1、第2课时定点、定值、探索性问题,9.9圆锥曲线的综合问题,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,题型分类深度剖析,解答,题型一定点问题,师生共研,(1)求C的方程；,解由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点.,所以点P2在椭圆C上.,(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.,证明,得(4k21)x28kmx4m240.由题设可知16(4k2m21)0.,证明设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，,从而可设l：ykxm(m1).,由题设知k1k21，
2、故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,当且仅当m1时，0，,所以l过定点(2，1).,圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.,解答,解设椭圆的焦距为2c，由题意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，a23.,几何画板展示,(2)若123，试证明：直线l过定点并求此定点.,证明,几何画板展示,证明由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N
3、(x2，y2)，设l方程为xt(ym)，,123，y1y2m(y1y2)0， ,代入得t2m232m2t20，(mt)21，由题意mt0， ,(1)求椭圆C的方程；,解答,题型二定值问题,师生共研,又a2b2c2，所以a28，b22，,(2)若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.,解答,解方法一因为PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线x2对称.设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为k.所以直线PA的方程为y1k(x2)，直线AQ的方程为y1k(x2).设点P(xP，yP)，
4、Q(xQ，yQ)，,得(14k2)x2(16k28k)x16k216k40.,因为点A(2,1)在椭圆C上，所以x2是方程的一个根，,方法二设直线PQ的方程为ykxb，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1kx1b，y2kx2b，,因为PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线x2对称，,化简得x1y2x2y1(x1x2)2(y1y2)40.把y1kx1b，y2kx2b代入上式，化简得2kx1x2(b12k)(x1x2)4b40.,得(4k21)x28kbx4b280，,若b12k，可得方程的一个根为2，不符合题意.,整理得(2k1)(b2k1)0，,圆锥曲线中的定值
5、问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.,(1)求动点Q的轨迹C的方程；,解答,几何画板展示,解依题意知，点R是线段FP的中点，且RQFP，RQ是线段FP的垂直平分线.点Q在线段FP的垂直平分线上，|PQ|QF|，又|PQ|是点Q到直线l的距离，故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y22x(x0).,(2)设圆
6、M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由.,解答,几何画板展示,解弦长|TS|为定值.理由如下：,取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d|x0|x0，,(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；,解答,题型三探索性问题,师生共研,(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由.,解答,解存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a
7、.,当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点p(0，a)符合题意.,解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.,(1)求椭圆E的方程；,解答,解答,解当直线l与x轴垂直时不满足条件.故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为yk(x2)1，代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16
8、k216k80，,即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，,设而不求，整体代换,思想方法,(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；,思想方法指导,思想方法指导 对题目涉及的变量巧妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值.,规范解答,几何画板展示,规
9、范解答,(2)设P(x0，y0)(y00)，,所以直线PF1，PF2的方程分别为,PF1,PF2,(3)设P(x0，y0)(y00)，则直线l的方程为yy0k(xx0).,课时作业,基础保分练,1,2,3,4,5,6,解答,1.(2018届广西柳州摸底)已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为5.(1)求该抛物线C的方程；,解由题意设抛物线方程为y22px(p0)，,P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离，,抛物线C的方程为y24x.,1,2,3,4,5,6,解答,(2)已知抛物线上一点M(t,4)，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MDME，
10、判断直线DE是否过定点？并说明理由.,1,2,3,4,5,6,解由(1)可得点M(4,4)，可得直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为xmyt，,则16m216t0.(*)设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1y24m，y1y24t.,1,2,3,4,5,6,x1x24(x1x2)16y1y24(y1y2)16,t216m212t3216m0，即t212t3216m216m，得(t6)24(2m1)2，t62(2m1)，即t4m8或t4m4，代入(*)式检验知t4m8满足0，直线DE的方程为xmy4m8m(y4)8.直线过定点(8，4).,1,2,3,4,5,6,解答,(1)求椭圆C的
11、方程；,1,2,3,4,5,6,证明,(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|BM|为定值.,1,2,3,4,5,6,几何画板展示,证明由(1)知，A(2,0)，B(0,1).,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,当x00时，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|BM|4.故|AN|BM|为定值.,解答,(1)求a，b的值；,1,2,3,4,5,6,解在C1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点.设C1的半焦距为c，,a2，b1.,1,2,3,4,5,6,解答,(2)过点B的直线l与
12、C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.,1,2,3,4,5,6,解存在.,易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)，代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)设点P的坐标为(xP，yP)，直线l过点B，x1是方程(*)的一个根.,1,2,3,4,5,6,得点Q的坐标为(k1，k22k).,以PQ为直径的圆恰好过点A，,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,故直线l的方程为8x3y80.,解答,(1)若F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“
13、果圆”的方程；,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,解答,1,2,3,4,5,6,解答,(3)一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦.是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点M的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由.,1,2,3,4,5,6,记平行弦的斜率为k，当k0时，,1,2,3,4,5,6,a2b2c22b24b2，a2b，,综上所述，当k0时，“果圆”平行弦的中点M的轨迹总是落在某个椭圆上.,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,当k0时，可类似讨论得到平行弦的中点的轨迹不在某一椭圆上.,解答,(1)
14、求椭圆C的方程；,技能提升练,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,证明,(2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值.,1,2,3,4,5,6,证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB的斜率不存在时，由椭圆的对称性，可知x1x2，y1y2.因为以AB为直径的圆经过坐标原点，,1,2,3,4,5,6,当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，,消去y，得(14k2)x28kmx4m240，,1,2,3,4,5,6,因为以AB为直径的圆过坐标原点O，所以OAOB.,所以(1k2)x1x2km(x1x2)m20.,整理得5m24(k21)，,1,2,3,4,5,6,解答,拓展冲刺练,(1)求椭圆E的方程；,1,2,3,4,5,6,解由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)，,1,2,3,4,5,6,解答,1,2,3,4,5,6,解当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，,其判别式(4k)28(2k21)0，,1,2,3,4,5,6,x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)1,1,2,3,4,5,6,当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，,本课结束,
