1、 2021 学年第一学期天河区期末考试学年第一学期天河区期末考试 高二数学高二数学 （本试卷共（本试卷共 6 页，页，22 小题，满分为小题，满分为 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟 ）分钟 ） 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡相应答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡相应的位置上的位置上 2选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案：不能答
2、在试卷上用橡皮擦干净后，再选涂其它答案：不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液，不按以上要求作答的答案无效液，不按以上要求作答的答案无效 4，考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回，考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8
3、小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1. 直线2360 xy+=在 y 轴上的截距是 A. 2 B. 3 C. 3 D. 2 2. 求点(2,1, 2)A关于 x轴的对称点的坐标为（ ） A. ( 2,1,2) B. ( 2,1, 2) C. (2, 1, 2) D. (2, 1,2) 3. 已知点( 3, 4)P ，Q 是圆22:4O xy+=上动点，则线段PQ长的最小值为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知椭圆方程为：2213xymm+=，则其离心率为
4、（ ） A. 23 B. 63 C. 13 D. 33 5. 莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的类似问题：把 150 个完全相同的面包分给 5 个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使较大的三份面包数之和的14是较小的两份之和，则最大的那份面包数为（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 的. 6. 已知抛物线2:12C yx=的焦点为 F，直线 l经过点 F交抛物线 C 于 A，B两点，交抛物浅 C的准线于点 P，若2PBBF= ，则|BF 为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 已知圆22:25O xy+=，直线:1l ykxk=+ ，
5、直线 l被圆 O截得的弦长最短为（ ） A. 2 22 B. 2 23 C. 8 D. 9 8. 数列 1，6，15，28，45，中的每一项都可用如图所示的六边形表示出米，故称它们为六边形数，那么第 11个六边形数为（ ） A. 153 B. 190 C. 231 D. 276 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分 9. 过点( 2,0)P 的直线 l
6、与直线1:20+=lxy平行，则下列说法正确的是（ ） A. 直线 l的倾斜角为45 B. 直线 l的方程为：20 xy+= C. 直线 l与直线1l间的距离为2 2 D. 过点 P 且与直线 l垂直的直线为：20 xy+= 10. 已知曲线221:1169xyC=与曲线222:1169+=xyCkk，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线1C的焦点到其渐近线的距离是 3 B. 当916k时，两曲线的焦距相等 C. 当9k 时，曲线2C为双曲线 11. 已知数列 na，下列说法正确的是（ ） A. 若数列 na为公比大于 0，且不等于 1 的等比数列，则数列 na为单调数列 B. 若等差数列 n
7、a的前 n 项和为nS，1110,0=aS，则当10n =时，nS最大 C. 若点(),nn a在函数ykxb=+（k，b为常数）的图象上，则数列 na为等差数列 D. 若点(),nn a在函数xyk a=（k，a为常数，0,0ka，且1a ）的图象上，则数列 na为等比数列 12. 如图，边长为 1 的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点 M，N 分别在正方形对角线AC和BF上移动，且(02)CMBNaa=的左、右焦点，点 M是双曲线 E上的任意一点（不是顶点） ，过1F作12FMF角平分线的垂线，垂足为 N，O是坐标原点若12|6=FFON，则双曲线 E的渐近线方程
8、为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知(5,2),( 1, 4) MN两点 （1）求以线段MN为直径的圆 C 的方程； （2）在（1）中，求过 M点的圆 C 的切线方程 18. 已知nS是等差数列 na前 n项和，且49a =，315S = （1）求数列 na的通项公式na； （2）令11nnnbaa+=，求数列 nb的前 n项和nT 19. 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PDDC=，E是PC的中点，过E点作EFPB交PB于
9、点F.求证： 的 （1）/ /PA平面EDB； （2）PB 平面EFD. 20. 已知数列 na满足111,321+=+nnnaaaa （1）证明：数列1na为等差数列，并求数列 na通项公式na； （2）设1( 1)2nnnnba= +，求数列 nb的前 n项和nT 21. 如图 1 是直角梯形,90 ,2,3,22=ABCD ABDCDABADCEED，以BE为折痕将BCE折起，使点 C 到达1C的位置，且平面1BC E与平面ABED垂直，如图 2 （1）求异面直线1BC与AD所成角的余弦值； （2）在棱1DC上是否存在点 P，使平面PEB与平面1C EB的夹角为4？若存在，则求三棱锥1C
10、PBE的体积，若不存在，则说明理由 22. 已知点(1,0)A及圆22:(1)8+=Bxy，点 P是圆 B 上任意一点，线段AP的垂直平分线 l交半径BP于点 T，当点 P在圆上运动时，记点 T的轨迹为曲线 E 的 （1）求曲线 E 的方程； （2）设存在斜率不为零且平行的两条直线1l，2l，它们与曲线 E 分别交于点 C、D、M、N，且四边形CDMN是菱形，求该菱形周长的最大值 2021 学年第一学期天河区期末考试学年第一学期天河区期末考试 高二数学高二数学 （本试卷共（本试卷共 6 页，页，22 小题，满分为小题，满分为 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟 ）分钟 ） 注意事项
11、：注意事项： 1答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡相应答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡相应的位置上的位置上 2选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案：不能答在试卷上用橡皮擦干净后，再选涂其它答案：不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位
12、置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液，不按以上要求作答的答案无效液，不按以上要求作答的答案无效 4，考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回，考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1. 直线2360 xy+=在 y 轴上的截距是 A. 2 B
13、. 3 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 在 y轴上的截距只需令 x=0 求出 y 的值即可得出. 【详解】令 x=0，则 y=-2，即直线在 y周上的截距为-2， 故选 D. 2. 求点(2,1, 2)A关于 x轴的对称点的坐标为（ ） A. ( 2,1,2) B. ( 2,1, 2) C. (2, 1, 2) D. (2, 1,2) 【答案】D 【解析】 【分析】根据点关于坐标轴的对称点特征，直接写出即可. 【详解】A 点关于 x轴对称点，横坐标不变，纵坐标与竖坐标为原坐标的相反数， 故点的坐标为(2, 1,2)， 故选：D 3. 已知点( 3, 4)P ，Q 是圆22:
14、4O xy+=上的动点，则线段PQ长的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的几何性质转化为圆心与点的距离加上半径即可得解. 【详解】圆22:4O xy+=的圆心为(0,0)，半径为2r =， 所以22|( 3)( 4)5OP =+ =， 圆上点Q在线段OP上时，min|523PQ=， 故选：A 4. 已知椭圆方程为：2213xymm+=，则其离心率为（ ） A. 23 B. 63 C. 13 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，确定22,a b，计算离心率即可. 【详解】由2213xymm+=知， 223 ,am
15、 bm=， 2222cabm=， 22223cea=，即63e =， 故选：B 5. 莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的类似问题：把 150 个完全相同的面包分给 5 个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使较大的三份面包数之和的14是较小的两份之和，则最大的那份面包数为（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到递增等差数列 na中，12345150aaaaa+=，()3451214aaaaa+=+，从而化成基本量，进行计算，再计算出5a，得到答案. 【详解】根据题意，设递增等差数列 na，首项为1a，公差d， 则
16、()123453451215014aaaaaaaaaa+=+=+ 所以()111510150394 2adadad+=+=+ 解得11010ad= 所以最大项()5105 11050a =+=. 故选：C 6. 已知抛物线2:12C yx=的焦点为 F，直线 l经过点 F交抛物线 C 于 A，B两点，交抛物浅 C的准线于点 P，若2PBBF= ，则|BF 为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知设( 3,)PPy,(,)BBB xy由2PBBF= 可得，(,),3)2(3,PBBBBxyyxy=+可求得1Bx =,2 3By = ，根据模长公式
17、计算即可得出结果. 【详解】由题意可知(3,0)F，准线方程为3x = ，设( 3,)PPy,(,)BBB xy 2PBBF= 可知， (,),3)2(3,PBBBBxyyxy=+ 2(33)BBxx+=，解得：1Bx =，代入到抛物线方程可得：2 3By = . |= 4 12=4BF+ , 故选:C 7. 已知圆22:25O xy+=，直线:1l ykxk=+ ，直线 l被圆 O截得的弦长最短为（ ） A. 2 22 B. 2 23 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线过定点()1,1，再根据当点()1,1与圆心连线垂直于直线 l时，被圆 O截得的弦长最短求解. 【
18、详解】因为直线方程1ykxk=+ ，即为()11yk x=+， 所以直线过定点()1,1， 因为点()1,1在圆的内部， 当点()1,1与圆心连线垂直于直线 l时，被圆 O截得的弦长最短， 点()1,1与圆心（0，0）的距离为2d =， 此时，最短弦长为2222 23rd=， 故选：B 8. 数列 1，6，15，28，45，中的每一项都可用如图所示的六边形表示出米，故称它们为六边形数，那么第 11个六边形数为（ ） A. 153 B. 190 C. 231 D. 276 【答案】C 【解析】 【分析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形即
19、可求解. 【详解】由题意知，数列 na的各项为 1，6，15，28，45，. 所以111 1a = = ，262 3a =，3153 5a ， 45284 7,455 9aa= ，()21nann=， 所以1111 21231a =. 故选：C 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分 9. 过点( 2,0)P 的直线 l与直线1:20+=lxy平行，则下
20、列说法正确的是（ ） A. 直线 l的倾斜角为45 B. 直线 l方程为：20 xy+= C. 直线 l与直线1l间的距离为2 2 D. 过点 P 且与直线 l垂直的直线为：20 xy+= 【答案】BCD 【解析】 【分析】由直线的斜率可求得倾斜角即可判断选项 A，由直线平行和垂直的斜率关系设出所求方程点P代入求得直线方程即可判断 B、D，由平行直线间的距离公式计算即可判断 C 选项. 【详解】过点( 2,0)P 的直线 l与直线1:20+=lxy平行， 设直线 l方程为1:0lxym+=，( 2,0)P 代入可得200m +=，解得：2m =,所以直线 l的方程为：20 xy+=，B 正确，
21、 直线 l的斜率1k = ，直线 l的倾斜角为135，则 A 错误， l与直线1l的距离为()22222 211d =+，C正确， 过点 P且与直线 l垂直的直线可设为：0 xyn+=，( 2,0)P 代入可得200n +=，解得：2n =,则过点 P且与直线 l垂直的直线为：20 xy+=，D 正确. 故选：BCD. 10. 已知曲线221:1169xyC=与曲线222:1169+=xyCkk，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线1C的焦点到其渐近线的距离是 3 B. 当916k时，两曲线的焦距相等 的 C. 当9k 时，曲线2C为双曲线 【答案】AC 【解析】 【分析】求出曲线1C的焦点坐
22、标和渐近线方程，进而求出距离即可判断 A； 求出两条曲线的焦距即可判断 B； 根据题意求出16,9kk的范围即可判断 C,D. 【详解】对 A，曲线1C的左右焦点为()()125,0 ,5,0FF，渐近线方程是340 xy=，则焦点到渐近线的距离()|35 |35d =，A正确； 对 B，由 A，曲线1C的焦距为 10，若916k，则曲线222:1169xyCkk=是焦点在 x轴上的双曲线，焦距为2 1692 7kk+=，B错误； 对 C，若9k ，即曲线2C为焦点在 x轴上的椭圆，C正确； 对 D，若16k ，则160,90kk=aS，则当10n =时，nS最大 C. 若点(),nn a在函
23、数ykxb=+（k，b 为常数）的图象上，则数列 na为等差数列 D. 若点(),nn a在函数xyk a=（k，a为常数，0,0ka，且1a ）的图象上，则数列 na为等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等比数列 na可知1(1)nnnaaa q+=，分析首项及q可判断 A，根据所给条件可知数列60a =，即可判断 B，根据等差数列的定义式判断 C，由等比数列的定义式判断 D. 【详解】对于 A，1(1)nnnaaa q+=，当首项为负数，1q 时，1nnaa+，数列 na递减，01q数列 na递增，同理可分析首项为正数，1q 时，数列 na递增，01q，所以56SS=最大，故错误
24、； 对于 C，点(),nn a函数ykxb=+上，即naknb=+，所以1nkaak+=， 故数列 na为等差数列，正确； 对于 D，点(),nn a在函数xyk a=，即nnaka=，所以11(0)nnnnakaa aaka+=， 所以数列 na为等比数列，正确. 故选：ACD 12. 如图，边长为 1 的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点 M，N 分别在正方形对角线AC和BF上移动，且(02)CMBNaa=的左、右焦点，点 M是双曲线 E上的任意一点（不 是顶点） ，过1F作12FMF角平分线的垂线，垂足为 N，O是坐标原点若12|6=FFON，则双曲线 E的渐近
25、线方程为_ 【答案】2 2yx= 【解析】 【分析】延长1F N交2MF于点P，利用角平分线结合中位线和双曲线定义求得, a c的关系，然后利用222cba=+，及渐近线方程即可求得结果. 【详解】延长1F N交2MF于点P，MN是12FMF的平分线， 1MPMF=，1NPNF=， 又O是12FF中点，所以2/PFNO，且2222263ccPFON=， 又22212PFMFMPMFMFa=， 223ca =，3 ,ca=，又222cab=， 228,2 2ba ba= 双曲线 E 的渐近线方程为2 2byxxa= = 故答案为：2 2yx= . 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共
26、小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知(5,2),( 1, 4) MN两点 （1）求以线段MN为直径的圆 C 的方程； （2）在（1）中，求过 M点的圆 C 的切线方程 【答案】 （1）()()222118xy+=； （2）70 xy+=. 【解析】 【分析】 （1）求出圆心和半径即可得到答案； （2）根据题意先求出切线的斜率，进而通过点斜式求出切线方程. 【小问 1 详解】 由题意，圆心()2, 1C，半径()()22|2 1143 2rCN=+ +=，则圆 C 的方程为：()()222118xy+=. 【小问 2 详解】
27、 由题意，2 1152CMk+=，则切线斜率为-1，所以切线方程为：()2570yxxy= +=. 18. 已知nS是等差数列 na的前 n 项和，且49a =，315S = （1）求数列 na的通项公式na； （2）令11nnnbaa+=，求数列 nb的前 n项和nT 【答案】 （1）21nan=+ （2）()3 23nnTn=+ 【解析】 【分析】 （1）设等差数列 na的首项1a、公差d，由439,15aS=列出关于首项1a、公差d的方程组，解方程组可得1a与d的值，从而可得数列 na的通项公式； （2）由（1）可知nb()()111123212 2123nnnn=+，利用裂项相消法可求
28、数列 nb的前 n 项和nT. 小问 1 详解】 【 依题意：设等差数列的首项为1a，公差为d，则4131393315aadSad=+=+=解得132ad= 所以数列 na的通项公式为21nan=+ 【小问 2 详解】 由（1）可知11nnnbaa+=()()111123212 2123nnnn=+ 因为123nnTbbbb=+，所以1111111235572123nTnn=+， 所以()1 112 3233 23nnTnn=+. 19. 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PDDC=，E是PC的中点，过E点作EFPB交PB于点F.求证： （1）/ /
29、PA平面EDB； （2）PB 平面EFD. 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，通过/OEPA即可证明； （2）通过PDBC， CDBC可证BC 平面PDC，即得DEBC，进而通过DE 平面PBC得DEPB，结合EFPB即证. 详解】证明： （1）连结AC、BD，交于点O，连结OE， 【 底面ABCD正方形，O是AC中点， 点E是PC的中点，/ /OEPA. OE 平面EDB， PA平面EDB， / /PA平面EDB. （2）PDDC=，点E是PC的中点，DEPC. 底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD， PD
30、BC， CDBC，且 PDDCD=， BC 平面PDC，DEBC， 又PCBCC=，DE 平面PBC， DEPB， EFPB，EFDEE=， PB平面EFD. 【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的证明，属于基础题. 20. 已知数列 na满足111,321+=+nnnaaaa （1）证明：数列1na为等差数列，并求数列 na的通项公式na； （2）设1( 1)2nnnnba= +，求数列 nb的前 n项和nT 【答案】 （1）证明见解析，121nan=+； 是 （2）1122,33823nnnnnTnn+=+ 是偶数， 是奇数. 【解析】 【分析】 （1）由121nnnaaa+=+得1na是公
31、差为 2的等差数列，再由113a =可得答案. （2）( 1) (21)( 2)nnnbn= + ,分n为奇数、偶数，分组求和即可求解. 【小问 1 详解】 由121nnnaaa+=+，得1112nnaa+=+， 故1na是公差为 2的等差数列， 故1112(1)nnaa=+，由113a =， 故121nna=+，于是121nan=+. 【小问 2 详解】 依题意，()( 1)212( 1) (21)( 2)nnnnnbnn= + += + ， 当n为偶数时， 故212 3( 2)5( 2)21 ( 2)nnnTbbbn=+= + + + + 23 357(21)( 2)( 2)( 2)( 2
32、)nn= + + + + 123( 35)( 79)( 2121)( 2)( 2)( 2)( 2)nnn= + + + + + + 12 1 ( 2)22221 ( 2)33nnnn+ =+=+ ， 当 n为奇数时， 1122821 (21)2 333nnnnnnbnnnTT+=+= + += ， 综上，1122,33823nnnnnTnn+=+ 是偶数， 是奇数. 21. 如图 1 是直角梯形,90 ,2,3,22=ABCD ABDCDABADCEED，以BE为折痕将BCE折起，使点 C 到达1C的位置，且平面1BC E与平面ABED垂直，如图 2 （1）求异面直线1BC与AD所成角的余弦值
33、； （2）在棱1DC上是否存在点 P，使平面PEB与平面1C EB的夹角为4？若存在，则求三棱锥1CPBE的体积，若不存在，则说明理由 【答案】 （1）34 （2）存在，靠近点 D的三等分点. 【解析】 【分析】 （1）由题意建立空间直接坐标系，求得1,BC DA 的坐标，由111cos,BCDABC DABCDA= 求解； （2）假设棱1DC上存在点 P，设1DPDC= ，求得点 p坐标，再求得平面 PBE 的一个法向量(), ,nx y z=，由AF 平面1C BE，得到()1, 3,0m= 为平面1C BE的一个法向量，然后由2cos,2m nm nmn= 求解. 【小问 1 详解】 解
34、： 因为/ /,ABCE ABCE=， 所以四边形 ABCE是平行四边形，又AEAB=， 所以四边形 ABCE是菱形，ACEB， 又平面1BC E与平面ABED垂直，又平面1BC E 与平面ABED=EB， 所以AF 平面1C BE， 建立如图所示空间直接坐标系： 则()()()()13 30,0,0 ,3,2,0 ,0,1,0 ,3,0,0 , 322DBEAC， 所以()131, 3 ,3,0,022BCDA= = ， 则111332cos,42 3BCDABC DABCDA= ， 所以异面直线1BC与AD所成角的余弦值是34； 【小问 2 详解】 假设棱1DC上存在点 P，使平面PEB与
35、平面1C EB的夹角为4， 设()133, 3,0,122DPDCk= ，则33, 322P， 又()333, 1,0 ,1,322BEPE= = ， 设平面 PBE 的一个法向量为(), ,nx y z=， 则00BE nPE n= ，即303313022xyxyz+=+=， 则()()3 , 3 , 31n=， 由AF 平面1C BE，则()1, 3,0m= 为平面1C BE的一个法向量， 所以()22233 32cos,22 3933m nm nmnkkk=+ ， 解得13=. 22. 已知点(1,0)A及圆22:(1)8+=Bxy，点 P是圆 B 上任意一点，线段AP的垂直平分线 l交
36、半径BP于点 T，当点 P在圆上运动时，记点 T的轨迹为曲线 E （1）求曲线 E 的方程； （2）设存在斜率不为零且平行的两条直线1l，2l，它们与曲线 E 分别交于点 C、D、M、N，且四边形CDMN是菱形，求该菱形周长的最大值 【答案】 （1）2212xy+= （2）4 3 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a，b即可 （2）设1l的方程为1ykxm=+，1(C x，1)y，2(D x，2)y，设2l的方程为2ykxm=+，3(M x，3)y，4(N x，4)y，分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于 0，以及弦长公式，求得|CD，|MN，运用菱形
37、和椭圆的对称性可得1l，2l关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为 0，可得2213220mk=，设菱形CDMN的周长为l，运用基本不等式，计算可得所求最大值 【小问 1 详解】 点T在线段AP的垂直平分线上， | |ATPT=， 又| | 2 2BPBTTP=+=， | 2 2| 2BTTABA+= 曲线E是以坐标原点为中心，( 1,0)B 和(1,0)A为焦点，长轴长为2 2的椭圆 设曲线E的方程为22221xyab+=，(0)ab 1c =，2a =， 2211b= = 曲线E的方程为2212xy+= 【小问 2 详解】 设1l的方程为1ykxm=+，1(C x，1)y，2(D
38、 x，2)y， 设2l的方程为2ykxm=+，3(M x，3)y，4(N x，4)y， 联立12222ykxmxy=+=可得22211(12)4220kxkm xm+=， 由0可得222211164(12)(22)0k mkm+，化简可得221210km+ ， 1122412kmxxk=+，211222212mx xk+=， 2222221112121222422|1|1()41()41212kmmCDkxxkxxx xkkk=+=+=+ 221222 212112kmkk+=+， 同理可得222222 212|112kmMNkk+=+， 因为四边形CDMN为菱形， 所以| |CDMN=， 所
39、以2212mm=，又因为12mm，所以12mm= ， 所以1l，2l关于原点对称，又椭圆关于原点对称， 所以C，M关于原点对称，D，N也关于原点对称， 所以3131xxyy= = 且4242xxyy= = ， 所以1(2MCx= ，12)y，2(2NDx=，22)y， 因为四边形CDMN为菱形，可得0MC ND= ， 即12120 x xy y+=，即121121()()0 x xkxmkxm+=， 即22121121(1)()0kx xkm xxm+=， 可得222111122224(1)01212mkmkkmmkk+ +=+， 化简可得2213220mk=， 设菱形CDMN的周长为l， 则222221223822148 2 12134|1212kkkkmlCDkk+ =+ 2221(2214)8 324 3312kkk+ +=+， 当且仅当22221 4kk+= +， 即212k =时等号成立，此时211m =，满足， 所以菱形CDMN的周长的最大值为4 3 【点睛】关键点点睛：在处理此类直线与椭圆相交问题中，一般先设出直线方程，联立方程，利用韦达定理得出12xx+，12xx，再具体问题具体分析，一般涉及弦长计算问题，运算比较繁琐，需要较强的运算能力，属于难题。
