1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 考点规范练 47 抛物线 基础巩固 1.(2017广西桂林一模 )若抛物线 y2=2px(p0)上的点 A(x0,)到其焦点的距离是点 A到 y轴距离的 3倍 ,则 p等于 ( ) A. B.1 C. D.2 2.抛物线 y=-4x2上的一点 M到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 ( ) A.- B.- C. D. 3.(2017河北张家口 4月模拟 )已知抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,过点 F的直线与抛物线交于 A,B两点 ,若 |AB|=6,则线段 AB的中点 M的横坐标为 ( ) A.2 B.4 C.5 D.6 4.(2017山西运城模拟 )
2、已知抛物线 x2=ay与直线 y=2x-2相交于 M,N两点 ,若 MN 中点的横坐标为 3,则此抛物线方程为 ( ) A.x2=y B.x2=6y C.x2=-3y D.x2=3y 5.已知椭圆 E的中心在坐标原点 ,离心率为 ,E的右焦点与抛物线 C:y2=8x的焦点重合 ,A,B是 C的准线与 E的两个交点 ,则 |AB|=( ) A.3 B.6 C.9 D.12 6.已知抛物线 y2=2px(p0)上一点 M(1,m)(m0)到其焦点的距离为 5,双曲线 -y2=1的左顶点为 A,若双曲线 的一条渐近线与直线 AM平行 ,则实数 a=( ) A. B. C. D. 7.若抛物线 y2=
3、4x上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M到 y轴的距离是 . 8.已知抛物线 y2=4x,过焦点 F 的直线与抛物线交于 A,B两点 ,过 A,B分别作 y轴的垂线 ,垂足分别为 C,D,则 |AC|+|BD|的最小值为 . 9.已知过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 ,斜率为 2的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)上任意一点 ,M是线段 PF上的点 ,且|PM|=2|MF|,则直线 OM的斜率的最大值为 ( ) A. B. C. D.1 13.(2017安徽合肥一模 )已知双曲线 -x2=1的两条渐近线分别与抛物线 y2=2px(p0)的准线交于 A,B两点
4、,O为坐标原点 ,若 OAB 的面积为 1,则 p的值为 ( ) A.1 B. C.2 D.4 14.已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,直线 y=4与 y轴的交点为 P,与 C的交点为 Q,且|QF|=|PQ|. (1)求 C的方程 ; (2)过 F的直线 l与 C相交于 A,B两点 ,若 AB的垂直平分线 l与 C相交于 M,N两点 ,且 A,M,B,N四点在同一圆上 ,求 l的方程 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 高考预测 15.已知抛物线 x2=2py(p0)的顶点到焦点的距离为 1,过点 P(0,p)作直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点 ,其中
5、 x1x2. (1)若直线 AB的斜率为 ,过 A,B两点的圆 C与抛物线在点 A处有共同的切线 ,求圆 C的方程 ; (2)若 = ,是否存在异于点 P的点 Q,使得对任 意 ,都有 (- )?若存在 ,求出点 Q的坐标 ;若不存在 ,说明理由 . 答案： 1.D 解析 :由题意知 ,3x0=x0+, x0=, =2. p0, p=2,故选 D. 2.B 解析 :抛物线方程可化为 x2=-,其准线方程为 y=. 设 M(x0,y0),则由抛物线的定义 , 可知 -y0=1,y0=-. 3.A 解析 : 抛物线 y2=4x, p=2. 设 A,B两点的横坐标分别为 x1,x2,利用抛物线的定义
6、 ,AB中点的横坐标为 x0=(x1+x2)=(|AB|-p)=2,故选 A. 4.D 解析 :设点 M(x1,y1),N(x2,y2). 由消去 y,得 x2-2ax+2a=0, 所以 =3,即 a=3, 因此所求的抛物线方程是 x2=3y. 5.B 解析 : 抛物线 y2=8x 的焦点坐标为 (2,0), E的右焦点的坐标为 (2,0). 设椭圆 E的方程为 =1(ab0), c=2. , a=4. b2=a2-c2=12,于是椭圆方程为 =1. 抛物线的准线方程为 x=-2,将其代入椭圆方程可得 A(-2,3),B(-2,-3), |AB|=6. 6.A 解析 :因为抛物线的准线为 x=
7、-,所以 1+=5,解得 p=8,所以 m=4.又双曲线的左顶点坐 标为 (-,0),所以 ,解得 a=,故选 A. 7.9 解析 :设点 M坐标为 (xM,yM).抛物线 y2=4x的准线为 x=-1,由抛物线的定义知 xM+1=10,即 xM=9. =【 ;精品教育资源文库 】 = 8.2 解析 :由题意知 F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即 |AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值 .依抛物线定义知当 |AB|为通径 ,即 |AB|=2p=4时 ,为最小值 ,所以 |AC|+|BD|的最小值为 2. 9.解 :(1)由题意得直线 A
8、B的方程为 y=2,与 y2=2px联立 ,消去 y有 4x2-5px+p2=0,所以 x1+x2=. 由抛物线定义得 |AB|=x1+x2+p=+p=9,所以 p=4,从而该抛物线的方程为 y2=8x. (2)由 (1)得 4x2-5px+p2=0,即 x2-5x+4=0,则 x1=1,x2=4,于是 y1=-2,y2=4, 从而 A(1,-2),B(4,4). 设 C(x3,y3), 则 =(x3,y3)=(1,-2)+ (4,4) =(4+ 1,4 -2). 又 =8x3,所以 2(2 -1)2=8(4+ 1), 整理得 (2 -1)2=4+ 1,解得 = 0或 = 2. 10.解 :(
9、1)设 P(x,y)是曲线 C上任意一点 , 则点 P(x,y)满足 -x=1(x0),化简得 y2=4x(x0). (2)设过点 M(m,0)(m0)的直线 l与曲线 C的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2). 设 l的方程为 x=ty+m. 由得 y2-4ty-4m=0,= 16(t2+m)0, 于是 因为 =(x1-1,y1),=(x2-1,y2), 所以 =(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1. 又 0),F, 则 . , kOM=, 当且仅当 t=时等号成立 . (kOM)max=,故选 C. 13.B 解析 :双曲线 -x2=1的两条渐近
10、线方程是 y= 2x. 又抛物线 y2=2px(p0)的准线方程是 x=-, 故 A,B两点的纵坐标是 y=p. AOB 的面积为 1, 2p=1. p0, p=. 14.解 :(1)设 Q(x0,4),代入 y2=2px得 x0=. 所以 |PQ|=,|QF|=+x0=. 由题设得 , 解得 p=-2(舍去 )或 p=2. 所以 C的方程为 y2=4x. (2)依题意知 l与坐标轴不垂直 ,故可设 l的方程为 x=my+1(m0) . 代入 y2=4x得 y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4. 故 AB的中点为 D(2m2+1,
11、2m), |AB|=|y1-y2|=4(m2+1). 又 l的斜率为 -m, 所以 l的方程为 x=-y+2m2+3. 将上式代入 y2=4x,并整理得 y2+y-4(2m2+3)=0. 设 M(x3,y3),N(x4,y4), 则 y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3). 故 MN的中点为 E, |MN|=|y3-y4|=. 由于 MN 垂直平分 AB,故 A,M,B,N四点在同一圆上等价于 |AE|=|BE|=|MN|, 从而 |AB|2+|DE|2=|MN|2, 即 4(m2+1)2+ =, 化简得 m2-1=0,解得 m=1或 m=-1. 所求直线 l的方程为 x-y-1=0或
12、x+y-1=0. 15.解 :(1)由已知得 p=2,直线和 y轴交于点 (0,2), 则直线 AB的方程为 y-2=x,即 x-2y+4=0. 由得 A,B的坐标分别为 (4,4),(-2,1). =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 x2=4y,可得 y=x2,故 y=x, 故抛物线在点 A处切线的斜率为 2. 设圆 C的方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2, 则 解得 a=-1,b=,r2=, 故圆的方程为 (x+1)2+, 即为 x2+y2+2x-13x+12=0. (2)依题意可设直线 AB 的方程为 y=kx+2,代入抛物线方程 x2=4y得 x2-4kx-8=0,故 x1x2=-8. 由已 知 = 得 -x1=x 2. 若 k=0,这时 = 1,要使 (- ),点 Q必在 y轴上 . 设点 Q的坐标是 (0,m), 从而 =(0,2-m), - =(x1,y1-m)- (x2,y2-m) =(x1- x2,y1-m- (y2-m), 故 (- )=(2-m)y1- y2-m(1- )=0, 即 y1- y2-m(1- )=0, 即 -m=0, 即 (x1+x2)(x1x2-4m)=0,将 代入得 m=-2. 所以存在点 Q(0,-2)使得 (- ).
