1、5.3.1函数的单调性(2) 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修二第四章数列，本节课主要学习函数的单调性学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备。函数的单调性是函数性质中的一个重要性质，学生在必修一中已经学习了函数单调性的内容，如利用函数图像、单调性定义来研究函数的单调性，在学习导数的基础上利用导数相关知识研究函数单调性是导数的一个重要应用，也为下一节学习函数的极值打下基础，因此，本节内容具有承上启下的作用。课程目标学科素养A.掌握利用导数判断函数的单调性的一般步骤B探究函数增减的快慢
2、与导数的关系 C.学会处理含参函数的单调性问题1.数学抽象：导数与函数单调性的关系2.逻辑推理：运用导数正负判断函数单调性 3.数学运算：函数单调区间的求解4.直观想象：函数增减的快慢与导数的关系 重点： 导数判断函数的单调性的一般步骤难点： 含参函数的单调性问题多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 温故知新1.函数f (x)的单调性与导函数f (x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数yf (x)：f (x)的正负f (x)的单调性f (x)0单调递_f (x)0单调递_增 ;减 2判断函数yf (x)的单调性第1步：确定函数的_；第2步：求出导数f (x)的_；第3步：用f (x)
3、的_将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f (x)在各区间上的_，由此得出函数yf (x)在定义域内的单调性定义域 ;零点 ;零点 ;正负 探究1. 形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性。例3. 求函数fx=13x3-12x2-2x+1的单调区间.解：函数 fx=13x3-12x2-2x+1 的定义域为R，对f(x)求导，得fx=x2-x-2 =(x+1)(x-2)令fx=0,解得：x1=-1,x2=2x1=-1和x2=2把函数定义域划分成三个区间，fx在各区间上的正负，以及fx的单调性如表所示。所以，f(x)在在 -,
4、-1和(2,+)上单调递增，在 -1,2上单调递减。如图所示如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？用解不等式法求单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f(x)；(3)解不等式f(x)0(或f(x)0)，并写出解集；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.跟踪训练1.求下列函数的单调区间：(1)f (x)3x22ln x；(2)f (x)x2ex. 解(1)f (x)3x22ln x的定义域为(0，)，f (x)6x，由x0，f (x)0，解得x.由x0，f (x)0，解得0x.函数f (x)3x22ln x的单调递增区间为，单调递减区间为.(
5、2)函数的定义域为D(，)f (x)(x2)exx2(ex)2xexx2exex(2xx2)，令f (x)0，由于ex0，x10，x22，用x1，x2分割定义域D，得下表：x(，0)0(0，2)2(2，)f (x)00f (x)f (0)0f (2)f (x)的单调递减区间为(，0)和(2，)，单调递增区间为(0，2)探究2：研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间0,+上增长快慢的情况.分析：研究对数函数y=lnx的导数为y=1xx0,+，所以y=lnx在区间0,+上单调递增。当x越来越大时，y=1x越来越小，所以函数y=lnx递增得越来越慢，图像上升得越来越“平缓”.分析：幂函数y=x
6、3的导数为y=3x20x0,+，所以y=x3在区间0,+上单调递增。当x越来越大时，y=3x2越来越大，所以函数y=x3递增得越来越快，图像上升得越来越“陡峭”.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数yf (x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大_比较“_”(向上或向下)越小_比较“_”(向上或向下)快;陡峭 ;慢;平缓 例4.设x0,fx=lnx,gx=1-1x,两个函数的图像如图所示。判断fx,gx的图像与C1,C2之间的对应关系。解：因为fx=lnx,gx=1-1x,所以fx=1x, gx=1x2,当x=1时，fx=gx=1;当0xfx1当x1时，0g
7、xfx0，(x2)20.由f(x)0得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)；由f(x)0得x3，又定义域为(，2)(2，)，所以函数f(x)的单调递减区间为(，2)和(2,3)2.已知函数f (x)x3ax1为单调递增函数，求实数a的取值范围解由已知得f (x)3x2a，因为f (x)在(，)上是单调增函数，所以f (x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立，因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f (x)3x20，f (x)x31在R上是增函数，所以a0.3已知函数f (x)ae2x(a2)exx，讨论f (x)的单调性解f (x)的定义域为(，)，f (x)2a
8、e2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)若a0，则f (x)0，所以f (x)在(，)上单调递减若a0，则由f (x)0，得xln a.当x(，ln a)时，f (x)0；当x(ln a，)时，f (x)0.所以f (x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增综上，当a0时，f (x)在(，)上单调递减；当a0时，f (x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结1判断或证明函数的单调性，首先确定函数的定义域，然后求得函数的导数，根据导数的正负得到不
9、等式的解集，从而确定函数的单调性2利用导数研究含参数函数的单调性时，常遇到三种情况：(1)区间端点大小不确定型由于函数导数不等式中的区间端点大小不定，因此需根据区间端点的大小确定参数的范围，再分类讨论函数的单调区间(2)区间端点与定义域关系不确定型此类问题一般会有定义域限制，解函数导数不等式的区间端点含参数，此端点与函数定义域的端点大小不确定，因此需分类讨论五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。从具体问题出发，引导学生探究运用导数研究函数单调性的方法和原理，并通过思考、讨论、练习进一步提升学生运用导数判断函数单调性的方法，发展学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养。
