1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 考点规范练 15 导数与函数的单调性、极值、最值 基础巩固 1.函数 f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 ( ) A.(- ,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+ ) 2.已知函数 f(x)=x3-3x2+x的极大值点为 m,极小值点为 n,则 m+n=( ) A.0 B.2 C.-4 D.-2 3.定义域为 R的可导函数 y=f(x)的导函数 f(x),满足 f(x)2ex的解集为 ( ) A.(- ,0) B.(- ,2) C.(0,+ ) D.(2,+ ) 4.(2017 浙江 ,7)函数 y=f(x)的导函数 y=f(x)的图象如图
2、所示 ,则函数 y=f(x)的图象可能是 ( ) 5.已知函数 f(x)=-x2+4x-3ln x在区间 t,t+1上不单调 ,则 t的取值范围是 . 6.若函数 g(x)=ln x+ax2+bx,且 g(x)的图象在点 (1,g(1)处的切线与 x轴平行 . (1)确定 a与 b的关系 ; (2)若 a0, 试讨论函数 g(x)的单调性 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 7.已知函数 f(x)=(a0)的导函数 y=f(x)的两个零点为 -3和 0. (1)求 f(x)的单调区间 ; (2)若 f(x)的极小值为 -e3,求 f(x)的极大值及 f(x)在区间 -5,+ )内的最大值 .
3、 8.(2017安徽马鞍山一模 )已知函数 f(x)=xex-a(a R). (1)当 a=1时 ,求函数 f(x)的极值 ; (2)讨论函数 f(x)的单调性 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 9.设函数 f(x)=(a R). (1)若 f(x)在 x=0处取得极值 ,确定 a的值 ,并求此时曲线 y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线方程 ; (2)若 f(x)在区间 3,+ )内为减函数 ,求 a的取值范围 . 能力提升 10.已知函数 y=f(x)对任意的 x 满足 f(x)cos x+f(x)sin x0(其中 f(x)是函数 f(x)的导函数 ),则下列不等式成立的是 (
4、) A.2f D.f(0) 11.设函数 f(x)是奇函数 f(x)(x R)的导函数 ,f(-1)=0,当 x0时 ,xf(x)-f(x)0成立的 x的取值范围是 . 12.(2017福建福州一模 )已知函数 f(x)=aln x+x2-ax(a R). (1)若 x=3是 f(x)的极值点 ,求 f(x)的单调区间 ; (2)求 g(x)=f(x)-2x在区间 1,e上的最小值 h(a). =【 ;精品教育资源文库 】 = 13.已知函数 f(x)=x3-ax-b,x R,其中 a,b R. (1)求 f(x)的单调区间 ; (2)若 f(x)存在极值点 x0,且 f(x1)=f(x0),
5、其中 x1 x0,求证 :x1+2x0=0; (3)设 a0,函数 g(x)=|f(x)|,求证 :g(x)在区间 -1,1上的最大值不小于 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 高考预测 14.已知函数 f(x)=aln x-ax-3(a R). (1)求函数 f(x)的单调区间 ; (2)若函数 y=f(x)的图象在点 (2,f(2)处的切线的倾斜角为 45, 对于任意的 t 1,2,函数g(x)=x3+x2 在区间 (t,3)内总不是单调函数 ,求 m的取值范围 . 答案： 1.D 解析 :函数 f(x)=(x-3)ex的导数为 f(x)=(x-3)ex=ex+(x-3)ex=(x-2)
6、ex. 由函数导数与函 数单调性的关系 ,得当 f(x)0时 ,函数 f(x)单调递增 ,此时由不等式f(x)=(x-2)ex0,解得 x2. 2.B 解析 :因为函数 f(x)=x3-3x2+x的极大值点为 m,极小值点为 n,所以 m,n为 f(x)=3x2-6x+1=0的两根 . 由根与系数的关系可知 m+n=-=2. 3.C 解析 :设 g(x)=,则 g(x)=. f(x)0,即函数 g(x)在定义域内单调递增 . f(0)=2, g(0)=f(0)=2, 不等式 f(x)2ex等价于 g(x)g(0). 函 数 g(x)在定义域内单调递增 . x0, 不等式的解集为 (0,+ ),
7、故选 C. 4.D 解析 :设导函数 y=f(x)的三个零点分别为 x1,x2,x3,且 x10,f(x)是增函数 ,所以函数 y=f(x)的图象可能为 D,故选 D. 5.(0,1) (2,3) 解析 :由题意知 f(x)=-x+4-=-. 由 f(x)=0得 x1=1,x2=3,可知 1,3是函数 f(x)的 两个极值点 . 则只要这两个极值点有一个在区间 (t,t+1)内 ,函数 f(x)在区间 t,t+1上就不单调 , 由 t0解得 01, 即函数 g(x)在 (0,1)内单调递增 ,在 (1,+ )内单调递减 . 当 a0时 ,令 g(x)=0,得 x=1或 x=,若 ,则由 g(x
8、)0解得 x1或 01,即 00解得 x或 0时 ,函数 g(x)在内单调递增 ,在内单调递减 ,在 (1,+ )内单调递增 . 7.解 :(1)因为 f(x)=, 所以 f(x)=, 设 g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c. 因为 a0,所以由题意知 : 当 -30,即 f(x)0; 当 x0时 ,g(x)5=f(0),所以函数 f(x)在区间 -5,+ )内的最大值是 5e5. 8.解 :(1)当 a=1时 ,f(x)=xex-,f(x)=ex+xex-(x+1)=(x+1)(ex-1), 令 f(x)=0,得 x=-1或 x=0. x (-,-1) -1 (-1,0) 0 (0,
9、+ ) f(x) + 0 - 0 + f(x) 当 x=-1时 ,f(x)有极大值 f(-1)=; 当 x=0时 ,f(x)有极小值 f(0)=0. (2)f(x)=ex+xex-a(x+1)=(x+1)(ex-a), 当 a0 时 ,ex-a0,由 f(x)0得 x-1,即在区间 (-1,+ )内 ,函数 f(x)单调递增 ;由 f(x)0时 ,令 f(x)=0,得 x=-1或 x=ln a. 当 ln a=-1,即 a=e-1时 ,无论 x-1或 x0,又 f(-1)=0, 即在 R上 ,f(x)0, 从而函数 f(x)在 R 上单调递增 . 当 ln a0?x-1或 x-1,即 ae-1
10、时 , =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 f(x)=(x+1)(ex-a)0?xln a或 x0,即 f(x)0,故 f(x)为增函数 ; 当 xx2时 ,g(x)0, g(x)0,即函数 g(x)在内单调递增 . g0时 ,令 F(x)=, 则 F(x)=0时 ,F(x)=为减函数 . f(x)为奇函数 ,且由 f(-1)=0,得 f(1)=0,故 F(1)=0. 在区间 (0,1)内 ,F(x)0;在 (1,+ )内 ,F(x)0;当 x1时 ,f(x)0; 当 x (-1,0)时 ,f(x)0的解集为 (- ,-1) (0,1). 12.解 :(1)f(x)=+2x-a(x0). x
11、=3是函数 f(x)的一个极值点 , f(3)=+6-a=0,解得 a=9, f(x)=, 当 03时 ,f(x)0; 当 0时 ,令 f(x)=0,解得 x=,或 x=-. 当 x变化时 ,f(x),f(x)的变化情况如下表 : x - f(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以 f(x)的单调递减区间为 ,单调递增区间为 . (2)证明 :因为 f(x)存在极值点 ,所以由 (1)知 a0,且 x00 . 由题意 ,得 f(x0)=3-a=0,即 , 进而 f(x0)=-ax0-b=-x0-b. 又 f(-2x0)=-8+2ax0-b=-x0
12、+2ax0-b=-x0-b=f(x0),且 -2x0 x0,由题意及 (1)知 ,存在唯一实数 x1满足 f(x1)=f(x0),且 x1 x0,因此 x1=-2x0. 所以 x1+2x0=0. (3)证明 :设 g(x)在区间 -1,1上的最大值为 M,maxx,y表示 x,y两数的最大值 .下面分三种情况讨论 : 当 a3 时 ,- -1f=f, 所以 f(x)在区间 -1,1上的取值范围为 f(-1),f(1), 因此 M=max|f(-1)|,|f(1)|=max|-1+a-b|,|1-a-b|=max|1-a+b|,|1-a-b|=1-a+|b|. 综上所述 ,当 a0时 ,g(x)在区间 -1,1上的最大值不小于 . 14.解 :(1)函数 f(x)的定义域为 (0,+ ),且 f(x)=. 当 a0时 ,f(x)的递增区间为 (0,1),递减区间为 (1,+ ); 当 a0,即 m-. -m-9. 即实数 m的取值范围是 .
