1、第十一章 计数原理11.1 排列、组合,高考数学,考点排列、组合1.分类计数原理、分步计数原理(1)完成一件事有n类办法,各类办法相互独立,每类办法中又有多种不同的方法,则完成这件事的不同方法数是各类不同方法种数的和,这就是分类计数原理.(2)完成一件事,需要分成n个步骤,每一步的完成有多种不同的方法,则完成这件事的不同方法种数是各步骤的不同方法数的乘积,这就是分步计数原理.2.分类计数原理与分步计数原理都涉及完成一件事的不同方法的种数.它们的区别在于:分类计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中任一种方法都可以完成这件事;分步计数原理与分步有关,各个步骤相,知识清单,互依存,只有各个步骤
2、都完成了,这件事才算完成了.3.排列(1)定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用?表示.(3)排列数公式:?=n(n-1)(n-m+1).(4)全排列:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个全排列,?=n(n-1)(n-2)321=n!.于是排列数公式写成阶乘形式为?=?.规定0!=1.,4.组合(1)定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个
3、组合.(2)组合数定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用?表示.(3)计算公式:?=?=?=?.由于0!=1,所以?=1.5.组合数的性质(1)?=?;(2)?=?+?.,个基本原理的应用的解题策略 如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事,则选用分类加法计数原理,即类与类之间是相互独立的,即“分类完成”.如果只有各个步骤都做完,这件事才能完成,则选用分步乘法计数原理,即步与步之间是相互依存的、连续的,即“分步完成”.无论分类加法计数原理,还是分步乘法计数原理,都要选择合理的分类、分步标准,确保不重不漏.例1用三种不同
4、的颜色,将如图所示的四个区域涂色,每种颜色至少用1次,则相邻的区域不涂同一种颜色的概率为(用数字作答).,方法技巧,解析依题意知有两个区域涂同一种颜色,另两个区域涂另两种颜色.当涂同一种颜色的两个区域相邻时,有3?=18种涂法;当涂同一种颜色的两个区域不相邻时,有?3?=18种涂法. 故相邻的区域不涂同一种颜色的概率为?.,答案,排列、组合及其应用的解题策略求解排列、组合问题的思路:“排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;分类相加,分步相乘”.1.简单问题直接法:把符合条件的排列数或组合数直接列式计算.2.相邻问题捆绑法:在特定条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整个问题排好之后再考
5、虑它们“内部”的排列.它主要用于解决相邻和不相邻问题.3.相间问题插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空中,它与捆绑法有同等作用.4.多元问题分类法:将符合条件的排列分为几类(每一类的排列数较易求出),然后根据分类加法计数原理求出排列总数.,5.至少至多间接法:“至少”“至多”的排列、组合问题需分类讨论且一般分类的情况较多,所以通常用间接法,即排除法.它适用于反面明确且易于计算的问题.6.均分问题作商法:平均分组问题,若将m个元素平均分成n组,则分法总数为?.例24名男生和5名女生站成一排.(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种?(2)甲、乙两人必须站在两端的站法
6、有多少种?(3)男、女分别排在一起的站法有多少种?(4)男、女相间的站法有多少种?(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种?,解题导引(1)特殊元素优先法或考虑位置或排除法?结果(2)特殊元素优先法?结果(3)捆绑法?结果(4)插空法?结果(5)方程思想?结果,解析(1)解法一(特殊优先):先排甲有6种,再排其余的人有?种,共有站法6?=241 920(种).解法二(考虑位置):先排中间和两端的位置有?种,再排其余位置有?种,共有站法?=241 920(种).解法三(排除法):?-3?=241 920(种).(2)(特殊优先)先排甲、乙有?种,再排其余的人有?种,共有?=10 080
7、(种).(3)(捆绑法)男、女分别捆绑成两组有?种排法,男、女在本组内分别各有?及?种排法,故不同的站法数为?=5 760(种).(4)(插空法)先排4名男生有?种方法,再将5名女生插空,有?种方法,所以共有?=2 880种站法.,(5)(方程思想)设甲、乙、丙三人顺序一定的站法有x种,则x?=?,x=?=60 480(种).,评析在解决排列、组合综合性问题时,必须深刻理解排列与组合的概念,能够熟练确定一个问题是排列问题还是组合问题,牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质.容易产生的错误是重复和遗漏计数.,例3(2017浙江吴越联盟测试,13)2 016是这样一个四位数,其各个数位上的数字之和
8、为9,则各个数位上的数字不同且其和为9的四位数共有个.,解题导引对各数位上的数字是否含0进行讨论把四个不同数字之和为9的组合列出来用排列和分步计数原理得结论,解析对构成满足条件的四位数各数位上的数字是否含0进行分类讨论.若不含0,则有1+2+3+4=109,不成立;若含0,则9可以改写为9=0+1+2+6=0+1+3+5=0+2+3+4,此时满足条件的四位数共有33?=54个.,答案54,评析本题考查分步计数原理,多元问题分类法,考查推理运算能力和分类讨论思想.,例4(2017浙江金华十校联考(4月卷),7)将5名同学分到甲、乙、丙3个小组,若甲组至少两人,乙、丙组每组至少一人,则不同的分配方
9、案的种数为?() A.50B.80 C.120 D.140,B,解题导引对“至少”问题进行分类讨论用分步计数原理计算每种情况的分配方案用分类计数原理得结论,解析分两种情况讨论,若甲组2人,则有?种方法,此时将剩余的3人分给乙、丙两组,有?种方法,共有?种方法;若甲组3人,则有?种方法,此时将剩余的2人分给乙、丙两组,有?种方法,共有?种方法.因此不同的分配方案的种数为?+?=80,故选B.,例5(2017浙江镇海中学模拟卷(五),7)4本不同的书全部分给甲、乙两人,每人至少一本,则不同的分法有?()A.10种 B.14种C.16种D.20种,解题导引先把4本书分成两组用排列和分步计数原理得结论,B,解析首先将4本书分成两组,共有?+?=7种分法;再将书分给甲、乙两人,共有?=2种分法.由乘法原理知,共有14种不同的分法,故选B.,评析本题考查排列、组合及其应用,平均分组问题,分步计数原理,考查运算求解能力和逻辑思维能力.,
