1、第1章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.空间向量基本概念空间向量：在空间,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量.长度（模）：空间向量的大小叫作空间向量的长度或模,记为或.零向量：长度为0的向量叫作零向量,记为.单位向量：模为1的向量叫作单位向量.相反向量：与向量长度相等而方向相反的向量,叫作的相反向量,记为.共线向量（平行向量）：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行.相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量.2.空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括加法、减法和数乘,其定义、画法、运算律等均与
2、平面向量相同.3.共线、共面向量基本定理（1）直线的方向向量：在直线上取非零向量,与向量平行的非零向量称为直线的方向向量.（2）共线向量基本定理：对任意两个空间向量（）， 的充要条件是存在实数，使.（3）共面向量：如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合,那么称向量平行于直线.如果直线平行于平面或在平面内,那么称向量平行于平面.平行于同一个平面的向量,叫作共面向量.（4）共面向量基本定理:如果两个向量 ,不共线,那么向量与向量,共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,使.4.空间向量的数量积（1）向量的夹角：已知两个非零向量,在空间任取一点,作,则叫作向量,的夹角,记作.如果,那么向量互
3、相垂直,记作.（2）数量积定义：已知两个非零向量,则叫作的数量积,记作.即 .（3）数量积的性质： .（4）空间向量的数量积满足如下的运算律： (交换律): （分配律). 推论：， .（5）向量的投影向量：向量在向量上的投影向量： 向量在平面内的投影向量与向量的夹角就是向量所在直线与平面所成的角.1.2 空间向量基本定理1.空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任意一个空间向量.存在唯一的有序实数组.使得.2.基底与正交分解(1)基底:如果三个向量不共面,那么我们把叫作空间的一个基底,都叫作基向量. (2)正交分解:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直.且长度都为1.那么这个基底叫
4、作单位正交基底，常用表示.把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫作把空间向量进行正交分解.1.3空间向量及其运算的坐标表示1.空间直角坐标系在空间选定点和一个单位正交基底 .以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:轴.轴、轴,它们都叫作坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系,叫作原点，都叫作坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面.空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系.2.空间向量的坐标在空间直角坐标系中为坐标向量.给定任一向量,存在唯一的有序实数组,使.有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标.记作.也叫点在空间直角坐标系中的坐标.记作.3.空
5、间向量运算的坐标表示设，则：（1），（2），（3）.4.空间向量平行、垂直、模长、夹角的坐标表示（1），（2） ，（3） ，（4） .5.空间两点间的距离公式设，则 .1.4 空间向量的应用1.平面的法向量：直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量.2.空间中直线、平面的平行（1）线线平行:若分别为直线的方向向量,则使得 .（2）线面平行:设直线的方向向量,是平面的法向量,，则 .法2:在平面内取一个非零向量,若存在实数,使得,且，则.法3:在平面内取两个不共线向量,若存在实数，使得,且,则.（3）面面平行:设分别是平面的法向量，则 ，使得.3. 空间中直线、平面的垂直（1）线线垂直:若分别为
6、直线的方向向量,则.（2）线面垂直: 设直线的方向向量, 是平面的法向量,则，使得.法2: 在平面内取两个不共线向量,若.则.（3）面面垂直: 设分别是平面的法向量，则.4.用空间向量研究距离、夹角问题（1）点到直线的距离：已知是直线上任意两点, 是外一点，则点到直线的距离为. (2)求点到平面的距离已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为.（3）直线与直线的夹角若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. (4)直线与平面的夹角设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为.则.（5）平面与平面的夹角平面与平面的夹角：两
7、个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角.若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则. 20第2章 直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率1.倾斜角与斜率：倾斜角：当直线与轴相交时，以轴为基准，轴正向和直线向上的方向之间所成的角叫直线的倾斜角，取值范围为.斜率：直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用来表示.斜率公式：如果直线经过两点,则.直线的方向向量：斜率为的直线的一个方向向量是,若斜率为的直线的一个方向向量的坐标为，则.2.两条直线平行和垂直的判定斜率分别为的两条不重合的直线，有.斜率分别为的两条直线，有.2.2 直线的方程1.直线方程：点斜
8、式：（不能表示斜率不存在的直线）斜截式：（不能表示斜率不存在的直线，是直线与轴的交点纵坐标（即轴上的截距）两点式：截距式：（是直线在轴上的截距，且）一般式：（不同时为0）2.给定直线方程判断直线的位置关系：（一）对于直线有：；和相交；和重合；.（二）对于直线：（1）与直线垂直的一个向量为，平行的一个向量为.（2）对于直线有：；和相交；.2.3直线的交点坐标与距离公式（1）两点间距离公式：已知，则.（2）点到直线距离公式：到直线的距离为：.（3）两平行线间的距离公式：与：间的距离为：.2.4 圆与方程1.圆的方程：标准方程：(其中圆心为，半径为.)一般方程：.().2.5 直线与圆、圆与圆的位置
9、关系1.直线与圆的位置关系:（表示圆心到直线的距离） ; ; . 2.直线和圆相交弦长公式：（表示圆心到直线的距离）3.两圆位置关系：（1）外离：；（2）外切：；（3）相交：；（4）内切：（）；（5）内含：（.第3章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆定义平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆，两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围且且顶点、轴长长轴的长 短轴的长 对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称焦点、焦距关系离心率 焦点三角形面积通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：弦长公式，3.2 双曲线定义平面内与两个定点、的距
10、离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫双曲线，两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围或，或，顶点、轴长实轴的长 虚轴的长对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称焦点、焦距关系离心率渐近线方程焦点到渐近线距离焦点三角形面积通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：3.3 抛物线定义平面内与一定点和一条定直线( 不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点叫抛物线的焦点，直线叫抛物线的准线.图形标准方程顶点离心率对称轴轴轴范围焦点准线方程通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：焦点弦长公式参数的几何意义参数表示焦点到准线的距离，越
11、大，开口越阔第4章 数列4.1 数列的概念1.定义：我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.第一项叫首项，常用表示.2.通项公式：如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那这个式子叫做这个数列的通项公式.3.递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.4.数列的前项和：把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和.记作，即.5.通项与之间的关系：4.2 等差数列1.等差数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这
12、个常数叫做等差数列的公差，通常用表示. 2.等差中项：有三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，此时叫做与的等差中项.可知.3. 等差数列的通项公式：. 引申式：，4.等差数列的前项和公式：5.等差数列常用性质：若，则；下标为等差数列的项，仍组成等差数列；数列（为常数）仍为等差数列；若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、，也成等差数列.单调性：的公差为，则：）为递增数列；）为递减数列；）为常数列；数列为等差数列（p,q是常数）若等差数列的前项和，则、是等差数列.4.3 等比数列1.等比数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.
13、这个常数叫等比数列的公比，常用来表示（）.2.等比中项：若三数成等比数列，那么叫做与的等比中项.此时.3.通项公式：引申式：，.4.等比数列前项和公式：5.等比数列常用性质：若，则；为等比数列，公比为(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；对于正项等比数列，则是公差为的等差数列；若是等比数列，则 是等比数列，公比依次是单调性：为递增数列；为递减数列；为常数列；为摆动数列；既是等差数列又是等比数列的数列是常数列.若等比数列的前项和，则、是等比数列. 第5章 一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义1.导数定义：对于函数，把比值叫做函数从到的平均
14、变化率，如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称瞬时变化率），记作或，即.2. 函数在点处的导数的几何意义：（1）切线：在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线称为曲线在点处的切线.（2）的几何意义：是曲线在处的切线的斜率.3.导函数：当时，是一个唯一确定的数，这样当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数，简称导数.有时记作. 5.2导数的运算1.几种常见函数的导数； ； ； ； ；2.导数的四则运算法则（1）. （2）. 特别地： （3）.4.复合函数求导法则由函数复合
15、而成的的函数的导数和函数的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.5.2导数在研究函数中的应用1.导数与函数的单调性（1）在某个区间上，如果，则函数在区间上为单调递增；在某个区间上，如果，则函数在区间上为单调递减.（2）设函数在某个区间内可导，若为增函数，则（在上的任何子区间内都不恒等于零）；若为减函数，则（在上的任何子区间内都不恒等于零）.2.函数的极值 (1)极值定义：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，,而且在点附近的左侧,右侧，我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，,而且在点附近的左侧,右侧，我们把叫做函
16、数的极大值点，叫做函数的极大值.极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.第6章 计数原理6.1 分类加法与分步乘法计数原理1.分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事情共有种不同的方法.2.分步乘法计数原理：完成一件事有两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，那么完成这件事情共有种不同的方法.6.2 排列与组合1.排列定义：从个不同的元素中任取个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个排列.全排列：把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列
17、.2.排列数：从个不同的元素中任取个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，记作.3.排列数公式：（1）；（2），规定.；4.组合定义：从个不同的元素中取出个元素作为一组，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个组合.5.组合数：从个不同的元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，记作.6.组合数公式：（1）或或；（2），规定；（3）.6.3 二项式定理1.二项式定理（1）二项式定理：.右边的多项式叫做的二项展开式.（2）二项展开式的通项：第项：.（3）二项式系数：2.二项式系数的性质：（1）若令,则有：，若令，则有.奇数项二项式系数的和等
18、于偶数项二项式系数的和.即.（2）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（3）增减性与最大值：当时，二项式系数的值逐渐增大，当时,的值逐渐减小；当为偶数时，中间的一项取得最大值；当为奇数时，中间的两项和相等，且同时取最大值.第7章 随机变量及其分布7.1 条件概率与全概率公式1.条件概率：设,为两个随机事件，且 ，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率.2.乘法公式：对任意两个事件与，若，则.3.全概率公式：设 是一组两两互斥的事件，且，则对任意的事件,有.7.2 离散型随机变量及其分布列1.随机变量：对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应
19、，我们称为随机变量，可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量.随机变量常用大写英文字母表示，例.2.概率分布列：（1）定义：设离散型随机变量可能取的不同值为，我们称取每一个值的概率：，为的概率分布列，简称分布列.常用表格表示：（2）性质： 3.两点分布：若的分布列如表所示01 我们称服从两点分布或分布.7.3 离散型随机变量的数字特征1.离散型随机变量的均值（1）定义：若离散型随机变量的分布列如表所示则称则称为离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.（2）性质：.2.离散型随机变量的方差（1）定义：若离散型随机变量的分布列为则称
20、为离散型随机变量的方差，也记为，并称为随机变量的标准差.记为.它反映了离散型随机变量取值的离散程度.越小，取值越集中; 越大，取值越分散.（2）性质：7.4 二项分布与超几何分布1.二项分布我们只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验，重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为随机变量的具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作.2.超几何分布在含有件次品的件产品中，任取件（不放回）,用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为, 其中,.如果随机变量的分布列具有上式形式,那么称随机变量服从
21、超几何分布.7.5 正态分布1.正态分布定义：若连续性随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为记作它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.当 时，称随机变量服从标准正态分布.2.正态曲线的特点：曲线是单峰的，它关于直线 对称；曲线在处达到峰值；当无限增大时，曲线无限接近轴；当较小时，峰值高，正态曲线瘦高，表示随机变量的分布比较集中；当较大时，峰值低，正态曲线矮胖；表示随机变量的分布比较分散.3.正态分布的期望、方差若，则.4.原则若，由此看到一次试验中，的取值几乎总是落在区间内，在此区间外的概率大约只有0.0027，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原
22、则.第8章 成对数据的统计分析8.1 成对数据的统计相关性1. 相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.2. 相关关系分类：正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，就称这两个变量正相关；负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减小的趋势，就称这两个变量负相关.3. 线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，就称这两个变量线性相关.4. 样本相关系数：（1） （2）样本相关系数的数字特征：当时，称成对样本数据正相关；当时，称成对样本数据负相关；当越接近1时，成对样
23、本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.8.2 一元线性回归模型及其应用1.一元线性回归模型： 称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量，为截距参数，为斜率参数，是与之间的随机误差.2.经验回归方程：(1)相关概念：经验回归直线：经验回归方程也称经验回归函数或经验回归公式，图形称为经验回归直线.最小二乘估计：求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做的最小二乘估计.残差：对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.（2）（3）决定系数： 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；越小，表示残
24、差平方和越大，即模型的拟合效果越差；8.3 列联表与独立性检验1.分类变量：现实生活中，人们经常需要回答一定范围内的两种现象或性质之间是否存在关联性或相互影响的问题，为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量.2.列联表： 合计 合计 3.独立性检验：（1）零假设（原假设）：，即分类变量和独立.（2）独立性检验：临界值：对于小概率值，可以找到相应的正实数，使下面关系成立：，我们称为的临界值.常用小概率值和相应的临界值表： 0.10.050.010.0050.001 2.7063.8416.6357.87910.828基于小概率值的检验规则：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过.当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立.这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验，简称独立性检验.
