1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第五节 椭圆 课时作业 A 组 基础对点练 1已知椭圆 x225y2m2 1(m0)的左焦点为 F1( 4,0)，则 m ( ) A 2 B 3 C 4 D 9 解析：由 4 25 m2(m0)?m 3，故选 B. 答案： B 2方程 kx2 4y2 4k 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 ( ) A k4 B k 4 C kb0)，由已知可得抛物线的焦点为 (1,0)，所以 c 1，又离心率 e ca 12，解得 a 2， b2 a2 c2 3，所以椭圆方程为 x24y231，故选 A. 答案： A 4椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)
2、的左、右顶点分别为 A， B，左、右焦点分别为 F1， F2，若 |AF1|，|F1F2|， |F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率 为 ( ) A.12 B 55 C.14 D 5 2 解析：由题意可得 2|F1F2| |AF1| |F1B|，即 4c a c a c 2a，故 e ca 12. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： A 5已知 F1， F2 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且 F1PF2 4 ，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为 ( ) A.12 B 22 C 1 D 2 解析：如图，假设 F1， F2 分别是椭圆和双曲线的左、右焦点， P 是第一
3、象限的点，设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的实半轴长为 a2，则根据椭圆及双曲线的定义得 |PF1| |PF2| 2a1， |PF1| |PF2|2a2， |PF1| a1 a2， |PF2| a1 a2.设 |F1F2| 2c，又 F1PF2 4 ，则在 PF1F2中，由余弦定理得， 4c2 (a1 a2)2 (a1 a2)2 2(a1 a2)(a1 a2)cos 4 ，化简得， (2 2)a21 (2 2)a22 4c2，设椭圆的离心率为 e1，双曲线的离心率为 e2， 2 2e212 2e22 4，又2 2e21 2 2e22 2 2 2e21 2 2e22 2 2e1 e2， 2 2e
4、1 e24 ，即 e1 e2 22 ，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为 22 .故选 B. 答案： B 6若 x2 ky2 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 _ 解析：将椭圆的方程化为标准形式得 y22k x22 1，因为 x2 ky2 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，所以 2k2，解得 0b0)的离心率等于13，其焦点分 别为 A， B.C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在 ABC 中， sin A sin Bsin C 的值等于 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：在 ABC 中，由正弦定理得 sin A sin Bsin C |CB| |CA|AB
5、| ，因为点 C 在椭圆上，所以由椭圆定义知 |CA| |CB| 2a，而 |AB| 2c，所以 sin A sin Bsin C 2a2c 1e 3. 答案： 3 9已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左，右焦点分别为 F1( c,0)， F2(c,0)，过 F2作垂直于x 轴的直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点，满足 |AF2| 36 c. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)M， N 是椭圆 C 短轴的两个端点，设点 P 是椭圆 C 上一点 (异于椭圆 C 的顶点 )，直线 MP，NP 分别和 x 轴相交于 R， Q 两点， O 为坐标原点若 |OR | OQ | 4，
6、求椭圆 C 的方程 解析： (1) 点 A 的横坐标为 c， 代入椭圆，得 c2a2y2b2 1. 解得 |y| b2a |AF2|，即b2a36 c， a2 c2 36 ac. e2 36 e 1 0，解得 e 32 . (2)设 M(0， b)， N(0， b)， P(x0， y0)， 则直线 MP 的方程为 y y0 bx0x b. 令 y 0，得点 R 的横坐 标为 bx0b y0. 直线 NP 的方程为 y y0 bx0x b. 令 y 0，得点 Q 的横坐标为 bx0b y0. |OR | OQ | ? ?b2x20b2 y20 ?a2b2 a2y20b2 y20 a2 4， c2
7、 3， b2 1， 椭圆 C 的方程为 x24 y2 1. 10 (2018 沈阳模拟 )椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)，其中 e12，焦距为 2，过点 M(4,0)的直线 l 与椭圆 C 交于点 A， B，点 B 在 A， M 之间又线段 AB 的中点的横坐标为 47，且 AM MB . =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求椭圆 C 的标准方 程 (2)求实数 的值 解析： (1)由条件可知， c 1， a 2，故 b2 a2 c2 3，椭圆的标准方程为 x24y23 1. (2)由题意可知 A， B， M 三点共线， 设点 A(x1， y1)，点 B(x2， y2) 若直
8、线 AB x 轴，则 x1 x2 4，不合题意 则 AB 所在直线 l 的斜率存在，设为 k， 则直线 l 的方程为 y k(x 4) 由? y k x ，x24y23 1，消去 y 得 (3 4k2)x2 32k2x 64k2 12 0. 由 的判别式 322k4 4(4k2 3)(64 k2 12) 144(1 4k2)0， 解得 k26 a2，6 a21，解得 3b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，且 |F1F2| 2c，若椭圆上存在点M 使得 sin MF1F2a sin MF2F1c ，则该椭圆离心率的取值范围为 ( ) A (0， 2 1) B ( 22 ， 1) C (0，
9、22 ) D ( 2 1,1) 解析：在 MF1F2中， |MF2|sin MF1F2 |MF1|sin MF2F1， 而 sin MF1F2a sin MF2F1c ， |MF2|MF1| sin MF1F2sin MF2F1 ac. 又 M 是椭圆 x2a2y2b2 1 上一点， F1， F2是该椭圆的焦点， |MF1| |MF2| 2a. 由 得， |MF1| 2aca c， |MF2| 2a2a c. 显然， |MF2|MF1|， a c0， e2 2e 10， 解得 e 2 1， 又 eb0)的离心率 e32 ， a b 3. (1)求椭圆 C 的方程 (2)如图， A， B， D
10、是椭圆 C 的顶点， P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点，直线 DP 交 x 轴于点 N，直线 AD 交 BP 于点 M，设 BP 的斜率为 k， MN 的斜率为 m.证明： 2m k 为定值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析： (1)因为 e 32 ca， 所以 a 23c， b 13c.代入 a b 3 得， c 3， a 2， b 1. 故椭圆 C 的方程为 x24 y2 1. (2)证明：因为 B(2,0)， P 不为椭圆顶点，则直线 BP 的方程为 y k(x 2)? ?k0 ， k 12 ， 把 代入 x24 y2 1， 解得 P? ?8k2 24k2 1，4k4k2 1 . 直线 AD 的方程为 y 12x 1. 与 联立解得 M? ?4k 22k 1， 4k2k 1 . 由 D(0,1)， P? ?8k2 24k2 1，4k4k2 1 ， N(x,0)三点共线知 4k4k2 1 18k2 24k2 1 0 0 1x 0， 得 N? ?4k 22k 1， 0 . 所以 MN 的斜率为 m4k2k 1 04k 22k 14k 22k 1 4k kk 2 k 2 2k 14 ， 则 2m k 2k 12 k 12(定值 )
