1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第九节 离散型随机变量的均值与方差 考纲传真 (教师用书独具 )1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念 .2.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题 (对应学生用书第 189 页 ) 基础知识填充 1离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 P(X ai) pi(i 1,2， ? ， r) (1)均值 EX a1p1 a2p2 ? arpr，均值 EX 刻画的是 X 取值的 “ 中心位置 ” (2)方差 DX E(X EX)2为随机变 量 X的方差，它刻画了随机变量 X与
2、其均值 EX的 平均偏离程度 2均值与方差的性质 (1)E(aX b) aEX B (2)D(aX b) a2DX(a， b 为常数 ) 3两点分布与二项分布的均值、方差 均值 方差 变量 X 服从两点分布 EX p DX p(1 p) X B(n， p) EX np DX np(1 p) 知识拓展 EX 反映了 x 取值的平均水平， DX 反映了 X 针对 EX 的稳定与波动，集中与离散的程度 区分 x 、 s2、 、 2、 EX、 DX. 基本能力自测 1 (思考 辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关 ( ) (2)
3、随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量 ( ) (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小 . ( ) (4)在篮球比赛中，罚球命中 1 次得 1 分，不中得 0 分，如果某运动员罚球命中的概率为 0.7，那么他罚球 1 次的得分 X 的均值是 0.7.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )已知 X 的分布列为 =【 ;精品教育资源文库 】 = X 1 0 1 P 12 13 16 设 Y 2X 3，则 EY 的值为 ( ) A 73 B 4 C 1 D 1 A EX 1 12 0 13 1 1
4、6 13， 则 EY 2EX 3 3 23 73. 3设随机变量 的分布列为 P( k) 15(k 2,4,6,8,10)，则 D 等于 ( ) A 8 B 5 C 10 D 12 A E 15(2 4 6 8 10) 6， D 15( 4)2 ( 2)2 02 22 42 8. 4 (2017 全国卷 ) 一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次， X 表示抽到的二等品件数，则 DX _. 1.96 由题意得 X B(100,0.02)， 所以 DX 1000.02(1 0.02) 1.96. 5已知 随机变量 X 服从二项分布 B(n， p)，若
5、 EX 30， DX 20，则 p _. 13 由于 X B(n， p)，且 EX 30， DX 20， 所以? np 30，np(1 p) 20， 解得 p13. (对应学生用书第 190 页 ) 离散型随机变量的均值、方差 (2017 全国卷 ) 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根=【 ;精品教育资源文库 】 = 据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温 (单位： ) 有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高
6、气温低于20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 (1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位：瓶 )的分布列； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元 )当六月份这种酸奶一天的进货量 n(单位：瓶 )为多少时， Y 的数学期望达到最大值？ 解 (1)由题意知， X 所有可能取值为 200,300,500，由表格数据知 P(X
7、200)2 1690 0.2， P(X 300)3690 0.4， P(X 500) 25 7 490 0.4. 因此 X 的分布列为 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为 500 瓶，至少为 200 瓶，因此只需考虑200 n500. 当 300 n500 时， 若最高气温不低于 25，则 Y 6n 4n 2n； 若最高气温位于区间 20,25)，则 Y 6300 2(n 300) 4n 1 200 2n； 若最高气温低于 20，则 Y 6200 2(n 200) 4n 800 2n. 因此 EY 2n0.4 (1 200 2n)
8、0.4 (800 2n)0.2 640 0.4n. 当 200 nEQ2， 所以实施方案 1，第二个月的利润更大 规律方法 利用均值、方差进行决策的两个方略 当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断 . 若两随机变量均值相同或相差不大 .则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策 . 跟踪训练 (2018 呼和浩特一调 )春节前夕我市某公司要将一批新鲜牛羊肉用汽车运往指定城市 A，如果能按约 定日期送到，则该公司可获得销售收入 30 万元，每提前一天送到，可获得奖励 1 万元，每迟到一天送到，销售收入将少获得 1 万元为保证按时送达，公司只
9、能在约定日期的前两天出发，若行驶路线只能选择公路 1 或公路 2 中的一条，运费及其他信息如下表所示 . 【导学号： 79140378】 路线 统计 不堵车的情况下送达到城市 A 所需的时间 (天 ) 堵车的情况下送达到城市A 所需的时间 (天 ) 堵车的概率 运费 (万元 ) 公路 1 2 3 0.1 4 公路 2 1 4 0.3 2 (1)记汽车走公路 2 时公司获得的毛利润 (收入运费 )为 (万元 )，求 的分布列和数学期望 E ； (2)假设你是公司的决策者，会选择哪条公路运送，并说明理由 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)汽车走公路 2 时，不堵车时公司获得的毛利润 30 1 2 29(万元 ) 堵车时公司获得的毛利润 30 2 2 26(万元 ) 汽车走公路 2 时获得的毛利润 的分布列为 29 26 P 0.7 0.3 E 290.7 260.3 28.1(万元 ) (2)设汽车走公路 1 时获得的毛利润为 ， 则不堵车时获得的毛利润 30 4 26(万元 )， 堵车时获得的毛利润 30 1 4 25(万元 )， 汽车走公路 1 时获得的毛利润 的分布列为 26 25 P 0.9 0.1 E 260.9 250.1 25.9(万元 ) E E ， 选择公路 2 可以更多获利
