1、1.4.2第1课时距离问题2021.7新课程标准解读新课程标准解读核心素养核心素养1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题(直观想象、数学运算) 我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等。如何用空间向量解决这些距离问题呢？探究 已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,如何利用这些条件求点P到直线l的距离?lPAQu如图，向量AP在直线l上的投影
2、向量为AQ,则APQ是直角三角形,因为A、P都是定点,所以|AP|,AP与u的夹角PAQ是确定的于是可求|AQ|,再利用勾股定理，可以求出点P到直线l的距离PQ。设AP=a，则向量AP在直线上的投影向量AQ=(au)u在RTAPQ中，由勾股定理得则点P到直线l的距离为PQ=则点P到直线l的距离d1.点点P到直线到直线l的距离的距离2.点点P到平面到平面的距离的距离nAPQP到的距离为用向量法求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距
3、离题型一题型一点到直线的距离点到直线的距离例1已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AA11，AB4，BC3，ABC90，求点B到直线A1C1的距离ABCA1B1C1以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以直线A1C1的方向向量xyzd2规律方法用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段(2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点(3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是AB，C1D1，AD，DD1的中点(1)求点A1到直线
4、EF的距离；(2)求直线EF到直线MN的距离CDA1B1C1D1ABEFMNxyz(2)因为MNEF，所以直线MN到直线EF的距离即为点M到直线EF的距离题型二题型二点到平面的距离点到平面的距离例2已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1，AB1，AA12，点E为CC1中点，求点D1到平面BDE的距离CDA1B1C1D1ABE以点D为原点，建立空间直角坐标系如图，所以D(0，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，2)，E(0，1，1)，xyz取x1，则y1，z1，所以n(1，1，1).PABCxyz分别以P为原点，PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，
5、0)，B(0，1，0)，C(0，0，1).可以求得平面ABC的一个法向量为n(1，1，1)，在直三棱柱中，AA1ABBC3，AC2，D是AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)求直线B1C到平面A1BD的距离ABCA1B1C1D(1)证明：连接AB1交A1B于点E，连接DEEDEB1C, B1C 平面A1BD，DE平面A1BD，B1C平面A1BD(2)解：因为B1C平面A1BD，所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离，如图建立坐标系，xyz设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，题型三题型三平面到平面的距离平面到平面的距离 正方体ABCD A1B1C1D1的棱
6、长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离CDA1B1C1D1AB以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A1B(0，1，1)，A1D(1，0，1)，A1D1(1，0，0).设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，xyz令z1，得y1，x1，所以n(1，1，1).因为平面A1BD平面B1CD1，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，两平行平面，分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，OA(2，1，1)，且两平面的一个法向量n(1，0，1)，两平面间的距离d题型四题型四 两异面直线间的距离两异面直
7、线间的距离例4如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，PA3AB3a，求异面直线AB与PC的距离BACDP以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(a，0，0)，C(a，a，0)，P(0，0，3a)xyz则AB(a，0，0)，PC(a，a，3a)设AB，PC的公垂线的方向向量为n(x，y，z)，nAB=ax=0nPC=ax+ay-3az=0取z1，则y3，有n(0，3，1)又AP(0，0，3a)，AB与PC间的距离d 异面直线距离问题的求解方法异面直线距离问题的求解方法(1)射影法：分别以这两条异面直线上任意两点为起点和终点的向量为a，与这两条异面直线都垂直的法向量为n，则两条异面直线间的距离是a在n方向上的正射影向量的模，设为d，从而由公式d(2)转化法：如图，过其中一条异面直线b上的一点A作与另一条直线a平行的直线a1，于是异面直线的距离就可转化为直线a到平面的距离，最后可转化为在直线a上取一点到平面的距离，从而可借用向量的射影法求解；(3)最值法：在两条异面直线a，b上分别任取两点A，B，建立AB的模的目标函数，函数的最小值即为所求a1ba
