第8讲 直线和椭圆的位置关系 讲义（学生版+教师版）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册.rar

第 8 讲 直线和椭圆的位置关系玩前必备一、直线与椭圆的位置关系1位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2BxC0 的形式(这里的系数A一定不为 0)，设其判别式为，(1)0直线与椭圆相交；(2)0直线与椭圆相切；(3)0)恒有公共点，则 m的取值范围是()A3，)B(，3C(3，)D(，3)2.（2020全国高二课时练习）若直线2244mxnyxy和圆没有交点，则过点( , )m n的直线与椭圆22194xy的交点个数为（ ）A2 个B至多一个C1 个D0 个题型二椭圆的弦长问题例 3如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 的斜率为 0 时，|AB|4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|CD|487，求直线 AB 的方程玩转跟踪 1已知椭圆x22y21 与直线 yxm 交于 A，B 两点，且|AB|423，则实数 m 的值为()A1B12C.2 D22椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心率 e12，过 F1的直线交椭圆于 A，B 两点，且ABF2的周长为 8.(1)求椭圆 E 的方程；(2)若直线 AB 的斜率为3，求ABF2的面积题型三 题型三 中点弦问题例 4例 4(1)已知椭圆x22y21，则斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程为_(2)焦点是 F(0,5 2)，并截直线 y2x1 所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为_例 5例 5如图，已知椭圆x22y21 的左焦点为 F， O 为坐标原点，设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G横坐标的取值范围玩转跟踪1过椭圆x216y241 内一点 P(3,1)，且被点 P 平分的弦所在直线的方程是()A4x3y130 B3x4y130C4x3y50 D3x4y502已知椭圆x22y21 上两个不同的点 A，B 关于直线 ymx12对称，求实数 m 的取值范围题型四 题型四 椭圆大题例 6例 6设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F，离心率为33，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设 A，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C，D 两点，若 AC DB AD CB 8，O 为坐标原点，求OCD 的面积玩转跟踪1已知动点 M 到两定点 F1(m,0)，F2(m,0)的距离之和为 4(0mb0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A为椭圆 C 上任意一点，点 A 关于原点 O 的对称点为点 B，有|AF1|BF1|4，且F1AF2的最大值为3.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若 A是点 A 关于 x 轴的对称点，设点 N(4,0)，连接 NA 与椭圆 C 相交于点 E，直线 AE 与 x 轴相交于点 M，试求|NF1|MF2|的值第 8 讲 直线和椭圆的位置关系玩前必备一、直线与椭圆的位置关系1位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2BxC0 的形式(这里的系数A一定不为 0)，设其判别式为，(1)0直线与椭圆相交；(2)0直线与椭圆相切；(3)0，即32m32时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点(2)当 0，即 m32时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点(3)当 0，即 m32时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线 l 与椭圆C 没有公共点玩转跟踪 1 （2020全国高三课时练习（理） ）已知直线 ykxk1 与曲线 C：x22y2m(m0)恒有公共点，则 m的取值范围是()A3，)B(，3C(3，)D(，3)【答案】A【解析】直线方程为1ykxk直线恒过定点(1, 1)曲线C的方程为222(0)xym m曲线C表示椭圆直线1ykxk与曲线C：222(0)xym m恒有公共点点(1, 1)在椭圆内或椭圆上，即2212 ( 1)m .3m 故选 A.2.（2020全国高二课时练习）若直线2244mx nyxy和圆没有交点，则过点(, )m n的直线与椭圆22194xy的交点个数为（ ）A2 个B至多一个C1 个D0 个【答案】A【解析】直线2244mx nyxy和圆没有交点，故22224202mnmn 点P(m,n)在以原点为圆心， 半径为2的圆内， 故圆22mn=2内切于椭圆， ， 故点P(m,n)在椭圆内， 则过点(, )m n的直线与椭圆22194xy的交点个数为 2 个题型二椭圆的弦长问题例 3如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 的斜率为 0 时，|AB|4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|CD|487，求直线 AB 的方程解(1)由题意知 eca12，2a4.又 a2b2c2，解得 a2，b3，所以椭圆方程为x24y231.(2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为 0 时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|CD|7，不满足条件当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 CD 的方程为 y1k(x1)将直线 AB 的方程代入椭圆方程中并整理得(34k2)x28k2x4k2120，则 x1x28k234k2，x1x24k21234k2，所以|AB|k21|x1x2|k21x1x224x1x212k2134k2.同理，|CD|12(1k21)34k212k213k24.所以|AB|CD|12k2134k212k213k2484k21234k23k24487，解得 k1，所以直线 AB 的方程为 xy10 或 xy10.玩转跟踪 1已知椭圆x22y21 与直线 yxm 交于 A，B 两点，且|AB|423，则实数 m 的值为()A1B12C.2 D2解析：选 A由Error!Error!消去 y 并整理，得 3x24mx2m220.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24m3，x1x22m223.由题意，得|AB|2x1x228x1x2433m2423，解得 m1.2椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心率 e12，过 F1的直线交椭圆于 A，B 两点，且ABF2的周长为 8.(1)求椭圆 E 的方程；(2)若直线 AB 的斜率为3，求ABF2的面积解：(1)由题意知，4a8，所以 a2，又 e12，所以ca12，c1，所以 b22213，所以椭圆 E 的方程为x24y231.(2)设直线 AB 的方程为 y3(x1)，由Error!Error!得 5x28x0，解得 x10，x285，所以 y13，y2335.所以 SABF2c|y1y2|1|3335|835.题型三 题型三 中点弦问题例 4例 4(1)已知椭圆x22y21，则斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程为_(2)焦点是 F(0,5 2)，并截直线 y2x1 所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为_解析(1)设弦的两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为 P(x0，y0)，则有x2 12y2 11，x2 22y2 21.两式作差， 得x2x1x2x12(y2y1)(y2y1)0.因为 x1x22x0， y1y22y0，y2y1x2x1kAB， 代入后求得 kABx02y0.即 2x02y0，所以 x04y00.故所求的轨迹方程为 x4y0，将 x4y0 代入x22y21 得：x22(x4)21，解得 x43，又中点在椭圆内，所以43xb0)，直线被椭圆所截弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意，可得弦 AB 的中点坐标为(x1x22，y1y22)， 且x1x2227，y1y2237.将 A， B 两点坐标代入椭圆方程中， 得Error!Error!两式相减并化简，得a2b2y1y2x1x2y1y2x1x2267473，所以 a23b2，又 c2a2b250，所以 a275，b225，故所求椭圆的标准方程为y275x2251.答案(1)x4y0(43 x 43)(2)y275x2251例 5例 5如图，已知椭圆x22y21 的左焦点为 F， O 为坐标原点，设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G横坐标的取值范围解设直线 AB 的方程为 yk(x1)(k0)，代入x22y21，整理得(12k2)x24k2x2k220.因为直线 AB 过椭圆的左焦点 F，所以方程有两个不等实根，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点 N(x0，y0)，则 x1x24k22k21，x012(x1x2)2k22k21，y0k(x01)k2k21，所以 AB 的垂直平分线 NG 的方程为 yy01k(xx0)令 y0，得 xGx0ky02k22k21k22k21k22k211214k22.因为 k0，所以12xG0，所以点 G 横坐标的取值范围为(12，0).玩转跟踪1过椭圆x216y241 内一点 P(3,1)，且被点 P 平分的弦所在直线的方程是()A4x3y130 B3x4y130C4x3y50 D3x4y50解析：选 B设所求直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于 A，B 两点均在椭圆上，故x2 116y2 141，x2 216y2 241，两式相减得x1x2x1x216y1y2y1y240.因为 P(3,1)是 A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点，所以 x1x26，y1y22，故 kABy1y2x1x234，直线 AB 的方程为 y134(x3)，即 3x4y130，故选 B.2已知椭圆x22y21 上两个不同的点 A，B 关于直线 ymx12对称，求实数 m 的取值范围解：由题意知 m0，可设直线 AB 的方程为 y1mxb.由Error!Error!消去 y，得(121m2)x22bmxb210.因为直线 y1mxb 与椭圆x22y21 有两个不同的交点，所以 2b224m20.将线段 AB 中点(2mbm22，m2bm22)代入直线方程 ymx12解得 bm222m2.由得 m63或 m63.故 m 的取值范围为(，63)(63，).题型四 题型四 椭圆大题例 6例 6设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F，离心率为33，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设 A，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C，D 两点，若 AC DB AD CB 8，O 为坐标原点，求OCD 的面积 解(1)因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为433，所以2b2a433.因为椭圆的离心率为33，所以ca33，又 a2b2c2，可解得 b2，c1，a3.所以椭圆的方程为x23y221.(2)由(1)可知 F(1,0)，则直线 CD 的方程为 yk(x1)联立Error!Error!消去 y 得(23k2)x26k2x3k260.设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以 x1x26k223k2，x1x23k2623k2.又 A(3，0)，B(3，0)，所以 AC DB AD CB (x13，y1)(3x2，y2)(x23，y2)(3x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k262k21223k28，解得 k2.从而 x1x26 223 232，x1x23 2623 20.所以|x1x2|x1x224x1x2 (32)24 032，|CD|1k2|x1x2|1232332.而原点 O 到直线 CD 的距离为 d|k|1k221263，所以OCD 的面积为 S12|CD|d1233263324.玩转跟踪1已知动点 M 到两定点 F1(m,0)，F2(m,0)的距离之和为 4(0m2)，且动点 M 的轨迹曲线 C 过点N(3，12).(1)求 m 的值；(2)若直线 l：ykx2与曲线 C 有两个不同的交点 A，B，且 OA OB 2(O 为坐标原点)，求 k 的值解：(1)由 0m2，得 2m0，得 k214.x1x28 2k14k2，x1x2414k2，则 OA OB x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)264k214k22.得 k21314，所以 k 的值为33.玩转练习1 若直线mxny4和圆O： x2y24没有交点， 则过点P(m， n)的直线与椭圆x29y241的交点个数为()A至多一个B2C1 D0解析：选 B因为直线 mxny4 和圆 O：x2y24 没有交点，所以4m2n22，所以 m2n24.所以m29n24m294m241536m21，所以点(m，n)在椭圆x29y241 的内部，所以过点(m，n)的直线与椭圆x29y241 的交点有 2 个2椭圆 4x29y2144 内有一点 P(3,2)，则以 P 为中点的弦所在直线的斜率为()A23B32C49 D94解析：选 A设以 P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为 k，则 4x2 19y2 1144,4x2 29y2 2144，两式相减得 4(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0，又 x1x26，y1y24，y1y2x1x2k，代入解得 k23.3已知直线 yx1 与椭圆x2a2y2b21(ab0)相交于 A，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为 2，则线段 AB 的长是()A.223 B.423C.2 D2解析 ： 选 B由条件知 c1，eca22，所以 a2，b1，椭圆方程为x22y21，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，(43，13)，所以|AB|423.4设 F1，F2分别是椭圆x24y21 的左、右焦点，若椭圆上存在一点 P，使( OP OF2 ) PF2 0(O 为坐标原点)，则F1PF2的面积是()A4 B3C2 D1解析：选 D( OP OF2 ) PF2 ( OP OF1 ) PF2 F1P PF2 0，PF1PF2，F1PF290.设|PF1|m，|PF2|n，则 mn4，m2n212,2mn(mn)2m2n24，mn2，SF1PF212mn1.5(多选)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，点 M(2,1)在椭圆 C 上，直线 l 平行于 OM 且在 y轴上的截距为 m，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两个不同的点下面结论正确的有()A椭圆 C 的方程为x28y221BkOM12C2m2Dm2 或 m2解析：选 ABC由题意，得Error!Error!解得Error!Error!故椭圆 C 的方程为x28y221，A 正确；由于 kOM102012，B 正确；直线 l 的斜率 kkOM12，又 l 在 y轴上截距为 m，所以 l 的方程为 y12xm.由Error!Error!得 x22mx2m240.因为直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两个不同点，所以 (2m)24(2m24)0，解得2m2.C 正确，D错误6(多选)已知 B1，B2是椭圆x2a2y2b21(ab0)短轴上的两个顶点，点 P 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点 Q 与点 P 关于 y 轴对称，则下列四个命题中正确的是()A直线 PB1与 PB2的斜率之积为定值a2b2B PB1 PB2 0CPB1B2的外接圆半径的最大值为a2b22aD直线 PB1与 QB2的交点 M 的轨迹为双曲线解析：选 BC设 P(x0，y0)，x2 0a2y2 0b21，则 kPB1kPB2y0bx0y0bx0y2 0b2x2 0b2a2，因此 A 不正确 ； 点 P 在圆 x2y2b2外，x2 0y2 0b20， PB1 PB2 (x0，by0)(x0，by0)x2 0y2 0b20，B 正确；当点 P 在长轴的顶点 A 时，B1PB2最小且为锐角，设PB1B2的外接圆半径为 r，由正弦定理可得：2r2bsinB1PB22bsinB1AB22bsin 2OAB22b2aba2b2a2b2a.ra2b22a.PB1B2的外接圆半径的最大值为a2b22a，C 正确；直线 PB1的方程为 yby0bx0 x，直线 QB2的方程为 yby0bx0 x，两式相乘可得 y2b2y2 0b2x2 0 x2，化为y2b2x2a21，由于点 P 不与 B1，B2重合，M 的轨迹为双曲线的一部分，D 不正确故选 B、C.7已知椭圆 M：x2a2y21，圆 C：x2y26a2在第一象限有公共点 P，设圆 C 在点 P 处的切线斜率为k1，椭圆 M 在点 P 处的切线斜率为 k2，则k1k2的取值范围为()A(1,6) B(1,5)C(3,6) D(3,5)解析：选 D由于椭圆 M：x2a2y21， 圆 C： x2y26a2在第一象限有公共点 P，所以 Error!Error!解得 3a2b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A为椭圆 C 上任意一点，点 A 关于原点 O 的对称点为点 B，有|AF1|BF1|4，且F1AF2的最大值为3.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若 A是点 A 关于 x 轴的对称点，设点 N(4,0)，连接 NA 与椭圆 C 相交于点 E，直线 AE 与 x 轴相交于点 M，试求|NF1|MF2|的值解：(1)因为点 A 为椭圆 C 上任意一点，点 A 关于原点 O 的对称点为点 B，所以|AF1|BF2|.又|AF1|BF1|4，所以|BF2|BF1|2a4，所以 a2.又F1AF2的最大值为3，知当 A 为上、下顶点时，F1AF2最大，所以 a2c，所以 c1，所以 b2a2c23.所以椭圆 C 的标准方程为x24y231.(2)由题意可知直线 NA 斜率存在，设直线 NA 的方程为 yk(x4)，联立Error!Error!消去 y 并整理得(4k23)x232k2x64k2120.因为直线与椭圆交于两点，所以 (32k2)24(4k23)(64k212)0，解得12k12.设 A(x1，y1)，E(x2，y2)，则 A(x1，y1)，且 x1x232k24k23，x1x264k2124k23.直线 AE 的方程为 yy1y2y1x2x1(xx1)，令 y0，得 xMx2y1x1y1y1y2x1x1y2x2y1y1y22x1x24x1x2x1x28，由得 xM264k212128k232k284k231.所以点 M 为左焦点 F1(1,0)因此|NF1|3，|MF2|2，所以|NF1|MF2|6.