1、 2020-2021 学年度第一学期期末教学质量监测学年度第一学期期末教学质量监测 高一级数学科试题高一级数学科试题 温馨提示：请将答案写在答题卷上；考试时间为温馨提示：请将答案写在答题卷上；考试时间为 120 分钟，满分分钟，满分 150分分. 第第卷（选择题）卷（选择题） 一、单选题（本题共一、单选题（本题共 8个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项中，有且只有一个符合要求）中，有且只有一个符合要求） 1. 已知集合1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7UAB=，则CUBA A. 1,6 B. 1,7 C.
2、6,7 D. 1,6,7 2. 若12cos13x =，且 x 为第四象限的角，则 tanx 的值等于 A. 125 B. 125 C. 512 D. 512 3. 设53a=，3log 0.2b =，2log 3c =，则（ ） A. abc B. cba C. acb D. cab 4. 函数)(3lnf xxx=的零点所在的大致区间是（ ） A. )(1,2 B. )(2,e C. )(,3e D. )(, e + 5. 已知函数()2lg1 ,0( )(3),0 xxf xf xx+=+，则()3f =（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 10 6. “1x ”是“2230 xx
3、+在一个周期内的图象，则其解析式是（ ） A. ( )3sin3f xx=+ B. ( )3sin 23f xx=+ C. ( )3sin 23f xx= D. ( )3sin 26f xx=+ 8. 中国的 5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log1SCWN=+.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的 1 可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从 1000 提升至 4000，则C大约增加了（ ）附：lg20
4、.3010 A. 10% B. 20% C. 50% D. 100% 二、多选题（本题共二、多选题（本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若 a、b、cR，则下列命题正确的是（ ） A. 若ab，则22acbc B
5、. 若22abcc，则ab C. 若ab，则22ab D. 若ab，则22ab 10. 如果幂函数( )f xm x=的图象过12,4，下列说法正确的有（ ） A. 1m =且2= B. ( )f x是偶函数 C. ( )f x是减函数 D. ( )f x的值域为()0,+ 11. 若将函数 f(x)=cos(2x+12)的图象向左平移8个单位长度，得到函数 g(x)的图象，则下列 说法正确的是（ ） A. g(x)的最小正周期为 B. g(x)在区间0，2上单调递减 C. x=12是函数 g(x)的对称轴 D. g(x)在6，6上的最小值为12 12. 已知定义在R上的函数( )f x的图象
6、是连续不断的，且满足以下条件：xR ，()( )fxf x=； 1x，()20,x +， 当12xx时，()()21210f xf xxx； ()10f =.则下列选项成立的是（ ） A. ( )( )34ff B. 若()( )12f mf，则()()1,01,x + D. xR ，mR， 使得( )f xm 第第卷（非选择题）卷（非选择题） 三、填三、填空题（本大题共空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填写在答题卷横分，把答案填写在答题卷横线上）线上） 13. 命题“2220 xRxx， +”的否定是_. 14. 计算：13021lg8lg253
7、27e+=_ 15. 已知tan2=，则sin 22+=_. 16. 若实数 x，y 满足33loglog1xy+=，则11xy+的最小值为_ 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70分，解答须写出文字说明、证明过程和演分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）算步骤） 17. 已知集合14Mxx= （1）当1a =时，求MN，MN; （2）若xM是xN的充分不必要条件，求实数a的取值范围 18. （1）已知( )()sin 2cos2costan()2f+=+，求3f； （2）已知4sin5，,2，5cos13= ，是第三象限角，求()cos的值. 19. 已知
8、函数( )()log32afxx=+，( )()log32ag xx=.设函数( )( )( )F xf xg x=. （1）求函数( )F x的定义域； （2）判断( )F x奇偶性并证明； （3）当2a =时，若( )0F x 成立，求 x的取值范围. 20. 已知函数( )22sincos2 3sin cosxxxxxf=+. （1）求( )f x的最小正周期； （2）求( )f x的单调增区间； （3）若( )2 55f=，求cos 43的值. 21. 因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备， 并立即进行生产， 预计使用
9、该设备前(N )n n+年的材料费、维修费、人工工资等共为（2552nn+）万元，每年的销售收入55万元.设使用该设备前n年的总盈利额为( )f n万元. （1）写出( )f n关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利； （2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以 10 万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以 50 万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由. 22. 已知二次函数( )f x满足：( )( )044ff=，且该函数的最小值为 1. （1）求此二次函数( )f x的解析式； （2） 若函数( )f
10、x的定义域为,Am n=（其中0mn B. cba C. acb D. cab 【答案】D 【解析】 【分析】 利用对应指对数函数性质即可判断a，b，c的范围，即可知它们的大小关系. 【详解】由3xy =的性质知：01a， 由3logyx=的性质知：0b ， 所以cab. 故选：D 4. 函数)(3lnf xxx=的零点所在的大致区间是（ ） A. )(1,2 B. )(2,e C. )(,3e D. )(, e + 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，函数3( )f xlnxx=在(0,)+上连续且单调递增，计算( )f e，( )3f，根据零点存在性定理判断即可 【详解】解：函数3( )
11、f xlnxx=在(0,)+上连续且单调递增， 且( )310f ee= ，所以( )( )30f ef=+，则()3f =（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】 根据分段函数的解析式直接计算即可. 【详解】( 3)(0)(3)lg101fff=. 故选：B. 6. “1x ”是“2230 xx+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据充分必要条件的定义判断 【详解】1x 时，223(1)(3)xxxx+=+可能大于 0 也可能小于 0，不充分， 223(1
12、)(3)0 xxxx+=+，则31x ，满足1x 在一个周期内的图象，则其解析式是（ ） A. ( )3sin3f xx=+ B. ( )3sin 23f xx=+ C. ( )3sin 23f xx= D. ( )3sin 26f xx=+ 【答案】B 【解析】 【分析】通过函数的图象可得到：A=3，T=，22=，则( )()3sin 2f xx=+，然后再利用点,312在图象上求解.， 【详解】由函数的图象可知：A=3，T=，22=， 所以( )()3sin 2f xx=+， 又点,312在图象上， 所以3sin 2312+=， 即sin16骣琪 +=琪桫， 所以262k+=+， 即23k
13、=+， 因为2， 所以3= 所以( )3sin 23f xx=+ 故选：B 【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象求解析式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8. 中国的 5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log1SCWN=+.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的 1 可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从 1000 提升至 4000，则C大约增加了（ ）附：lg20.3010 A. 10% B. 2
14、0% C. 50% D. 100% 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，计算出22log 4000log 1000的值即可； 【详解】当1000SN=时，2log 1000CW=，当4000SN=时，2log0004CW=， 因为22log 4000lg400032lg23.60201.2log 1000lg100033+= 所以将信噪比SN从 1000 提升至 4000，则C大约增加了 20%， 故选：B. 【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用. 二、多选题（本题共二、多选题（本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出
15、的选项中，有分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若 a、b、cR，则下列命题正确的是（ ） A. 若ab，则22acbc B. 若22abcc，则ab C. 若ab，则22ab D. 若ab，则22ab 【答案】BC 【解析】 【分析】取特殊值可判断 AD，利用不等式性质判断 B，根据指数函数的单
16、调性判断 C. 【详解】对于 A，0c =时，22acbc不成立，故 A错误； 对于 B，由不等式性质知，22abcc两边同时乘以20c ，可得ab，故 B 正确； 对于 C，因为2xy =为 R 上的单调增函数，所以ab可得22ab，故 C正确； 对于 D，取1,2ab= = ，可知22ab不正确，故 D错误. 故选：BC 10. 如果幂函数( )f xm x=的图象过12,4，下列说法正确的有（ ） A. 1m =且2= B. ( )f x是偶函数 C. ( )f x是减函数 D. ( )f x的值域为()0,+ 【答案】ABD 【解析】 【分析】由幂函数定义和所过点可求得,m，知 A 正
17、确；利用奇偶性的定义知 B正确；根据幂函数在()0,+上的单调性，结合偶函数性质知 C错误；由幂函数值域知 D正确. 【详解】( )f x为幂函数，1m=，又( )f x过点12,4，124=，解得：2= ，A正确； 则( )221f xxx=，( )f x定义域为()(),00,+， ()()( )2211fxf xxx=，( )f x为偶函数，B正确； 当()0,x+时，( )f x单调递减， 由偶函数性质知：( )f x在(),0上单调递增，C错误； 20 x ，210 x，即( )f x的值域为()0,+，D正确. 故选：ABD. 11. 若将函数 f(x)=cos(2x+12)的图象
18、向左平移8个单位长度，得到函数 g(x)的图象，则下列说法正确的是（ ） A. g(x)的最小正周期为 B. g(x)在区间0，2上单调递减 C. x=12是函数 g(x)的对称轴 D. g(x)在6，6上的最小值为12 【答案】AD 【解析】 【分析】 函数 f(x)=cos(2x+12)的图象向左平移8个单位长度后得函数 g(x)的解析式， 从而可求出它的最小正周期、对称轴等. 【 详 解 】 函 数f(x)=cos(2x+12) 的 图 象 向 左 平 移8个 单 位 长 度 后 得( )cos 2812g xx=+cos 23x=+，最小正周期为 ，A 正确； 222()3kxkkZ+
19、 ()63kxkkZ+为 g(x)的所有减区间，其中一个减区间为,6 3 ，故 B错； 令23xk+=，得6,2kxkZ= +，故 C 错； x6，6，220,33x+，1cos(2),132x+ ，故 D 对 故选：AD 12. 已知定义在R上的函数( )f x的图象是连续不断的，且满足以下条件：xR ，()( )fxf x=； 1x，()20,x +， 当12xx时，()()21210f xf xxx； ()10f =.则下列选项成立的是（ ） A. ( )( )34ff B. 若()( )12f mf，则()()1,01,x + D. xR ，mR， 使得( )f xm 【答案】CD 【
20、解析】 【分析】根据题中的条件确定函数的奇偶性和单调性，再逐项验证即可得出答案. 【详解】根据题中条件知，函数( )f x为 R 上的偶函数； 根据题中条件知，函数( )f x在()0,+上单调递增. 根据函数的单调性得，( )( )34ff，选项 A 错误； ( )f x是 R 上的偶函数，且在()0,+上单调递增 ()( )12f mf时， 12m，解得13m = ，或 ( )00f xx或10 x 时，()()1,01,x +，选项 C 正确； 根据偶函数的单调性可得，函数( )f x在(),0上单调递减 ( )f x在 R 上有最小值，故选项 D 正确. 故选：CD. 第第卷（非选择题
21、）卷（非选择题） 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填写在答题卷横分，把答案填写在答题卷横 线上）线上） 13. 命题“2220 xRxx， +”的否定是_. 【答案】2220 xRxx +，. 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定可得结果 【详解】由含有一个量词的命题的否定可得，命题“2220 xRxx， +”的否定为“2220 xRxx +，” 故答案为2220 xRxx +， 【点睛】对于含有量词的命题的否定要注意两点：一是要改换量词，把特称（全称）量词改为全称（特称）量词；二是把命题进行否定本题考查特称命
22、题的否定，属于简单题 14. 计算：13021lg8lg25327e+=_ 【答案】4 【解析】 【详解】原式()1333221lg21lg52lg2 1 32lg52 lg2lg52433 = += + +=+= 故答案为 4 15. 已知tan2=，则sin 22+=_. 【答案】35 【解析】 【分析】 根据诱导公式及二倍角的余弦公式， 利用同角三角函数的基本关系转化为正切求解. 【详解】tan2= 22222222cossin1tan1 43sin 2cos2cossin=2cossin1tan1+45+=+， 故答案为：35 16. 若实数 x，y 满足33loglog1xy+=，则
23、11xy+的最小值为_ 【答案】2 33 【解析】 【分析】 由对数的运算性质可求出xy的值，再由基本不等式计算即可得答案 【详解】由题意333logloglog1xyxy+=， 得：3xy =， 则11111122 3()3333yyxyxyxyxx+=+=+=（当且仅当3xy=时，取等号） 故答案为：2 33 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70分，解答须写出文字说明、证明过程和演分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）算步骤） 17. 已知集合14Mxx= （1）当1a =时，求MN，MN; （2）若xM是xN的充分不必要条件，求实数a的取值范围 【答
24、案】 （1） 14MNxx= ； （2）1a 【解析】 【分析】 （1）当1a =时，求出集合N，然后再求交集合并集. （2）若xM是xN的充分不必要条件,则有 M N，可得出答案. 【详解】 （1）因为1a =，所以|1Nx x=， 所以有|14MNxx= （2）若xM是xN的充分不必要条件， 则有 M N， 所以1a 18. （1）已知( )()sin 2cos2costan()2f+=+，求3f； （2）已知4sin5，,2，5cos13= ，是第三象限角，求()cos的值. 【答案】 （1）12； （2）3365. 【解析】 【分析】 （1）根据诱导公式化简函数后代入3=求解即可； （
25、2）根据同角三角函数的基本关系求出cos,sin，利用两角差的余弦公式求解即可. 【详解】 （1）( )() ()sinsinsintanf = 1cos2= （2）由4sin5，,2，得2cos1sin= 243155= = 又由5cos13= ，3,2，得2sin1 cos= 251211313= = 所以()coscoscossinsin=+ 354123351351365 = + = . 19. 已知函数( )()log32afxx=+，( )()log32ag xx=.设函数( )( )( )F xf xg x=. （1）求函数( )F x的定义域； （2）判断( )F x奇偶性并证
26、明； （3）当2a =时，若( )0F x 成立，求 x的取值范围. 【答案】 （1）3 3,2 2； （2）奇函数，证明见解析； （3）30,2. 【解析】 【分析】 （1）根据对数函数真数大于 0，建立不等式组求解即可； （2）根据奇函数的定义判断即可； （3）根据对数函数的单调性解不等式求解即可. 【详解】 （1）由320320 xx+，解得3322x可得( )( )0f xg x，得()()22log32log32xx+， 由对数函数的单调性得3 23 20 xx+ -， 解得302x，解一元二次不等式求得从第3年开始盈利. （2）方案一：利用配方法求得总盈利额的最大值，进而求得总利润
27、； 方案二：利用基本不等式求得6n =时年平均利润额达到最大值，进而求得总利润. 比较两个方案获利情况，作出合理的处理方案. 【详解】 （1）由题意得： 2255( )5590(5 )509022f nnnnnn=+= + 由( )0f n 得25509002nn+即220360nn+， 解得218n 由n+N，设备企业从第 3 年开始盈利 （2） 方案一总盈利额 25( )(10)1602f nn= +，当10n =时，max( )160f n= 故方案一共总利润16010170+=，此时10n = 方案二：每年平均利润 ( )536550()502 362022f nnnn=+=，当且仅当
28、6n =时等号成立 故方案二总利润62050170+=，此时6n = 比较两种方案，获利都是 170 万元，但由于第一种方案只需要 10 年，而第二种方案需要 6年，故选择第二种方案更合适. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，属于中档题. 22. 已知二次函数( )f x满足：( )( )044ff=，且该函数的最小值为 1. （1）求此二次函数( )f x的解析式； （2） 若函数( )f x的定义域为,Am n=（其中0mn） ， 问是否存在这样的两个实数 m，n，使得函数( )f x的值域也为 A？若存在，求出 m，n 的值；若不存在，请说明理由. 【答案
29、】 （1）( )23344f xxx=+； （2）存在，1m =，4n =. 【解析】 【分析】 （1）设2( )(2)1f xa x=+，由(0)4f=，求出a值，可得二次函数( )f x的解析式； （2）分当2mn 时，当2mn时，当2 mn时，三种情况讨论，可得存在满足条件的m，n，其中1m =，4n = 【详解】解： （1）依题意，可设，( )()221f xa x=+ 因( )04f=，代入得34a =， 所以( )()2233213444f xxxx=+ =+. （2）假设存在这样的m，n，分类讨论如下： 当2mn时，依题意，( )( ),f mnf nm=即22334,4334,4mmnnnm+=+=两式相减，整理得 83mn+=，代入进一步得43mn=，产生矛盾，故舍去； 当2mn，( )f nn=，解得4n =或43（舍去） ； 若23n，( )714nf=，产生矛盾，故舍去； 当2mn时，依题意，( )( ),f mmf nn=即22334,4334,4mmmnnn+=+= 解得43m =，4n =产生矛盾，故舍去 综上：存在满足条件的 m，n，其中1m =，4n =
