1、新课程标准解读新课程标准解读核心素养核心素养1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程1数学抽象、逻辑推理：结合教材实例了解二元二次方程与圆的一般方程的关系2数学运算：圆的一般方程的求解3.逻辑推理：求动点的轨迹方程把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0由于a, b, r均为常数,令-2a=D，-2b=E，a2+b2-r2=F结论：结论：任何一个圆方程可以写成下面形式 x2 y 2DxEyF01.是不是任何一个形如 x2 y 2DxEyF0方程表示的曲线都是圆呢？答案：形如x2+
2、y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圆的方程.2.下列方程表示什么图形？（1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x+4y+5 =0；（3）x2+y2-2x+4y+6=0.(x-1)2+(y+2)2=4(x-1)2+(y+2)2=0(x-1)2+(y+2)2=-1把方程：x2 y 2DxEyF0配方 (1) 当D2+E2-4F0时,表示以（- , - ）为圆心，以 （ ）为半径的圆.D2E212D2+E2-4F(x+ )2+(y+ )2=D2E24D2+E2-4F(2) 当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=- ，y=- ，表示一个点(- ,- )D2E2D2E2(3
3、) 当D2+E2-4F0时,方程无实数解,所以不表示任何图形. 圆的一般方程圆的一般方程:x2 y 2DxEyF0（D2+E2-4F0）说明： x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项； 圆心为(- ,- )，半径为D2E212D2+E2-4F思考：圆的思考：圆的标准方程标准方程与与一般方程一般方程各有什么特点？各有什么特点？(x-a)2+(y-b)2=r2x2 y 2DxEyF0（D2+E2-4F0）标准方程标准方程易于看出易于看出圆心圆心与与半径半径.一般方程一般方程突出突出形式上形式上的特点的特点.题型一题型一圆的一般方程的辨析圆的一般方程的辨析例1若方程x2y22mx2y
4、m25m0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径(1)据题意知D2E24F(2m)2(2)24(m25m)0，即4m244m220m0，m(-, )(2)将方程x2y22mx2ym25m0写成标准方程为(xm)2(y1)215m，故圆心坐标为(m，1)，已知曲线C：x2y24mx2my20m200.求证：当m2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上D4m，E2m，F20m20，D2E24F16m24m280m8020(m2)2.又m2，(m2)20，D2E24F0，即曲线C是一个圆设圆心坐标为(x，y)，消去m，得x2y0，即圆心在直线x2y0上.题型二题型二求圆的一般方程求
5、圆的一般方程法一法一(待定系数法)：设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，将P，Q的坐标分别代入上式，令x0，得y2EyF0，(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48.故所求方程为x2y22x120或x2y210 x8y40. 利用待定系数法求圆的方程的解题策略(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. 题型三题型三求动点的轨迹方程求动点的轨迹方程角度一直接法求动点的轨迹方程角度一直接法求
6、动点的轨迹方程设点M的坐标是(x，y)，化简，得x2y22x30，即所求轨迹方程为(x1)2y24.角度二代入法求动点的轨迹方程角度二代入法求动点的轨迹方程例4已知点P在圆C：x2y28x6y210上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程设点M(x，y)，点P(x0，y0)，点P(x0，y0)在圆C：x2y28x6y210上，(2x)2(2y)282x62y210，角度三定义法求动点的轨迹方程例5已知直角ABC的斜边为AB，且A(1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程法一：法一：设顶点C(x，y)，因为ACBC，且A，B，C三点不共线，所以x3，且x1.且kACkBC1，化简，得x2y22
7、x30.所以直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3，且x1)法二：法二：同法一，得x3，且x1.由勾股定理，得|AC|2|BC|2|AB|2，即(x1)2y2(x3)2y216，化简，得x2y22x30.所以直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3，且x1)法三：设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0)由直角三角形的性质，由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(x3，且x1) 求轨迹方程的三种常用方法求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明；(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程；(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程
