1、适用于教育机构高考数学专题辅导讲义讲义编号： 年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题推理与证明教学目的教学内容一、 知识网络二、命题分析1推理与证明是新课程中非常重要的内容，在2012年高考中有可能成为考查的重点，三种题型都有可能若以选择题和填空题出现，则主要考查归纳和类比推理的运用以及推理的有关概念问题等；而对常用的证明方法的考查主要以解答题的形式出现，可能是某个解答题中的一问，单独考查的可能性不大题目的难度会以中档题为主2探索性命题是近几年高考中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，通过归纳推理得到一个般性的结论，然后再要求给出证明归纳、猜想、证明是数学中发现新
2、规律的一种主要方法，是归纳推理的一种重要体现，此类题型可能成为2012年高考的重点题型三、复习建议2在推理证明的复习中，要准确把握概念，把握好各种证法的特点和步骤，注意灵活运用(1)对于合情推理，主要是掌握相关概念，会进行类比推理，能判断推理的类型(2)直接证明与间接证明主要渗透到其他知识板块中，要注意在复习相应的板块时，培养选择合理证明方法的能力四、知识讲解第一节 归纳与类比（一）高考目标1了解归纳与类比的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解归纳与类比在数学发现中的作用2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异
3、考向预测1考查的重点是对合情推理和演绎推理的理解及应用2主要是以选择题和填空题的形式出现，难度不大，多以中低档题为主（二）课前自主预习知识梳理1根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该事物中每一个都有这种属性，这种推理方式称为 2根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，这种推理过程称为3归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理；类比推理是两类事物特征之间的推理归纳推理和类比推理是最常见的合情推理（三）、基础自测1已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2、a3、a4，猜想an()A.B. C. D.答案B解析由Snn2an知Sn1(n1)2an1
4、Sn1Sn(n1)2an1n2anan1(n1)2an1n2an，an1an(a2)，当n2时，S24a2，又S2a1a2，a2，a3a2，a4a3.由a11，a2，a3，a4，猜想an，故选B.2利用归纳推理推断，当n是自然数时，(n21)1(1)n的值()A一定是零 B不一定是整数 C一定是偶数 D是整数但不一定是偶数答案C解析当n1时，值为0；当n2时，值为0；当n3时，值为2；当n4时，值为0；当n5时，值为6.3对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的()A一条中线上的点，但不是中心 B一条垂线上的点，但不是垂心C一条角平分线上的点，但不
5、是内心 D中心答案D解析边的中点对应于面的中心4(文)下图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为“杨辉三角形”，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是()A2 B4 C6 D8答案C解析因为其规律是a为肩上两数之和，故a336.(理)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是()各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条棱的夹角都相等；各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等A B C D答案B解析类比的原则是“类比前后保持类比的一
6、致性，”而违背了这一原则5在平面几何中，若三角形内切圆的半径为r，三边长分别为a，b，c，则三角形的面积Sr(abc)成立，类比上述结论，相应地，在立体几何中，若一个四面体的内切球的半径为R，四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，则这个四面体的体积V_成立答案R(S1S2S3S4)解析通过类比，可把四面体分割为四部分6(2010陕西理)观察下列等式：132332,13233362,13233343102，根据上述规律，第五个等式为_答案132333435363212解析由132333n32知n6时为132333435363212.7在数列an中，a11，an1(nN*)，试猜想这个数列的通
7、项公式解析a11，a2，a3，a4，猜想：an.（四）典型例题1.命题方向：归纳推理例1通过归纳推理完成下列各题：(1)观察下表113587911271315171964据此你可归纳猜想出的结论是_(2)观察下式：13135135713579据此你可归纳猜想出的一般结论为_(3)设数列an的前n项和为Sn，Sn2nan(nN*)，计算前4项，归纳出an_.(4)平面上两条直线最多有一个交点，三条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，5条直线最多有10个交点，则n条直线(nN*，n2)最多有_个交点答案(1)n(n1)1n(n1)3n(n1)(2n1)n3(2)135(2n1)n2(3)(
8、4)n(n1)点评由特殊结果，归纳总结出一般结论，是一种很重要的题型、结论正确，可以给出一般性的证明归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可靠跟踪练习1当正三角形的边长为n(nN*)时，图(1)中点的个数为f3(n)123(n1)(n1)(n2)；当正方形的边长为n时，图(2)中点的个数为f4(n)(n1)2；在计算图(3)中边长为n的正五边形中点的个数f5(n)时，观察图(4)可得f5(n)f4(n)f3(n1)(n1)2(n1)(3n2)；.则边
9、长为n的正k边形(k3，kN)中点的个数fk(n)_。 分析通过对从正三角形中点的个数和正四边形中点的个数研究正五边形中点的个数的过程，归纳出通过三角形中点的个数和正四边形中点的个数研究正k边形中点的个数的规律，从而进行解答答案(n1)(k2)n2解析观察对边长为n的正五边形的“分割”，那么对边长为n的正六边形分割时就又多了一个点数为f3(n1)的三角形，依次类推可以推知边长为n的正k(k5，kN)边形就可以分割为一个点数为f4(n)的四边形和k4个点数为f3(n1)的三角形，即fk(n)f4(n)(k4)f3(n1)，并且这个规律对k3,4也成立，这样fk(n)f4(n)(k4)f3(n1)
10、(n1)2(k4)(n1)(k2)n2(k3，kN).2.命题方向：类比推理例2在RtABC中，若C90，则cos2Acos2B1，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想分析考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体PABC，且三个面分别与面ABC所成的二面角分别是、.解析如图，在RtABC中，cos2Acos2B221.于是把结论类比到四面体PABC中，我们猜想，三棱锥PABC中，若三个侧面PAB，PBC，PCA两两互相垂直，且分别与底面所成的角为、，则cos2cos2cos21.跟踪练习2已知等差数列an：7，5，3，1，1,3,5,7,9，设其前n项和为Sn
11、，易知a4a50，且有S1S7，S2S6，S3S5，一般地，对于等差数列an，其前n项和为Sn，若存在kN*，k2，使akak10，则对任意的nN*，且n2k1，等式S2knSn恒成立请你用类比的方法，写出等比数列bn中相应的正确命题，并给予证明解析命题为：对于等比数列an，其前n项之积为Tn，若存在kN*，k2，使bkbk11，则对任意nN*且n2k1等式T2knTn恒成立证明如下：设bn的公比为q，由bkbk11知，（五）思想方法点拨：1归纳是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模式，具有以下几个特点：(1)归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围；(2
12、)归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测的性质；(3)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的2类比是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式其一般步骤为：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想(六)课后强化作业一、选择题1(2010山东文)观察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)
13、为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)答案D解析本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，g(x)g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查2观察下式：112,23432,3456752,4567891072，则第n个式子是()An(n1)(n2)(2n1)n2Bn(n1)(n2)(2n1)(2n1)2Cn(n1)(n2)(3n2)(2n1)2Dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2答案C解析由类比推理可知等号左边应有2n1项，右边是(2n1)2.3已知整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，
14、(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，则第60个数对是()A(3,8) B(4,7) C(4,8) D(5,7)答案D解析观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依此类推和为n1的数对有n个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由60n(n1)120，nZ，n10时，55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，第60个数对是(5,7)4如图所示，把
15、1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是()A27 B28 C29 D30答案B解析a11，a2a12，a3a23，a4a34，anan1n，ann(n1)(n2)21，a728.5如图所示：一个质点在第一象限运动，在第一秒钟内它由原点运动到(0,1)，而后接着按图所示在与x轴，y轴平行的方向上运动，且每秒移动一个单位长度，那么2 000秒后，这个质点所处位置的坐标是()A(44,25) B(45,25) C(25,45) D(24,44)答案D解析质点到达(1,1)处，走过的长度单位是2，方向向右；质点到达(2,2)处，
16、走过的长度单位是624，方向向上；质点到达(3,3)处，走过的长度单位是12246，方向向上；猜想：质点到达(n，n)处，走过长度单位是2462nn(n1)，且n为偶数时运动方向与x轴正向相反，n为奇数时运动方向与y轴正向相反所以2000秒后是指质点到达(44,44)后，继续前进了20个单位，由图中规律可得向左前进了20个单位即质点位置是(24,44)6(2011烟台模拟)函数f(x)由下表定义：x25314f(x)12345若a05，an1f(an)，n0,1,2，则a2011()A1 B2 C4 D5答案C解析由a05，an1f(an)，n0,1,2，得a1f(a0)f(5)2；a2f(a
17、1)f(2)1；a3f(a2)f(1)4；a4f(a3)f(4)5；a5f(a4)f(5)2；说明递推数列a05，an1f(an)是周期为4的数列a2011f(a2010)f(1)4.7设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r()A. B.C. D.答案C解析类比条件，分母应为4个面面积的和，分子应为体积V的3倍证明如下：设四面体的内切球球心为O，那么由VPABCVOABCVOPABVOPACVOPBC，即：VS1rS2rS3rS4r，可
18、得：r.8自然数按下表的规律排列1251017 | | | |4 3 6 11 18 | | |9 8 7 12 19 | |16 15 14 13 20 |25 24 23 22 21则上起第2 007行，左起第2 008列的数为()A2 0072B2 0082 C2 0062 007 D2 0072 008答案D解析经观察可得这个自然数表的排列特点：第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；第一行第n个数为(n1)21；第n行从第1个数至第n个数依次递减1；第n行从第1个数至第n个数依次递增1.故上起第2 007行，左起第2008列的数，应是第2
19、 008列的第2 007个数，即为(2 0081)212 0062 0072 008.二、填空题9(2011安师大附中期中)观察下图：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10则第_行的各数之和等于2 0092.答案1 005解析通过观察题图可发现规律：第n行的第一个数为n，且第n行共有2n1个连续的正整数，故由(2n1)n1(2n1)22 0092，得n1 005.10(2010浙江文)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n行第n1列的数是_.答案n2n解析本题考查了等差数列及归纳推理的方法和思想，要求考生能从给出的信息总结规律，归纳结论由图表知，
20、第n行的数构成首项为n，公差为n的等差数列，第n行第n1列的数为：n(n11)nn2n.11(2010湖南理)若数列an满足：对任意的nN*，只有有限个正整数m使得amn成立，记这样的m的个数为(an)*，则得到一个新数列(an)*例如，若数列an是1,2,3，n，则数列(an)*是0,1,2，n1，.已知对任意的nN*，ann2，则(a5)*_，(an)*)*_.答案2n2解析因为am5，而ann2，所以m1,2，所以(a5)*2.因为(a1)*0，(a2)*1，(a3)*1，(a4)*1，(a5)*2，(a6)*2，(a7)*2，(a8)*2，(a9)*2，(a10)*3，(a11)*3，
21、(a12)*3，(a13)*3，(a14)*3，(a15)*3，(a16)*3.所以(a1)*)*1，(a2)*)*4，(a3)*)*9，(a4)*)*16.猜想(an)*)*n2.三、解答题12若函数f(x)，g(x)，分别计算g(4)2f(2)g(2)和g(6)2f(3)g(3)的值，由此归纳出函数f(x)和g(x)的对于所有实数x都成立的一个等式，并加以证明解析g(4)2f(2)g(2)0，g(6)2f(3)g(3)0，由此归纳出g(2x)2f(x)g(x)0，证明如下：g(2x)2f(x)g(x)20.13观察下列各式：sin25sin265sin2125.sin230sin290si
22、n2150.sin245sin2105sin2165.归纳猜想出一个一般性命题，并给出证明解析一般性的命题为：sin2sin2(60)sin2(120).证明如下：左边cos2cos(1202)cos(2402)cos2cos120cos2sin120sin2cos240cos2sin240sin2右边所以命题得证14已知f(x)且f(1)log162，f(2)1.(1)求函数f(x)的表达式；(2)已知数列xn的项满足xn1f(1)1f(2)1f(n)，试求x1，x2，x3，x4；(3)猜想xn的通项分析(1)先由f(1)，f(2)的值求出a，b的值；(2)然后通过计算x1，x2，x3，x4
23、归纳出通项公式解析(1)把f(1)log162，f(2)1，代入函数表达式得，整理得，解得于是f(x)(x1)(2)x11f(1)1，x2，x3，x4.(3)这里因为偶数项的分子、分母作了约分，所以规律不明显，若变形为，便可猜想xn.15在ABC中，ABAC，ADBC于D，求证：，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由分析首先利用综合法证明结论正确，然后依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想结论，并予以证明解析如图(1)所示，由射影定理AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，.又BC2AB2AC2，.所以.猜想：类比ABAC，ADBC猜想：四面体ABCD
24、中，AB、AC、AD两两垂直，AE平面BCD.则.如图(2)，连接BE交CD于F，连接AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.，故猜想正确第二节 直接证明与间接证明（一）高考目标考纲解读1了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点2了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点考向预测1本节主要考查对综合法和分析法的理解和简单的应用，反证法一般不会单独命题2综合法和分析法在历年高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一选择题、填空题的形式较少主要是综合法、分析法的
25、思想渗透到解答题中（二）课前自主预习知识梳理1直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理、法则等，直接推证结论的真实性2综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，把这样一种思维方法称为综合法综合法是一种 的证明方法综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)P1P2Pn(结论)3分析法从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理定理等，把这种思维方法称为分析法分析法是一种 的证明方法，用分析法证明的逻辑关系是：B(结论)B1B2BnA(已知
26、)分析法的特点是：从“未知”看需知，逐步靠拢“已知”，其每步推理都是寻求使每一步结论成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件为止综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其每步推理都是寻找使每一步结论成立的必要条件4反证法在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而断定命题结论的反面不可能成立由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法数学中的命题，都有题设条件和结论两部分，反证法是从否定这个命题的结论出发
27、，通过正确、严密的逻辑推理，由此引出一个新的结论，而这个新结论与已知矛盾，得出结论的反面不正确，从而肯定原结论是正确的一种间接证明方法应用反证法证明数学命题的一般步骤：(1) ；(2) ；(3) 。（三）基础自测1已知ab0，且ab1，若0c1，plogc，qlogc()2，则p，q的大小关系是()Apq BpqCpq Dpq答案B解析ab1，plogc0，又qlogc()2logclogclogc0，qp.2若不等式(1)na2对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是()A2，) B(2，) C3， D(3，)答案A解析由(1)na2当n为偶数时，a2，2)，a0，b0，如果不等式恒成立
28、，那么m的最大值等于_答案9解析a0，b0，2ab0.不等式可化为m(2ab)52.52549，即其最小值为9，m9，即m的最大值等于9.7已知a0，b0，c0.求证：lglglglgalgblgc.证明a0，b0，c0，0，0，0.又a，b，c是不全相等的正数，abc，lglgabc，即lglglglgalgblgc.（四）典型例题1.命题方向：综合法例1已知ab0，求证：分析从已知条件和已知不等式入手，推出所要证明的结论证明ab0，b，即2b2.进而22b，于是a2bab2b，即0()2ab，.点评综合法从正确地选择已知其为正确的命题出发，依次推出一系列的真命题，最后达到我们所要证明的结论
29、在用综合法论证命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能够想到从哪里起步我们一般地处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层递进，步步为营，由已知逐渐地引导出结论跟踪练习1已知a，b，c为互不相等的实数，求证：a4b4c4abc(abc)分析从已知不等式a2b22ab出发，一步步由因到果直至推出要证的结论证明a4b42a2b2，b4c42b2c2，c4a42a2c2.又a，b，c互不相等，上面三式中至少有一个式子不能取“”号，a4b4c4a2b2b2c2c2a2a2b22ab，a2c2b2c22abc2，同理a2b2a2c22a2bc，b2c2b2a22ab2c，a2b2b2c2c2a
30、2abc2a2bcab2c由得a4b4c4abc(abc)点评(1)综合法也是中学数学证明中常用的一种方法它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证结论的真实性简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法(2)当用a2b22ab，(a0，b0)这些不等式性质来证明一个严格不等式(不含“”号)时，说明所应用的不等式性质中“”号不成立的原因是必须的.2.命题方向：分析法例2是否存在常数C，使得不等式C对任意正数x，y恒成立？试证明你的结论分析本题主要考查用分析法证明不等
31、式及分析问题、解决问题的能力可先令x，y为具体的值，确定出常数C，再给出一般证明令xy1，得C，C，下面给出证明：证明先证明，因为x0，y0，要证：，只需证3x(x2y)3y(2xy)2(2xy)(x2y)，即x2y22xy，这显然成立，.再证：，只需证：3x(2xy)3y(x2y)2(x2y)(2xy)，即2xyx2y2，这显然成立，.综上所述，存在常数C，使对任何正数x，y都有：成立点评当要证的不等式较复杂，两端差异难以消除或者已知条件信息量太少，已知与待证间的联系不明显时，一般可采用分析法，分析法是步步寻求不等式成立的充分条件，而实际操作时往往是先从要证的不等式出发，寻找使不等式成立的必
32、要条件，再考虑这个必要条件是否充分，这种“逆求”过程，能培养学生的发散思维能力，也是分析问题、解决问题时常用的思考方法跟踪练习2已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且其所对的边长分别为a、b、c.求证：.证明要证成立，只需证3，即证1成立，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即证b2a2c2ac成立即可又在ABC中，角A、B、C成等差数列，由得B.由余弦定理得b2a2c22accosB，b2a2c22accos.b2a2c2ac，从而命题得证.3.命题方向：反证法例4已知a0，b0，且ab2，求证：，中至少有一个小于2.分析已知条件较少，结论反而有三种情况，故联想到从结论的反面入
33、手较易，即使用反证法证明假设，都不小于2，即2，2.a0，b0，1b2a,1a2b，11ab2(ab)，即2ab，这与已知ab2矛盾，故假设不成立点评结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式，或直接从正面入手难以寻觅解题突破口的问题，宜考虑使用反证法跟踪练习3用反证法证明不等式若p0，q2，即p2q，p3(2q)3812q6q2q3，即812q6q2(q3p3)0，612q6q20，那么q22q10，(q1)20与(q1)20相矛盾，故假设不成立，pq2.点评条件与结论之间的因果关系不是很明显，直接证明无从着手，可考虑使用反证法. 反证法是常用的一种重要的思维方式和数学方法，在平
34、面几何、不等式及立体几何中有着广泛的应用（五）思想方法点拨1关于综合法与分析法分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件综合法的特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件从而看出，分析法与综合法是两种思路截然相反的证明方法，既对立又统一用综合法证题前往往用分析法寻找解题思路，即所谓的“分析”因此，分析法即可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程并且在解决较复杂问题时，往往是分析法与综合法相互结合使用2关于反证法(1)用反证法证明问题的一般步骤反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；
35、(否定结论)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立(2)用反证法证明问题时要注意以下三点：必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的(3)反证法主要适用于以下情形：结论本身是以否定形式出现的一类命题；关于唯一性、存在性的命题；结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题；要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰的命题如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形（六）课后强化作业一、选择题1设a0，b0，且ab4，则有()A.B.2 C.1 D.答案C解析4ab2，2，.21.也可取特殊值检验2设a、b、c、d、m、n均为正实数，p，q，那么()Apq Bpq Cpq
