关系，并证明你的结论【答案】【答案】 （1）22e ，(2,0)F ； （2）直线 l 与圆 F 相切，证明见解析.【分析】（1）由椭圆标准方程直接写出离心率、焦点坐标即可；（2）设( , )P m n求 Q 坐标，写出圆 O 上过 Q 点的切线方程，利用点线距离公式、两点距离公式及直线与圆相切的判定，即可证直线 l 与圆 F 的位置关系为相切.【详解】（1）由题设，椭圆标准方程为22142xy，2,2ac，故22cea，左焦点坐标(2,0)F .（2）直线 l 与圆 F 相切，由题设知：P 不在椭圆 C 长轴端点上，若( , )P m n在第一象限，由圆的对称性，不妨假设 Q 在第一象限，则2( ,4)Q mm，又l 是过点 Q 的圆 O 的切线直线 l 为244m xmy ，F到直线 l 的距离为|24|2md，而22|(2)PFmn且2242mn，22244(2)22mmPFm，即|dPF.直线 l 与圆 F 相切.21(本题本题 12 分分)已知椭圆已知椭圆2222:1(0)xyGabab的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为1F，2F，斜率为，斜率为k的直线的直线l过过1F，且与椭圆的交点为，且与椭圆的交点为A，B，与，与y轴的交点为轴的交点为C，B为线段为线段1CF的中点若的中点若14|2k ，求椭圆，求椭圆G的离心率的离心率e的取值范围的取值范围【答案】【答案】20,2.【分析】写出直线方程，求得C点坐标，由中点坐标公式得B点坐标，代入椭圆方程得, a c的齐次等式，转化为e的等式后，求出2k，利用k的范围得出关于e的不等式，解得可得【详解】设直线l的方程为()yk xc，则(0,)Ckc，,2 2c kcB因为 B 在椭圆上，所以22222144ck cab，即222222144ck caac，变形得222241k eee所以22224172eeke，所以4221780ee，又01e，解得2102e202e，故椭圆G的离心率e的取值范围为20,222(本题本题 12 分分)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，轴上，1A，2A，1B，2B分别为椭圆的左、右、下、上顶点，分别为椭圆的左、右、下、上顶点，2F为其右焦点，直线为其右焦点，直线12B F与与22A B交于点交于点P，若，若12B PA为钝角，求该椭圆的离心率的取值范围为钝角，求该椭圆的离心率的取值范围【答案】【答案】15,12 【分析】根据12B PA为钝角转化为22210B AF B ，从而得到关于a，c的不等式，即可求解.【详解】设椭圆的标准方程为222210 xyabab，2,0Fc由题意，得2,0Aa，10,Bb，20,Bb，则22,B Aab ，21, F Bcb因为12B PA为向量22B A 与21F B的夹角，且12B PA为钝角，所以22210B AF B ，所以20bac又222bac，所以220aacc，即210ee，解得152e 或152e ，因为0,1e，所以1512e ，即该椭圆的离心率的取值范围为15,12 23(本题本题 12 分分)已知椭圆已知椭圆 E：2222xyab1（ab0）的左、右焦点为）的左、右焦点为 F1，F2，且，且|F1F2|2，左、右顶点为，左、右顶点为 M，N（1）若椭圆）若椭圆 E 的离心率的离心率 e12，设点，设点 P（4，n） （） （n0） ，直线） ，直线 PN 交椭圆交椭圆 E 于点于点 Q，且直线，且直线 MP，MQ 的斜率分别为的斜率分别为 k1，k2，求证：，求证：k1k2为定值；为定值；（2）斜率为）斜率为 k 的直线的直线 l 过过 F2，且与曲线，且与曲线 E 交于交于 A，B 两点，当两点，当 k 变化时，变化时，ABF1的内切圆面积有最大值，求椭圆的内切圆面积有最大值，求椭圆 E 的离心率的离心率 e 的取值范围的取值范围【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）2,12【分析】（1）求出 c，求出 a，b 的值，求出椭圆的方程，联立直线和椭圆分别求出 MP 和 MQ的斜率，作积即可证明；（2）联立直线和椭圆，表示出内切圆的半径，根据 r 取到最大值，求出 a 的范围，从而求出椭圆 E 的离心率 e 的取值范围【详解】解： （1）122FF ，1c ，又12e ，2a，3b ，故椭圆的方程是：22143xy，故2,0N，设PN的直线方程为2yk x，代入4,Pn得：6nk ，故6nk ，PN的方程为：26nyx ，联立2226143nyxxy ，得：222227441080nxn xn，设11,Q x y，则22,2,0N xy，由221222410825422727nnx xnn，故21225427nxn，211222541822662727nnnnyxnn ，故22225418,2727nnQnn，则21221218092742227MQnynKknxnn，而10422MPnnKk ，故1 2992 24nk kn ，是定值；（2）内切圆的半径11242ABFABFSSraa，设直线 AB 的方程是：1yk x，11,A x y，22,B xy，11212122ABFSc yykxx，联立222222111yk xabxyab，得22222222220ba kxa k xakb，则：22122222a kxxba k，22212222akbx xba k，24241a bk，故22212121222222221()4abkxxxxx xba kba k，2