1、函数定义域问题知识大盘点一、求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分式中的分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负（3）对数中的真数部分大于0 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx中xk+/2；y=cotx中xk，k ( 6 )中x （7）由实际问题建立的函数，要使实际问题有意义二、定义域的求法1、直接定义域问题例1 求下列函数的定义域： ； ； 解：x-2=0，即x=2时，分式无意义，而时，分式有意义，这个函数的定义域是.3x+20，即x-时，根式无意义，而，即时，根式才有意义，这个函数的定义域是|.当，即且时，根式和分式 同时有意义，这个函数的定义域是|且另解：
2、要使函数有意义，必须： 例2 求下列函数的定义域： 解：要使函数有意义，必须： 即： 函数的定义域为： 要使函数有意义，必须： 定义域为： x|要使函数有意义，必须： 函数的定义域为：要使函数有意义，必须： 定义域为： 要使函数有意义，必须： 即 x 定义域为：2 定义域的逆向问题例3 若函数的定义域是R，求实数a 的取值范围 (定义域的逆向问题)解：定义域是R, 练习： 定义域是一切实数，则m的取值范围； 3 复合函数定义域的求法例4 若函数的定义域为-1，1，求函数的定义域解：要使函数有意义，必须：函数的定义域为：例5 已知f(x)的定义域为1，1，求f(2x1)的定义域分析：法则f要求自
3、变量在1，1内取值，则法则作用在2x1上必也要求2x1在 1，1内取值，即12x11,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x1)中2x1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，12x11,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。（注意：f(x)中的x与f(2x1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）解：f(x)的定义域为1，1，12x11，解之0x1，f(2x1)的定义域为0，1。 例6已知已知f(x)的定义域为1，1，求f(x2)的定义域答案：1 1 11x1 练习：设的定义域是-3，求函数的定义域解：要使函数有意义，必须： 得： 0 函数的定域义为： 例7 已知f(
4、2x1)的定义域为0，1，求f(x)的定义域因为2x1是R上的单调递增函数，因此由2x1， x0,1求得的值域1，1是f(x)的定义域 练习： 1、求下列函数的定义域： 2、设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ _；函数的定义域为_； 3、若函数的定义域为，则函数的定义域是 ；函数的定义域为 。4、 知函数的定义域为，且函数的定义域存在，求实数的取值范围。5、 已知f(3x1)的定义域为1，2），求f(2x+1)的定义域 6 、已知f(x2)的定义域为1，1，求f(x)的定义域 7、 若的定义域是，则函数的定义域是 （ ）8、若函数= 的定义域为,则实数的取值范围是（ ）A、(,+) B、
5、(0, C、(,+) D、0, 9、若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）(A) (B) (C) (D) 10、函数的定义域是（ ）A、 B、 C、 D、练习题答案：1、（1） （2） （3）2、； 3、 4、5、 6、0,1 7、C 8、D 9、 B 10、B 三、都是“定义域”惹的祸函数三要素中，定义域是十分重要的，研究函数的性质时应首先考虑其定义域在求解函数有关问题时，若忽视定义域，便会直接导致错解下面我们举例分析错从何起一、求函数解析式时例1已知，求函数的解析式 .错解：令，则，剖析：因为隐含着定义域是，所以由得，的定义域为，即函数的解析式应为（）这样才能保证转化的等价性.正解：由
6、，令得，代入原解析式得（），即（）二、求函数最值（或值域）时例2若求的最大值错解：由已知有 ，代入得，当时，的最大值为剖析：上述错解忽视了二次函数的定义域必须是整个实数的集合，同时也未挖掘出约束条件中的限制条件正解：由得，因函数图象的对称轴为，当是函数是增函数，故当当时，的最大值为例3已知函数，则函数的最大值为（ ）A33 B22 C13 D6错解：=在上是增函数，故函数在时取得最大值为33正解：由已知所求函数的定义域是得，=在是增函数，故函数在时取得最大值为13例4已知，求的最大值和最小值错解：由得 ，剖析：中，则中，即，本题的定义域应为正解：（前面同上），由得，例5求函数的值域错解：令，则
7、，故所求函数的值域是 剖析：经换元后，应有，而函数在上是增函数，随着增大而无穷增大所以当时，故所求函数的值域是三、求反函数时例6求函数 的反函数错解：函数的值域为, 又，即 ，所求的反函数为剖析：上述解法中忽视了原函数的定义域 ，没有对x进行合理取舍,从而得出了一个非函数表达式正解：由的值域为, 因，又，所求的反函数为四、求函数单调区间时 例7求函数的单调递增区间.错解：令，则，它是增函数. 在上为增函数，由复合函数的单调性可知，函数在上为增函数，即原函数的单调增区间是.剖析：判断函数的单调性，必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子区间正解：由，得的定义域为.在上为增函数，由可复合函数的单调性可确定函数的单调增区间是.例8求的单调区间错解：令，时，为减函数，时，为增函数，又为减函数，故以复合函数单调性知原函数增区间为，减区间为剖析：在定义域内取，值不存在，显然上面所求不对，根本原因正是疏忽了定义域，单调区间必须在函数定义域内由，得或，故增区间为，减区间为例9指出函数的单调增区间错解：，当时，或，函数的单调增区间为剖析：此题错在没有考虑函数的定义域，故本题的答案为五、判断函数的奇偶性时例10判断的奇偶性错解：， 为偶函数剖析：事实上奇偶函数定义中隐含着一个重要条件，即首先定义域必须是关于原点的对称区间而此函数的定义域为，不满足上述条件，即应为非奇非偶函数
