1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 最新考纲 考情考向分析 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分 “ 类 ” 和 “ 步 ”. 2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题 . 以理解和应用两个基本原理为主，常以实际问题为载体，突出分类讨论思想，注重分析问题、解决问题能力的考查，常与排列、组合知识交汇；两个计数原理在高考中单独命题较少，一般是与排列组合结合进行考查；两个计数原理的考查一般以选择、填空题的形式出现 . 1分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不 同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的
2、方法，那么完成这件事共有 N m n 种不同的方法 2分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N m n 种不同的方法 3分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别 分类加法计数原理针对 “ 分类 ” 问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对 “ 分步 ” 问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号 中打 “” 或 “”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 ( ) (2)
3、在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事 ( ) (3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，=【 ;精品教育资源文库 】 = 只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成 ( ) (4)如果完成一件事情有 n 个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法 mi(i 1,2,3， ? ，n)，那么完成这件事共有 m1m2m3? mn种方法 ( ) (5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤 的方法是各不相同的 ( ) 题组二 教材改编 2 P12A 组 T5已知集合 M 1， 2,3， N 4,5,6， 7，从 M， N 这两个集合中各
4、选一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是 ( ) A 12 B 8 C 6 D 4 答案 C 解析 分两步：第一步先确定横坐标，有 3 种情况，第二步再确定纵坐标，有 2 种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是 32 6，故选 C. 3 P10A 组 T4已知某公园有 4 个门，从一个门进，另一个门出， 则不同的走法的种数为 ( ) A 16 B 13 C 12 D 10 答案 C 解析 将 4 个门编号为 1,2,3,4，从 1 号门进入后，有 3 种出门的方式，共 3 种走法，从 2,3,4号门进入，同样各有 3 种走法，共有
5、不同走法 34 12(种 ) 题组三 易错自纠 4从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ( ) A 24 B 18 C 12 D 6 答案 B 解析 分两类情况讨论：第 1 类，奇偶奇，个位有 3 种选择，十位有 2 种选择，百位有 2 种选择，共有 3 22 12(个 )奇数；第 2 类，偶奇奇，个位有 3 种选择，十位有 2 种选择，百位有 1 种选择，共有 321 6(个 )奇数根据分类加法计数原理知，共有 12 6 18(个 )奇数 5.现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，
6、则不同的着色方法共有 ( ) A 24 种 B 30 种 C 36 种 D 48 种 答案 D 解析 需要先给 C 块着色，有 4 种方法；再给 A 块着色，有 3 种方法；再给 B 块着色，有 2种方法；最后给 D 块着色，有 2 种方法，由分步乘法计数原理知，共有 43 22 48(种 )=【 ;精品教育资源文库 】 = 着色方法 6如果把个位数是 1，且恰有 3 个数字相同的四位数叫做 “ 好数 ” ，那么在由 1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中， “ 好数 ” 共有 _个 答案 12 解析 由题意知本题是一个分类计数问题 当组成的数字有三个 1，三个 2，三个 3，三个
7、 4 时共有 4 种情况当有三个 1 时：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141 ，有 9 种 ， 当 有 三 个 2,3,4 时：2221,3331,4441，有 3 种，根据分类加法计数原理可知，共有 12 种结果 题型一 分类加法计数原理的应用 1 (2017 郑州质检 )满足 a， b 1,0,1,2，且关于 x 的方程 ax2 2x b 0 有实数解的有序数对 (a， b)的个数为 ( ) A 14 B 13 C 12 D 10 答案 B 解析 当 a 0 时，关于 x 的方程为 2x b 0，此时有序数对 (0， 1)， (0,0)
8、， (0,1)， (0,2)均满足要求；当 a0 时， 4 4ab0 ， ab1 ，此时满足要求的有序数对为 ( 1， 1)，( 1,0)， ( 1,1)， ( 1,2)， (1， 1)， (1,0)， (1,1)， (2， 1)， (2,0)综上，满足要求的有序数对共有 13 个，故选 B. 2 (2017 济南模拟 )如果一个三位正整数如 “ a1a2a3” 满足 a1a3，则称这样的三位数为凸数 (如 120,343,275 等 )，那么所有凸数的个数为 ( ) A 240 B 204 C 729 D 920 答案 A 解析 若 a2 2，则百位数字只能选 1，个位数字可选 1 或 0，
9、 “ 凸数 ” 为 120 与 121，共 2个若 a2 3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则 “ 凸数 ” 有 23 6(个 )若a2 4，满足条件 的 “ 凸数 ” 有 34 12(个 )， ? ，若 a2 9，满足条件的 “ 凸数 ” 有 89 72(个 ) 所以所有凸数有 2 6 12 20 30 42 56 72 240(个 ) 3 (2016 全国 ) 定义 “ 规范 01 数列 ” an如下： an共有 2m 项，其中 m 项为 0， m 项为 1，且对任意 k2 m， a1， a2， ? ， ak中 0 的个数不少于 1 的个数若 m 4，则不同的 “ 规范 01数
10、列 ” 共有 ( ) A 18 个 B 16 个 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 14 个 D 12 个 答案 C 解析 第一位为 0，最后一位为 1，中间 3 个 0,3 个 1,3 个 1 在一起时为 000111,001110；只有 2 个 1 相邻时，共 A24个，其中 110100,110010,110001,101100 不符合题意；三个 1 都不在一起时有 C34个，共 2 8 4 14(个 ) 思维升华 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键位置 (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准 (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必
11、须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复 (3)分类时除了不能 交叉重复外，还不能有遗漏 题型二 分步乘法计数原理的应用 典例 (1)(2016 全国 ) 如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ( ) A 24 B 18 C 12 D 9 答案 B 解析 从 E 点到 F 点的最短路径有 6 条，从 F 点到 G 点的最短路径有 3 条，所以从 E 点到 G点的最短路径有 63 18(条 )，故选 B. (2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至
12、多参加一项，则共有 _种不同的报名方法 答案 120 解析 每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有 6 种选法，第二个项目有 5 种选法，第三个项目有 4 种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有 654 120(种 ) 引申探究 1本例 (2)中若将条件 “ 每项限报一人，且每人至多参加一项 ” 改为 “ 每人恰好参加一项，每项人数不限 ” ，则有多少种不同的报名方法？ 解 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有 3 种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有 36 729(种 ) 2本例 (2)中若将条件 “ 每项限报一人，且每
13、人至多参加一项 ” 改为 “ 每项限报一人，但每=【 ;精品教育资源文库 】 = 人参加的项目不限 ” ，则有多少种不同的报名方法？ 解 每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有 63 216(种 ) 思维升华 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事 (2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保 连续，逐步完成 跟踪训练 一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从 P 点处
14、进， Q 点处出，沿图中线路游览A， B， C 三个景点及沿途风景，则不同 (除交汇点 O 外 )的游览线路有 _种 (用数字作答 ) 答案 48 解析 根据题意，从点 P 处进入后，参观第一个景点时，有 6 个路口可以选择，从中任选一个，有 6 种选法；参观完第一个景点，参观第二个景点时，有 4 个路口可以选择，从中任选一个，有 4 种选法；参观完第二个景点，参观第三个景点时，有 2 个路口可以选择，从中任取一个，有 2 种选法由分步乘法计数原理知，共有 642 48(种 )不同游览线路 题型三 两个计数原理的综合应用 命题点 1 与数字有关的问题 典例 (2017 天津 )用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 _个 (用数字作答 ) 答案 1 080 解析 当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为 C35C 14A 44 960. 当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为 A45 120. 故符合题意的四位数一共有 960 120 1 080(个 ) 命题点 2 涂色、种植问题 典例 (2017 济南质检 )如图，用 4 种不
