1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四章 平面向量与复数 第 1 课时 平面向量的概念与线性运算 一、 填空题 1. 下列命题中正确的是 _ (填序号 ) 单位向量的模都相等； 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量； 若 a， b 满足 |a| |b|且 a 与 b 同向 ， 则 a b； 两个有共同起点而且相等的向量 ， 其终点必相同； 对任意非零向量 a， b， 必有 |a b|a| |b|. 答案： 解析：单位向量的模均为 1， 故 正确；共线包括同向和反向 ， 故 不正确；向量不能比较大小 ， 故 不正确；根据向量的表示 ， 知 正确； 由向量加法的三角形法则知 正确 2. 若
2、菱形 ABCD 的边长为 2， 则 |AB CB CD | _ 答案： 2 解析： |AB CB CD | |AB BC CD | |AD | 2. 3. 已知 AB 2e1 ke2， CB e1 3e2， CD 2e1 e2.若 A， B， D 三点共线 ， 则 k _. 答案： 8 解析：若 A， B， D 三点共线 ， 则 AB BD ， 设 AB BD .因 为 BD CD CB e1 4e2， 所以2e1 ke2 (e1 4e2) e1 4 e2， 所以 2， k 4 ， 所以 k 8. 4. 在四边形 ABCD 中 ， AB CD， AB 3DC， 设 AB a， AD b， E
3、为 BC 的中点 ， 则 AE _ (用 a， b 表示 ) 答案： 23a 12b 解析： BC BA AD DC 23AB AD ， AE AB BE AB 12BC AB 12? ?AD 23AB 23AB 12AD 23a 12b. 5. 如图 ， 在正六边形 ABCDEF 中 ， BA CD EF _ 答案： CF 解析：由题图知 BA CD EF BA AF CB CB BF CF . 6. (2017 泰州模拟 )设 D 为 ABC 所在平面内一点 ， AD 13AB 43AC ， 若 BC DC( R)， 则 _ 答案： 3 解析：由 AD 13AB 43AC ， 可得 3AD
4、 AB 4AC ， 即 4AD 4AC AD AB ， 则 4CD BD ，即 BD 4DC ， 可得 BD DC 3DC ， 故 BC 3DC ， 则 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 7. 若两个非零向量 a， b 满足 |a b| |a b| 2|a|， 则向量 a b 与 a b 的夹 角为_ 答案： 23 解析：由 |a b| |a b|可知 ab .设 AB b， AD a， 作矩形 ABCD， 可知 AC a b， BD a b.设 AC 与 BD 的交点为 O， 结合题意可知 OA OD AD， AOD 3 ， DOC 23 .又向量 a b 与 a b 的夹角为 AC
5、与 BD 的夹角 ， 故所求夹角为 23 . 8. 在 ABC 中 ， 已知 D 是 AB 边上一点 ， 且 CD 13CA CB ， 则实数 _ 答案： 23 解析：如图 ， 过点 D 作 DE BC， 交 AC 于点 E， 过点 D 作 DF AC， 交 BC 于点 F， 则 CD CE CF . 因为 CD 13CA CB ， 所以 CE 13CA ， CF CB .由 ADEABC ， 得 DEBC AEAC 23， 所以 ED CF 23CB ， 故 23. 9. 在 ?ABCD 中 ， AC 与 BD 相交于点 O， E 是线段 OD 的中点 ， AE 的延长线与 CD 交于点 F
6、.若 AC a， BD b， 则 AF _ (用 a， b 表示 ) 答案： 23a 13b 解析：如图 ， DEF BEA， DF BA DEBE 13 ， 过点 F 作 FGBD 交 AC于点 G， FG DO 23 ， CG CO 2 3， GF 13b. AG AO OG 23AC 23a， AF AG GF 23a 13b. 10. 向量 e1， e2不共线 ， AB 3(e1 e2)， CB e2 e1， CD 2e1 e2， 给出下列结论： A ，B， C 共线； A ， B， D 共线； B ， C， D 共线 ； A ， C， D 共线其中所有正确的结论是_ (填序号 ) 答
7、案： 解析：由 AC AB CB 4e1 2e2 2CD ， e1 e2不共线 ， 得 AB 与 CB 不共线 ， A， C， D 共线 ，且 B 不在此直线上 11. 已知 O 是平面上一定点 ， A， B， C 是平面上不共线的三个点 ， 动点 P 满足： OP OA=【 ;精品教育资源文库 】 = ?AB|AB | AC|AC |， 0， ) ， 则 P 的轨迹一定通过 ABC 的 _ (选填 “ 外心 ”“ 内心 ”“ 重心 ” 或 “ 垂心 ”) 答案：内心 解析：作 BAC 的平分线 AD. OP OA ?AB|AB | AC|AC |， AP ?AB|AB | AC|AC | A
8、D|AD |(0 ， ) ， AP |AD | AD ， AP AD . P 的轨迹一定通过 ABC 的内心 二、 解答题 12. 如图 ， 已知点 G 是 ABC 的重心 ， 过点 G 作直 线 MN 与边 AB， AC 分别 交于 M， N 两点 ， 且 AM xAB ， AN yAC ， 求 x y 的最小值 解：由点 G 是 ABC 的重心 ， 知 GA GB GC 0， 得 AG (AB AG ) (AC AG ) 0， 则AG 13(AB AC )又 M， N， G 三 点共线 (A 不在直线 MN 上 )， 于是存在 ， R， 使得 AG AM AN (且 1)， 则 AG x
9、AB yAC 13(AB AC )， 所以? 1， x y 13， 于是得1x1y 3. 又由题意 x 0， y 0， 所以 x y 13(x y)? ?1x 1y 13? ?2 yx xy 43(当且仅当 yx xy， 即x y 时 ， 等号成立 )， 即 x y 的最小值为 43. 13. 如图 ， 已知 OCB 中 ， 点 C 是点 B 关于点 A 的对称点 ， D 是将 OB 分为 21 的一个内分点 ， DC 和 OA 交于点 E.设 OA a， OB b. (1) 用 a 和 b 表示向量 OC ， DC ； (2) 若 OE OA ， 求实数 的值 解： (1) 由题意知 ， A
10、 是 BC 的中点 ， 且 OD 23OB . 由平行四边 形法则 ， 得 OB OC 2OA . OC 2OA OB 2a b， DC OC OD (2a b) 23b 2a 53b. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2) 如题图 ， EC DC . EC OC OE (2a b) a (2 ) a b， DC 2a 53b， 2 2 1 53， 45.第 2 课时 平面向量的基本定理及坐标表示 一、 填空题 1. 已知在 ?ABCD 中 ， AD (2， 8)， AB ( 3， 4)， 则 AC _. 答案： ( 1， 12) 解析：因为四边形 ABCD 是平行四边形 ， 所以 AC
11、AB AD ( 1， 12) 2. 若 e1， e2是表示平面内所有向量的一组基底 ， 则下面的四组向量中不能看作 基底的是 _ (填序号 ) e1 e2和 e1 e2； 3e 1 2e2和 4e2 6e1； e1 3e2和 e2 3e1； e 2和 e1 e2. 答案： 解析： 3 e1 2e2 12(4e2 6e1)， 3e1 2e2与 4e2 6e1共线 3. (2017 苏北四市联考 )已知点 A(1， 3)， B(4， 1)， 则与 AB 同方向的单位向量是_ 答案： ? ?35， 45 解析： AB OB OA (4， 1) (1， 3) (3， 4)， 与 AB 同方向的单位向量
12、为 AB|AB | ? ?35， 45 . 4. 已知点 A(4， 0)， B(4， 4)， C(2， 6)， 则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 _ 答案： (3， 3) 解析： (解法 1)由 O， P， B 三点共线 ， 可设 OP OB (4 ， 4 )， 则 AP OP OA (4 4， 4 )又 AC OC OA ( 2， 6)， 由 AP 与 AC 共线 ， 得 (4 4)6 4( 2) 0，解得 34， 所以 OP 34OB (3， 3)， 所以点 P 的坐标为 (3， 3) (解法 2)设点 P(x， y)， 则 OP (x， y)， 因为 OB (4， 4)， 且 O
13、P 与 OB 共线 ， 所以 x4 y4， 即 x y.又 AP (x 4， y)， AC ( 2，6)， 且 AP 与 AC 共线 ， 所以 (x 4)6 y( 2) 0， 解得 x y 3， 所以点 P 的坐标为 (3，3) 5. 若三点 A(1， 5)， B(a， 2)， C( 2， 1)共线 ， 则实数 a 的值为 _ 答案： 54 解析： AB (a 1， 3)， AC ( 3， 4)， 根据题意 AB AC ， 4(a 1) 3( 3) 0， 即 4a 5， a 54. 6. (2017 衡水中学月考 )在 ABC 中，点 D 在 BC 边上 ， 且 CD 2DB ， CD rAB
14、 sAC ，则 r s _ 答案： 0 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：因为 CD 2DB ， 所以 CD 23CB 23(AB AC ) 23AB 23AC ， 则 r s 23 ? ? 23 0. 7. 设向量 a (1， 3)， b ( 2， 4)， c ( 1， 2)若表示向量 4a， 4b 2c， 2(a c)， d 的有向线段首尾相连能构成四边形 ， 则向量 d _ 答案： ( 2， 6) 解析：设 d (x， y)， 由题意知 4a (4， 12)， 4b 2c ( 6， 20)， 2(a c) (4， 2)， 又 4a 4b 2c 2(a c) d 0， 解得 x 2， y 6， 所以 d ( 2， 6) 8. 如图 ， 在 ?ABCD 中 ， E， F 分别是 BC， CD 的中点 ， DE 交 AF 于 H.记 AB ， BC 分别为 a，b， 则 AH _ (用 a， b 表示 ) 答案： 25a 45b 解析：设 AH
