1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系 本节主要包括 2 个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 极坐标系 . 突破点 (一 ) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 基本知识 设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：? x x ，y y 的作用下，点 P(x， y)对应到点 P( x ， y) ，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 基本能力 1判断题 (1)平面直角坐标系中点 P( 2,3)在变换 ：? x 12x，y 13y的作用下得到的点为P( 1,1) ( ) (2)已知伸缩变换 ：? x 2x，y 12y， 经
2、变换得到点 A(2,4) ，则原来点的坐标为 A(4， 2) ( ) 答案： (1) (2) 2填空题 (1)直线 l： x 2y 3 0 经过 ：? x x，y 2y 变换后得到的直线 l 方程为_ 解析：设 l 上的任一点 P(x ， y) 由题得? x x ，y 12y ， 代入 x 2y 3 0 得 x y 3 0，直线 l 的方程为 x y 3 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： x y 3 0 (2)已知平面直角坐标系中点 A( 2,4)经过 变换后得 A 的坐标为 ? ? 12， 2 ，则伸缩变换 为 _ 解析：设伸缩变换 ：? x x ，y y ， 则有? 12 2
3、 ，2 4 ，解得? 14， 12. ：? x 14x，y 12y.答案： ：? x 14x，y 12y全析考法 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 典例 求双曲线 C： x2 y264 1 经过 ： ? x 3x，2y y 变换后所得曲线 C 的焦点坐标 解 设 曲线 C 上任意一点 P( x ， y) ， 由题意，将? x 13x ，y 2y代入 x2 y264 1 得 x29 4y 264 1， 化简得 x29 y 216 1， 即 x29y216 1 为曲线 C 的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线， 则所求焦点坐标为 F1( 5,0)， F2(5,0) =【 ;精品教育资源文库 】 =
4、方法技巧 应用伸缩变换公式时的两个注意点 (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点 P 的坐标 (x， y)与变换后的点 P 的坐标 (x ， y) ，再利用伸缩变换公式? x x ，y y 建立联系 (2)已知变换后的曲线方程 f(x， y) 0，一般都要改写为方程 f(x ， y) 0，再利用换元法确定伸缩变换公式 全练题点 1求直线 l： y 6x 经过 ：? x 3x，2y y 变换后所得到的直线 l 的方程 解：设直线 l 上任意一点 P( x ， y) ， 由题意，将? x 13x ，y 2y代入 y 6x 得 2y 6 ? ?13
5、x ， 所以 y x ，即直线 l 的方程为 y x. 2在同一平面直角坐标系中，将直线 x 2y 2 变成 直线 2x y 4，求满足图象变换的伸缩变换 解：设变换为? x x ，y y ， 代入第二个方程，得 2x y 4，与 x 2y 2比较系数得 1， 4，即? x x，y 4y. 因此，经过变换 ? x x，y 4y 后，直线 x 2y 2变成直线 2x y 4. 3在同一平面 直角坐标系中，经过伸缩变换? x 12x，y 13y后，曲线 C： x2 y2 36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标 解：设圆 x2 y2 36 上任一点为 P(x， y)，伸缩变换后对应点的坐标为 P( x
6、 ， y) ， 则? x 2x ，y 3y ， 所以 4x2 9y 2 36， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 x29 y 24 1. 所以曲线 C 在伸缩 变换后得椭圆 x29y24 1， 其焦点坐标为 ( 5， 0) 突破点 (二 ) 极坐标系 基本知识 1极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个 定点 O，点 O 叫做极点，自极点 O 引一条 射线 Ox， Ox 叫做极轴；再选定一个 长度单位 、一个 角度单位 (通常取弧度 )及其正方向 (通常取逆时针方向 )，这样就建立了一个极坐标系 (2)极坐标 一般地，没有特殊说明时，我们认为 0 ， 可取任意实数 (3)点
7、与极坐标的关系 一般地，极坐标 ( ， )与 ( ， 2k)( k Z)表示同一个点，特别地，极点 O 的坐标为 (0， )( R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示 如果规定 0,0 2 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 ( ， ) 表示；同时，极坐标 ( ， )表示的点也是唯一确定的 2极坐标与直角坐标的互化 点 M 直角坐标 (x， y) 极坐标 ( ， ) 互化公式 ? x cos ，y sin 错误 ! =【 ;精品教育资源文库 】 = 基本能力 1判断题 (1)圆心在极轴上的点 (a,0)处，且过极点 O 的圆的极坐标方程为 2asin .( ) (2)t
8、an 1 与 4 表示同一条曲线 ( ) (3)点 P 的直角坐标为 ( 2， 2)，那么它的极坐标可表示为 ? ?2， 34 .( ) 答案： (1) (2) (3) 2.填空题 (1)点 P 的直角坐标为 (1， 3)，则点 P 的极坐标为 _ 解析：因为点 P(1， 3)在第四象限，与原点的距离为 2，且 OP 与 x 轴所成的角为 3 ，所以点 P 的极坐标为 ? ?2， 3 . 答案： ? ?2， 3 (2)在极坐标系中，圆 2cos 在点 M(2,0)处的切线的极坐标方程为 _ 解析：如图， 2cos ， 2 2 cos ，化为直角坐标方程为 x2 y2 2x.由图象可知圆在点 M
9、(2,0)处的切线的直角坐标方程为x 2，即 cos 2. 答案： cos 2 (3)在极坐标系中 A? ?2， 3 ， B? ?4， 23 两点间的距离为 _ 解析：法一：在极坐标系中， A， B 两点如图所示， |AB| |OA| |OB| 6. 法二： A? ?2， 3 ， B? ?4， 23 的直角坐标为 A(1， 3)， B(2,2 3) |AB| 2 2 3 3 2 36 6. 答案： 6 (4)圆 5cos 5 3sin 的圆心的极坐标为 _ 解析：将方程 5cos 5 3sin 两边都乘以 得： 2 5 cos 5 3 sin ， 化成直角坐标方程为 x2 y2 5x 5 3y
10、 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 圆心的坐标为 ? ?52， 5 32 ，化成极坐标为 ? ?5， 53 . 答案： ? ?5， 53 (答案不唯一 ) (5)在极坐标系中，直线 sin? ? 4 2 被圆 4 截得的弦长为 _ 解析：直线 sin? ? 4 2 可化为 x y 2 2 0，圆 4 可化为 x2 y2 16，由圆中的弦长公式得 2 r2 d2 2 42 ? ?2 22 2 4 3. 答案： 4 3 全析考法 极坐标与直角坐标的互化 1极坐标方程化为直角坐标方程的步骤 第一步 判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与 x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则
11、极坐标方程与直角坐标方程可以互化 第二步 通过极坐标方程的两边同乘 或同时平方构造 cos ， sin ， 2的形式 ，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解 第三步 根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式 ? x cos ，y sin 及 2 x2 y2将极坐标方程转化为直角坐标方程 2直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中点的坐标化为极坐标 (1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的 x， y 分别用 cos ， sin 代替即可得到相应极坐标方程 (2)求直角坐标系中的点 (x， y)对应的极坐标的一般 步骤： =【 ;精品教育资源文库 】 = 例
12、 1 在极坐标系下，已知圆 O： cos sin 和直线 l： sin? ? 4 22 . (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； (2)当 (0， ) 时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标 解 (1)圆 O： cos sin ，即 2 cos sin ， 圆 O 的直角坐标方程为： x2 y2 x y，即 x2 y2 x y 0，直线 l： sin? ? 4 22 ，即 sin cos 1， 则直线 l 的直角坐标方程为： y x 1，即 x y 1 0. (2)由? x2 y2 x y 0，x y 1 0 得 ? x 0，y 1， 则直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为
13、? ?1， 2 . 方法技巧 1 应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点 (2)以 x 轴的正半轴为极轴 (3)两种坐标系规定相同的长度单位 2直角坐标化为极坐标时的两个注意点 (1)根据终边相同的角的意义，角 的表示方法具有周期性，故点 M 的极坐标 ( ， )的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个当限定 0 ， 0,2) 时，除极点外，点 M 的极坐标是唯一的 (2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角 应注意判断点 M 所在的象限 (即角 的终边的位置 )，以便正确地求出角 ( 0,2 )的值 极坐标方程的应用 例 2 (2018 安徽合肥模拟 )在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 4cos . (1)求出圆 C 的直角坐标方程； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)已知圆 C 与 x 轴相交于 A， B 两点，直线 l： y 2x 关于点 M(0， m)(m0) 对称的直线为 l. 若直线 l 上存在点 P 使
