1、适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题函数与基本初等函数（四）教学目的教学内容第七节 函数的图像（一）高考目标考纲解读1在实际情境中，会根据不同的需要选择图像法、列表示、解析法表示函数2会运用函数图像理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题3会用数形结合的思想与转化与化归的思想解决数学问题考向预测1函数图像是研究函数性质、方程、不等式的重要武器，是数形结合的基础和依据2考查热点：(1)知式选图或知图定式；(2)利用图像研究函数的单调性、最值、零点；(3)利用图像研究方程、不等式问题（二）课前自主预习2利用基本函数图像的变换作图平移变换：函数y
2、f(xa)(a0)的图像可以由yf(x)的图像向左(a0)或向右(a0)或向下(b0，且A1)的图像可由yf(x)的图像上各点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A0，且1)的图像可由yf(x)的图像上各点的横坐标缩短(1)或伸长(01)与幂函数yxn(n0)在区间(0，)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于yax的增长速度 yxn的增长速度，因而总存在一个x0，当xx0时有 .(2)对数函数ylogax(a1)与幂函数yxn(n0)对数函数ylogax(a1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于yxn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使xx0时有 .由(
3、1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，)上，总会存在一个x0，使xx0时有 .（三）基础自测1函数yx|x|的图像大致是 ()答案A2(2010山东文)函数y的图像大致是() 答案A解析本题考查了函数图像的性质，考查了学生的识图能力，以及对函数知识的把握程度和数形结合的思维能力，令2xx2，y2x与yx2，由图看有3个交点，B、C排除，又x2时22(2)20，故选A.3(2011成都一诊)函数ylog2的图像()A关于原点对称 B关于直线yx对称C关于y轴对称 D关于直线yx对称答案A 解析令f(x)log2，则f(x)f(x)
4、log2log2log210.故f(x)为奇函数，其图像关于原点对称4为了得到函数ylg的图像，只需要把函数ylgx的图像上所有的点()A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度答案C 解析ylglg(x3)1.则ylgx向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度即得ylg的图像. 5为了得到函数y3x的图像，可以把函数yx的图像向_平移_个单位长度答案右1 解析y3xx1，因此只需将yx的图像向右平移1个单位即可得到y3x的图像6(2011东北育才学
5、校一模)函数f(x)|4xx2|a恰有三个零点，则a_.答案4解析y1|4xx2|，y2a，则函数图像恰有三个不同的交点如图所示，当a4时满足条件7若1x3，a为何值时x25x3a0有两解、一解、无解？解析原方程化为：ax25x3，作出函数yx25x3(1x3)的图像如图，显然该图像与直线ya的交点的横坐标是方程的解，由图可知：当 3a时，原方程有两解；当1或a1时，原方程无解（四）典型例题1.命题方向：作函数图像例1作出下列函数的图像(1)y； (2)y；(3)y|log2(x1)|; (4)y2|x1|.解析(1)首先化简解析式，y利用二次函数的图像作出其图像，如下图(1)(2)因y1，先
6、作出y的图像，将其图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即得y的图像，如图(2)(3)先作出ylog2x的图像，再将其图像向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图像翻折到x轴上方，即得y|log2 (x1)|的图像，如图(3)(4)先作出y2x的图像，保留x0部分，再关于y轴对称得到y2|x|图像，然后右移一个单位，即得y2|x1|的图像跟踪练习1：已知P为圆x2(y1)21上任意一点(原点O除外)，直线OP的倾斜角为弧度，记d|OP|.在图中的坐标系中，画出以(，d)为坐标的点的轨迹大致图形解析依题意，设圆与y轴的另一交点为D，则D(0,2)从而|OP|OD|sin，d2si
7、n(0，)其图像为正弦曲线一段故作简图如右图.2.命题方向：识图例2(1)函数y的图像大致为()(2)设b0，二次函数yax2bxa21的图像为下列之一，则a的值为()A1 B1 C. D.解析(1)f(x)f(x)，f(x)为奇函数，排除D.又y1在(，0)，(0，)上都是减函数，排除B，C.(2)b0，前两个图像不是给出的二次函数的图像又后两个图像的对称轴都在x轴右边，0，a0，即第3个图像是所给的二次函数的图像图像过原点，a210.又a0，a1.答案(1)A(2)B点评对于给定的函数的图像，要能从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期
8、性等，注意图像与解析式中参数的关系跟踪练习2已知函数yf(x)(0x1)的图像如图，若0x1x21，则()A. D以上都不正确答案A 解析如图，设P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)，则、分别是直线OP和OQ的斜率，易知kOPkOQ，所以.（五）思想方法点拨1作函数图像的一般步骤是：(1)求出函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(如奇偶性、周期性)以及图像上的特殊点(如最高(低)点、拐点、端点等)、线(如渐近线、对称轴等)；(4)利用基本函数的图像画出所给函数的图像2要正确使用平移变换和对称变换作函数的图像3函数的图像和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同
9、的，在解题时经常要互相转化在解决函数问题，尤其是较为繁琐的(如分类讨论、求参数的范围等)函数问题时要注意充分发挥图像的直观作用(六)课后强化作业一、选择题1设ab时，y0，由数轴穿根法可知，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有C正确2(2010湖南文)函数yax2bx与ylog|x(ab0，|a|b|)在同一直角坐标系中的图像可能是() 答案D解析本题考查二次函数和对数函数的图像对于选项A、B，对数函数单调递增，故1，1或1，但A、B两项二次函数的对称轴都在内，故A、B都不对对于C、D两选项，对数函数单调递增，故01，故11且0，且0，选项C二次函数的对称轴在内，故C不正确3设函数yf(x
10、)与函数yg(x)的图像如图所示，则函数yf(x)g(x)的图像可能是下面的()答案D解析由yf(x)是偶函数，yg(x)是奇函数，知yf(x)g(x)为奇函数，且在x0处无定义4(2011安庆一模)函数f(x)1log2x与g(x)21x在同一直角坐标系下的图像大致是() 答案C解析本题主要考查函数图像的平移利用函数的平移可画出所给函数的图像，函数f(x)1log2x的图像是由f(x)log2x的图像向上平移1个单位得到；而g(x)2x12(x1)的图像是由y2x的图像右移1个单位而得5使log2(x)1)的大致图像形状是()答案B解析该函数为一个分段函数，即为f(x)ax，a1，当x0时，
11、函数yax单调递增；当x0时，函数yax单调递减故选B.(理)图像y|x|与y在同一直角坐标系中的图像为()答案A解析y化为y2x21(y1)可知，其渐近线为yx，故选A.8(文)函数f(x)的图像和函数g(x)log2x的图像的交点个数是()A4 B3 C2 D1答案B解析由图像易知有3个交点(理)已知f(x)是以2为周期的偶函数当x0,1时，f(x)x，那么在区间1,3内，关于x的方程f(x)kxk1(kR且k1)有四个根，则k的取值范围是()A(1,0) B(，0) C(，0) D(，0)答案C解析分别作出两个函数的图像，结合函数f(x)的周期性作出各个区间内的图像，而函数ykxk1的图
12、像过点A(1,1)，当k(kAB，kAC)时，B(2,0)，C(1,1)，k(，0)，选C.二、填空题9一个体积为V的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y，截面下部的几何体的体积为x，则y与x的函数关系可以表示为_(填入正确的图像的序号)答案解析因为xyV，所以yxV，所以由yxV图像可知应填.10设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图像如图，则不等式f(x)0的解集是_答案x|2x0或2x5解析由奇函数的图像特征可得f(x)在5,5上的图像，由图像可解出结果11(2010全国卷理)直线y1与曲线yx2|x|a有四个交点，则a的取值范围是_答案解析如
13、图，在同一直角坐标系内画出直线y1与曲线yx2|x|a，由图可知，a的取值必须满足，解得1a0)的图像与零点的关系000)的图像与x轴的交点 . .无交点零点个数 . . .4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间a，b，验证，给定精确度；第二步，求区间(a，b)的中点x1；第三步，计算 若，则x1就是函数的零点；若，则令bx1(此时零点x0(a，x1)；若，则令ax1(此时零点x0(x1，b)；第四步，判断是否达到精确度：即若|ab|0，f(1) 0，选B.2已知f(x)xx3，xa，b，且f(a)f(b)0，则f(x)0在a，b内()A至少有一实数根 B至多有一实数根C没
14、有实数根 D有唯一实数根答案D解析利用函数f(x)在a，b上是单调减函数，又f(a)，f(b)异号故选D.3(2009福建文)若函数f(x)的零点与g(x)4x2x2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()Af(x)4x1 Bf(x)(x1)2 Cf(x)ex1 Df(x)ln答案A 解析本小题主要考查函数零点等基础知识作y4x和y22x的图像(如图)，g(x)的零点在区间内，而B，C，D中的函数的零点分别是1,0，都不满足题意，故选A.4(2011临沂质检)下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()答案C解析用二分法求函数的零点，首先保证函数图像在a，b上是连续
15、不断的，故A、D不符合题意；然后，保证f(a)f(b)0，故B不符合题意，因此选C.5已知方程x2(a1)x(a2)0的根一个比1大，另一个比1小，则a的取值范围是_答案(，1)解析函数f(x)x2(a1)x(a2)的大致图像如图所示，于是有f(1)0，即1(a1)(a2)0，解得a1.6函数f(x)x的零点个数为_答案2解析令f(x)0得x 0，即x24，x2.故f(x)的零点有两个7函数f(x)mx22x1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围解析当m0时，x 为函数的零点；当m0时，若0，即m1，则x1是函数唯一的零点若0，显然x0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数的零点等
16、价于方程f(x)mx22x10有一个正根和一个负根，即mf(0)0，即m0.综上可知m(，01（四）典型例题1.命题方向：求函数的零点例1求下列函数的零点(1)f(x)4x3；(2)f(x)x22x3；(3)f(x)x33x2；(4)f(x)x 2.分析根据函数零点与方程根之间的关系，求函数的零点，就是求相应方程的实数根解析(1)由4x30，得x，即f(x)4x3的零点是.(2)由x22x30，得x22x30，解得x11，x23，即f(x)x22x3的零点为1,3.(3)由x33x2x32x22x24xx2x2(x2)2x(x2)(x2)(x1)2(x2)0，得x1,21，x32.所以f(x)
17、x33x2有两个零点1，2，其中1是二重零点4)由x20，得x11，x23，即函数f(x)x2的两个零点分别为1，3.点评求函数的零点就是求相应方程的根，一般可用因式分解或求根公式等方法求出方程的根，即得函数的零点跟踪练习1：(1)函数f(x)log3xx3的零点一定在区间()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案C解析解法一：函数f(x)log3xx3的定义域为(0，)，并且在(0，)上递增连续，又f(2)log3210，函数f(x)log3xx3有惟一的零点且零点在区间(2,3)内解法二：方程log3xx30可化为log3x3x，在同一坐标系中作出ylog3x和y3x的
18、图像如图所示，可观察判断出两图像交点横坐标在区间(2,3)内(2)函数f(x)log3xx2的零点的个数是()A0 B1 C2 D3答案C解析解法一：方程log3xx20，可化为log3xx2在同一坐标系中作出ylog3x与yx2的图像如下图所示，可观察出两图像有两个不同交点，故选C.解法二：f(x)容易知道f(x)在(0,1)上为增函数，在(1，)上为减函数又f220，f(e2)4e20该函数分别在(0,1)和(1，)上各有一解(3)函数f(x)x32x2x的零点是 ()A0 B1 C0和1 D(0,0)和(1,0)答案C解析令f(x)0，即x32x2x0x(x1)20，解得x10，x2x3
19、1.故函数f(x)的零点是0和1.2.命题方向：利用函数零点的存在性求参数的取值范围例2(1)若函数f(x)ax2x1有且仅有一个零点，求实数a的值；(2)若函数f(x)|4xx2|k有4个零点，求实数k的取值范围分析(1)二次项系数含有字母，分类讨论即可(2)利用函数图像求解解析(1)当a0时，f(x)x1有唯一零点1，符合题意；当a0时，f(x)有唯一零点，即ax2x10有惟一解由14a0得a.综上可知a的值为0或.(2)设g(x)|4xx2|，画出其图像如图所示函数f(x)有4个零点，即方程g(x)k0有4个不同的实数解，也就是yg(x)的图像与直线yk有4个不同的公共点，由图可知0k4
20、.点评函数yf(x)的零点方程f(x)0的根函数f(x)的图像与x轴交点横坐标这为我们研究函数零点个数和方程根的个数问题提供了两种解法：一是转化为直接研究方程根的个数；二是转化为图像交点个数另外，还可推广为：函数yf(x)的k点方程f(x)k的根yf(x)的图像与直线yk的交点横坐标跟踪练习2(2009江西文)设函数f(x)6xa.(1)对于任意实数x, f(x)m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围解析本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题(1)f(x)3x29x63(x1)(x2)因为x(，)f(x)m，即3x29x(6m)0恒成立所
21、以8112(6m)0，得m，即m的最大值为.(2)因为当x0；当1x2时，f(x)2时f(x)0.所以当x1时，f(x)取极大值f(1)a，当x2时，f(x)取极小值f(2)2a.故当f(2)0或f(1)0时，方程f(x)0仅有一个实根，解得a.3.命题方向：根的分布例4已知函数f(x)8x2(m1)x(m7)问当m取何值时，函数的零点满足下列性质，通过求解，探求此类问题的一般解法(1)均为正数；(2)一正一负；(3)一根大于2，另一根小于2；(4)两根都在(0,2)内分析本题的实质就是二次函数对应的方程的根的讨论，结合二次函数图像与x轴的交点位置的有关条件即可求解解析设f(x)0的两根为x1
22、，x2，(1)解法一：方程两根均为正数，即解之得7m9或m25.解法二：方程两根均为正，即均大于0， 即解得7m9或m25.(2)解法一：方程两根为一正，一负的条件是即m7.解法二：由图知f(0)0，即m27.解法二：如上图，由f(2)0知842(m1)(m7)27.(4)两根在(0,2)之间，即即解之得7m9或25m0)的两实根，则x1、x2的分布范围与二次方程系数之间的关系，如下表所示（五）思想方法点拨1对于函数yf(x)(xD)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数的零点，注意以下几点：(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零(2)函数的零点也就是函数yf(x
23、)的图像与x轴的交点的横坐标(3)一般我们只讨论函数的实数零点(4)函数的零点不是点，是方程f(x)0的根2对函数零点存在的判断中，必须强调：(1)f(x)在a，b上连续；(2)f(a)f(b)0，函数f(x)exx2在R上单调递增，又f(0)10，即f(0)f(1)0，由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内解法二：f(0)e0210，f(0)f(1)0，故f(x)exx2的零点所在的一个区间是(0,1)故选C.2若方程2ax2x10在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围为()Aa1 C1a1 D0a1答案B解析f(x)2ax2x1f(0)10得a1，又当f(1)0，即a1时，2x2x10
24、的两根为x11，x2不适合题意故选B.3(2011山东临沂)已知函数f(x)(x23x2)g(x)3x4，其中g(x)是定义域为R的函数，则方程f(x)0在下面哪个范围内必有实数根()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(2,4)答案B解析f(1)0g(x)10，故在(1,2)上必有实根4关于方程3xx22x10，下列说法正确的是()A方程有两不相等的负实根B方程有两个不相等的正实根C方程有一正实根，一零根D方程有一负实根，一零根答案D解析令y13xy2x22x12(x1)2则方程的根即为两函数图像交点横坐标由图像知方程有一负根，一零根5已知f(x)1(xa)(xb)(ab)，m，n是
25、f(x)的零点，且mn，则实数a，b，m，n的大小关系是()Amabn Bamnb Cambn Dmanb答案A解析本题考查函数性质，主要是函数的零点、单调性如图，f(a)f(b)1，f(m)f(n)0，结合图形知，选A.6若函数f(x)x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()A(2,2) B2,2 C(，1) D(1，)答案A解析本题考查了函数零点的判断方法及一元二次方程根与系数的关系由于函数f(x)是连续的，故只需两个极值异号即可f(x)3x23，令3x230，则x1，只需f(1)f(1)0，即(a2)(a2)0，故a(2,2)7(2010浙江理)设函数f(x)4sin(2x1
26、)x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是()A4，2 B2,0 C0,2 D2,4答案A解析本题判断f(x)0在区间内是否成立，即4sin(2x1)x是否有解如图：显然在2,4内曲线y4sin(2x1)，当x时，y4，而曲线yx，当x0， f0.x0二、填空题9已知方程f(x)0在(1,2)内有唯一解，用二分法求方程的近似解时，若要使精确度为0.1，则使用二分法的最多次数为_答案4解析每一次使用二分法，区间长度为原区间长度的，设n次后达到精确度，则只需0的解集是_答案解析由于函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，即方程x2axb0的两个根是2和3.因此解得a1，b6，故f(x)x2x
27、6.所以不等式af(2x)0，即(4x22x6)0，解得x0，即(5a1)(a1)0，解得1a，a0.由g(x)(3x23)0，得x1第九节 函数模型及其应用（一）高考目标考纲解读1了解指数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用考向预测1函数模型及其应用历年来一直是高考的热点，主要考查现实生活中的生产经营、环境保护、工程建设等热点问题中的增长率、最优化问题2多以解答题为主，考查建模能力，综合性强，属中高档题（二）课前自主预习知识梳理1几类函数模型函
28、数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义以上过程用框图表示
29、如下：3函数模型的应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题（三）基础自测1当x时，下列函数中，增长速度最快的应该是()Ay2xBy100x2 Cy100x Dyex答案D 解析2e，yex增长速度最快2有容积相等的桶A和桶B，开始时桶A中有a升水，桶B中无水现把桶A中的水注入桶B中，t分钟后，桶A的水剩余y1amt(升)，其中m为正常数假设5分钟时，桶A和桶B的水相等，要使桶A的水只有 时，必须再经过()A12分钟 B13分钟 C14分钟 D15分钟答案D解析由题意知t5时，y1am5；即m5.设t分钟后，桶A中的
30、水只有，则amt.解得t20.故再经过15分钟3(2011青岛二中期中)某宾馆有n(nN*)间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率经调查分析，得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表：每间客房的定价220元200元180元160元每天的入住率50%60%70%75%对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为()A220元 B200元 C180元 D160元答案C42007年7月1日某人到银行存入一年期款a元，若年利率为x，按复利计算，则到2012年7月1日可取款()Aa(1x)5元 Ba(1x)6元 Ca(1x)5元 Da(1x5)元答案A解析因为年利率按复利计算，所以到2012年7月1日可取款a(1x)5.5鲁能泰山足球俱乐部准备为救助失学儿童在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有30元、50元和80元三种，且票价30元和50元的张数的积为0.6万设x是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，此次足球义赛的纯收入函数为ylg2x，则这三种门票分别为_万张时为失学儿童募捐纯收入最大答案0.6,1,0.8解析该函数模型ylg2x已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题设30元、50元、80元门票的张数分别为a、b、c，则
