1、7.4.1 二项分布 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第三册，第七章随机变量及其分布列，本节课主本节课主要学习二项分布 前面学生已经掌握了有关概率的基础知识等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率和相互独立事件概率的求法、也学习了分布列的有关内容。二项分布是一种应用广泛的概率模型，是对前面所学知识的综合应用。节课是从实际出发，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。 课程目标学科素养A.理解伯努利试验以及n重伯努利试验的概念,掌握随机变量服从二项分布的有关计算;B.能够解决随机变量服从二项分布的实际应用问题，会求服从二项分布的随机变量的均值和方差.1.数学抽象
2、：n重伯努利试验的概念2.逻辑推理： 二项分布的随机变量的均值和方差3.数学运算：二项分布的有关计算 4.数学建模：模型化思想重点：n重伯努利实验，二项分布及其数字特征；难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布.多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 问题导学问题1：伯努利试验在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果.例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials).我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n
3、重伯努利试验。显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：(1）同一个伯努利试验重复做n次；（概率相同）(2) 各次试验的结果相互独立.做一做:下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是,那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验,定义“成功”的事件为A,那么A的概率是多大?重复试验的次数是多少？1.抛掷一枚质地均匀的硬币10次.2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.3.一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.随机试验是否为n重伯努利试验伯努利试验P(A)重复试验的次数1是抛掷一枚质地均匀的硬币0.5102是某飞碟运动员进行射击0.833是从一批产品中随机抽取一件0.95
4、20二、 探究新知探究1 ：伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同?伯努利试验是一个“有两个结果的试验”，只能关注某个事件发生或不发生；n重伯努利试验是对一个“有两个结果的试验”重复进行了n次，所以关注点是这n次重复试验中“发生”的次数X.进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列.问题2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1，2，3)，用如下图的树状图表示试验的可能结果：问题由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积
5、，由概率的加法公式和乘法公式得P(X=0)=P(A1A2A3)=0.23,PX=1=PA1A2A3+PA1A2A3+PA1A2A3=30.80.22,P(X=2)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=30.820.2,P(X=3)=P(A1A2A3)=0.83.为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为0.820.2，并且与哪两次中靶无关.因此,3次射击恰好2次中靶的概率为C320.820.2.同理可求中靶0次,1次,3次的概率.于是，中靶次数X的分布列为：P(
6、X=k)=C3k0.8k0.23-k，k=0,1，2，3探究2：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列.(1)表示中靶次数X等于2的结果有：A1 A2 A3 A4, A1 A2 A3 A4, A1A2 A3A4, A1 A2 A3A4,A1 A2A3A4, A1 A2 A3A4,共6个。(2)中靶次数X的分布列为：PX=k=C4k0.8k0.24-k，k=0,1，2，3,4 二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0pp1，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.探究3：假设随机变量X
7、服从二项分布B（n,p）,那么X的均值和方差是什么？（1） 当n=1时，X服从两点分布，分布列为P(X=0)=1-p,P(X=1)=p.均值和方差分别为E(X)=p;D(X) =p(1-p).2当n=2时，X的分布列为PX=0=1-p2,PX=1=2p1-p,P(X=2)=p2.均值和方差分别为E(X)=01-p2+12p（1-p）+2p2=2p.D(X)=021-p2+122p（1-p）+22p2-(2p)2=2p（1-p）.一般地，如果XB（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).证明：P(X=k)= Cnkpkqn-k( k Cnk =n Cn-1k-1)kP(X=k)
8、= kCnkpkqn-k= npCn-1k-1pk-1qn-kE (X) =0Cn0p0qn+ 1Cn1p1qn-1+ 2Cn2p2qn-2 + + kCnkpkqn-k+ nCnnpnq0=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) + Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np例4. 一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每道题选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的数学期望和方差解析：设
9、该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为，所得的分数为，由题意知，4，且B(25，0.6)，则E()250.615，D()250.6(10.6)6.故E()E(4)4E()60，D()D(4)42D()96.所以该学生在这一次测验中的成绩的数学期望与方差分别是60和96.通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解。从而引入的n重伯努利试验的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。通过问题分析，让学生掌握二项分布的概念及其特点。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。通过典例解析，在具体的问题情境中，深化对二项分布的理解。发展学生逻辑
10、推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1.某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为(）AC0.880.22 B0.880.22CC0.280.82 D0.280.82解析：设X为击中目标的次数，则XB(10，0.8)，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为P(X8)C0.88(10.8)2C0.880.22.故选A.答案：A2.已知X是一个随机变量，若XB，则P(X2）等于(）AB CD解析：由题意知n6，p，故P(X2)CC.故选D.答案：D3.已知XB(n，p），E(X）8，D(X）1.6，则n_，p_解析：因
11、为随机变量XB(n，p)，所以E(X)np8，D(X)np(1p)1.6，解得p0.8，n10.4.甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错者得零分假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中每人答对的概率分别为，且各人答对正确与否相互之间没有影响用表示甲队的总得分(1）求随机变量的分布列(2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB）.解析：(1)由已知，甲队中3人回答问题相当于3次独立重复试验，所以B.P(0)C，P(1)C，P(2)C，P(3)C，所以的分布列为0123P(2)用C表示“
12、甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，ABCD，C，D互斥P(C)C.P(D).所以P(AB)P(C)P(D).5.一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.(1）求这位司机遇到红灯数的期望与方差(2）若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间的期望与方差解析：(1)易知司机遇上红灯次数服从二项分布，且B，所以E()62，D()6.(2)由已知30，所以E()30E()60，D()900D()1 200.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心
13、素养。四、小结1.二项分布的定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为PX=k=Cnkpk(1-p)n-k，k=0,1,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial distribution），记作XB(n,p).2.确定一个二项分布模型的步骤:（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；（2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则XB(n，p）.3.一般地，如果XB（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。课后通过对教学过程的反思与研究, 才能不断完善教学设计中的不足, 才能提升教材分析的能力和课堂教学实效.1. 多元展示, 多方评价. 在教学过程中我借问题牵引，保证了课堂教学的顺利实施；而在整个过程中，我对学生所作练习、疑问及时解析评价；学生之间、小组之间的互相评价补充，使学生共享成果分享喜悦，坚定了学好数学的信念，实现了预期目标.2. 创造性的使用教材. 有别于教材，我在教学中,让学生考察了分别考察了两类题型之后再引导学生进行归纳, 这样更贴近学生的认知水平， 学生课后反馈，效果较为理想.
