1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（三十五）空间点、直线、平面之间的位置关系 小题对点练 点点落实 对点练 (一 ) 平面的基本性质 1四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有 ( ) A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 解析：选 A 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面 2若直线上有两个点在平面外，则 ( ) A直线上至少有一个点在平面内 B直线上有无穷多个点在平面内 C直线上所有点都在平面外 D直线上至多有一个点在平面内 解析：选 D 根据题意，两点确定一条直线，那么由 于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交
2、，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内 3.如图， l， A， B ， C ，且 C?l，直线 AB l M，过A， B， C 三点的平面记作 ，则 与 的交线必经过 ( ) A点 A B点 B C点 C 但不过点 M D点 C 和点 M 解析：选 D 因为 AB? ， M AB，所以 M . 又 l， M l，所以 M . 根据公理 3 可知， M 在 与 的交线上 同理可知，点 C 也在 与 的交线上 4.如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1中既与 AB 共面又与 CC1共面的棱有_条 解析：依题意，与 AB 和 CC1都相交的棱有 BC；与 AB 相交且与 CC
3、1平行有棱 AA1， BB1；与 AB 平行且与 CC1相交的棱有 CD， C1D1.故符合条件的棱有 5 条 答案： 5 对点练 (二 ) 空间两直线的位置关系 1已知异面直线 a， b 分别在平面 、 内，且 c，那么直线 c 一定 ( ) A与 a、 b 都相交 =【 ;精品教育资源文库 】 = B只能与 a、 b 中的一条相交 C至少与 a、 b 中的一条相交 D与 a、 b 都平行 解析：选 C 如果 c 与 a、 b 都平行，那么由平行线的传递 性知 a、 b 平行，与异面矛盾故选 C. 2已知 l1， l2， l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ( ) A l1 l2，
4、 l2 l3?l1 l3 B l1 l2， l2 l3?l1 l3 C l1 l2 l3?l1， l2， l3共面 D l1， l2， l3共点 ?l1， l2， l3共面 解析：选 B 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故 A 错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线， B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故 C 错；共点的三条直线不一定共面，如三 棱锥的三条侧棱，故 D 错 3 (2018 兰州市高考实战模拟 )已知长方体 ABCD A1B1C1D1中， AA1 AB 3， AD 1，则异面直线 B1C 和 C1D 所成角的余
5、弦值为 ( ) A. 64 B. 63 C. 26 D. 36 解析：选 A 如图，连接 A1D， A1C1，由题易知 B1C A1D， C1DA1是异面直线 B1C 与 C1D 所成的角，又 AA1 AB 3， AD 1， A1D 2， DC1 6， A1C1 2，由余弦定理，得 cos C1DA1 C1D2 A1D2 A1C212 C1D A1D 64 ，故选 A. 4如图为正方体表面的一种展开图，则图中的 AB， CD， EF， GH 在原正方体中互为异面直线的有 _对 解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB，CD， EF 和 GH 在原正方体中，显然 AB 与 CD
6、， EF 与 GH， AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交， CD 与 GH 相交， CD 与 EF 平行故互为异面直线的有 3 对 答案： 3 5已知 a， b， c 为三条不同的直线，且 a?平面 ， b?平面 ， c. 若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a， b 中的一条相交； 若 a 不垂直于 c，则 a 与 b 一定不垂直； =【 ;精品教育资源文库 】 = 若 a b，则必有 a c； 若 a b， a c，则必有 . 其中正确的命题有 _ (填写所有正确命题的序号 ) 解析： 中若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a， b 中的一条相交，故 正
7、确； 中平面 平面 时，若 b c，则 b 平面 ，此时不论 a， c 是否垂直，均有 a b，故 错误； 中当 a b 时，则 a 平面 ，由线面平行的性质定理可得 a c，故 正确； 中若b c，则 a b， a c 时， a 与平面 不一定垂直，此时平面 与平面 也不一定垂直，故 错误 答案： 6.如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E， H 分别是边 AB， AD 的中点，点 F， G 分别是边 BC， CD 上的点，且 CFCB CGCD 23，则下列说法正确的是 _ (填写所有正确说法的序号 ) EF 与 GH 平行； EF 与 GH 异面； EF 与 GH 的交点 M 可能
8、 在直线 AC 上，也可能不在直线 AC 上； EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上 解析：连接 EH， FG(图略 )，依题意，可得 EH BD， FG BD，故 EH FG，所以 E， F， G，H 共面 因为 EH 12BD， FG 23BD，故 EH FG， 所以 EFGH 是梯形， EF 与 GH 必相交， 设交点为 M.因为点 M 在 EF 上， 故点 M 在平面 ACB 上同理，点 M 在平面 ACD 上， 点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的交点， 又 AC 是这两个平面的交线， 所以点 M 一定在直线 AC 上 答案： 7 (2018 武汉调研 )在正四面体
9、 ABCD 中， M， N 分别是 BC 和 DA 的中点，则异面直线MN 和 CD 所成角的余弦值为 _ 解析：取 AC 的中点 E，连接 NE， ME，由 E， N 分别为 AC， AD 的中点，知 NE CD，故 MN与 CD 所成的角即 MN 与 NE 的夹角，即 MNE.设正四面体的棱长为 2，可得 NE 1， ME 1，MN 2，故 cos MNE NE2 MN2 ME22NE MN 22 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： 22 8如图，在三棱锥 ABCD 中， AB AC BD CD 3， AD BC 2，点 M， N 分别为 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，
10、CM 所成的角的余弦值是 _ 解析：如图所示，连接 DN，取线段 DN 的中点 K，连接 MK， CK. M 为 AD 的中点， MK AN， KMC(或其补角 )为异面直线 AN， CM所成的角 AB AC BD CD 3， AD BC 2， N 为 BC 的中点，由勾股定理易求得 AN DN CM 2 2， MK 2.在 Rt CKN 中， CK 2 2 12 3.在 CKM 中，由余弦定理，得 cos KMC 22 2 2 3 22 22 2 78，所以异面直线 AN， CM 所成的角的余弦值是 78. 答案： 78 大题综合练 迁移贯通 1.如图所示， A 是 BCD 所在平面外的一点
11、， E， F 分别是 BC， AD的中点 (1)求证：直线 EF 与 BD 是异面直线； (2)若 AC BD， AC BD，求 EF 与 BD 所成的角 解： (1)证明： 假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即AD 与 BC 共面，所以 A， B， C， D 在同一平面内，这与 A 是 BCD 所在平面外的一点相矛盾故直线 EF 与 BD 是异面直线 (2)取 CD 的中点 G，连接 EG， FG，则 AC FG， EG BD， 所以相交直线 EF 与 EG 所成的角， 即为异面直线 EF 与 BD 所成的角 又因为 AC BD，则 F
12、G EG. 在 Rt EGF 中，由 EG FG 12AC，求得 FEG 45 ，即异面直线 EF 与 BD 所成的角为45. 2.如图，在三棱锥 PABC 中 ， PA 底面 ABC， D 是 PC 的中点已知 BAC=【 ;精品教育资源文库 】 = 2 ， AB 2， AC 2 3， PA 2.求： (1)三棱锥 PABC 的体积； (2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值 解： (1)S ABC 1222 3 2 3，三棱锥 PABC 的体积为 V 13S ABC PA 132 32 4 33 . (2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE， AE，则 ED BC， 所以 ADE
13、(或其补角 )是异面直线 BC与 AD所成的角在 ADE中，DE 2， AE 2， AD 2， cos ADE 22 22 2222 34. 故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 34. 3.如图所示，三棱柱 ABC A1B1C1，底面是边长为 2 的正三角形，侧棱A1A 底面 ABC，点 E， F 分别是棱 CC1， BB1上的点，点 M 是线段 AC 上的动点，EC 2FB 2. (1)当点 M 在何位置时， BM 平面 AEF? (2)若 BM 平面 AEF，判断 BM 与 EF 的位置关系，说明理由；并求 BM 与 EF 所成的角的余弦值 解： (1)法一：如图所示，取 AE
14、的中点 O，连接 OF，过点 O 作 OMAC 于点 M. 因为侧棱 A1A 底面 ABC， 所以侧面 A1ACC1 底面 ABC. 又因为 EC 2FB 2， 所以 OM FB EC 且 OM 12EC FB， 所以四边形 OMBF 为矩形， BM OF. 因为 OF?平面 AEF， BM?平面 AEF， 故 BM 平面 AEF，此时点 M 为 AC 的中点 法二：如图所示，取 EC 的中点 P， AC 的中点 Q，连接 PQ， PB，BQ. 因为 EC 2FB 2， 所以 PE 綊 BF， 所以 PQ AE， PB EF， 所以 PQ 平面 AFE， PB 平面 AEF， =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 PB PQ P， PB， PQ ?平面 PBQ， 所以平面 PBQ 平面 AEF. 又因为 BQ?平面 PBQ， 所以 BQ 平面 AEF. 故点 Q 即为所求的点 M，此时点 M 为 AC 的中点 (2)由 (1)知， BM 与 EF 异面， OFE(或 MBP)就是异面直线 BM 与 EF 所成的角或其补角 易求 AF EF 5， MB OF 3， OF AE， 所以 cos OFE OFEF 35 155 ， 所以 BM 与 EF 所成的角的余弦值为 155 .
