1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第一节 绝对值不等式 考纲传真 (教师用书独具 )1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件： |a b| a| |b|(a， b R)， |a b| a c| |c b|(a， b， c R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax b| c； |ax b| c； |x a| |x b| c. (对应学生用书第 204 页 ) 基础知识填充 1含绝对值的不等式的性质 定理 1：如果 a， b 是实数，则 |a b| |a| |b|，当且仅当 ab0 时，等号成立 定理 2：如果 a， b， c 是实数，那么 |a
2、 c| a b| |b c|，当且仅当 (a b)(b c)0时，等号成立 2绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式 |x|a 的解法： 不等式 a0 a 0 aa x|x a 或 x a x R|x0 R (2)|ax b| c， |ax b| c(c 0)型不等式的解法： | ax b| c? c ax b c； | ax b| c?ax b c 或 ax b c. (3)|x a| |x b| c， |x a| |x b| c(c 0)型不等式的解法： 利用绝对值不等式的几何意义求解； 利用零点分段法求解； 构造函数，利用函数的图像求解 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的
3、正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)|x a| |x b|的几何意义是表示数轴上的点 x 到点 a， b 的距离之和 ( ) (2)不等式 |a| |b| a b|等号成立的条件是 ab0.( ) (3)不等式 |a b| a| |b|等号成立的条件是 ab0.( ) (4)当 ab0 时， |a b| |a| |b|成立 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2不等式 15 时，原不等式等价于 x 1 (x 5)1 的解集 =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 1 解 (1)由题意得 f(x)? x 4， x 1，3x 2， 1 x 32， x 4， x 32，故 y
4、f(x)的图像如图所示 (2)由 f(x)的函数表达式及图像可知， 当 f(x) 1 时，可得 x 1 或 x 3； 当 f(x) 1 时，可得 x 13或 x 5. 故 f(x) 1 的解集为 x|1 x 3， f(x) 1 的解集为?x? x 13或 x 5 . 所以 |f(x)| 1 的解集为?x? x 13或 1 x 3或 x 5 . 规律方法 解绝对值不等式的基本方法 利用绝对值的定义，通过分类讨论，用零点分段法转化为解不含绝对值符号的普通不等式，零点分段法的操作程序是：找零点，分区间，分段讨论； 当不等式两端均非负时，可通过两边平方的方法转化为解 不含绝对值符号的普通不等式； 利用
5、绝对值的几何意义，数形结合求解 . 跟踪训练 (2018 海口调研 )已知函数 f(x) |x 2|. (1)求不等式 f(x) x2 40 的解集； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)设 g(x) |x 7| 3m，若关于 x 的不等式 f(x)4 x2， 即 x 24 x2或 x 24 x2，得 x2 或 x2 或 x2 或 x9，解得 m3， 所以 m 的取值范围为 (3， ) 绝对值不等式的证明 (2016 全国卷 ) 已知函数 f(x) ? ?x 12 ? ?x 12 ， M 为不等式 f(x) 2 的解集 (1)求 M； (2)证明：当 a， b M 时， |a b| |1
6、ab|. 解 (1)f(x)? 2x， x 12，1， 12 x 12，2x， x 12.当 x 12时，由 f(x) 2 得 2x 2，解得 x 1； 当 12 x 12时， f(x) 2； 当 x 12时，由 f(x) 2 得 2x 2，解得 x 1. 所以 f(x) 2 的解集 M x| 1 x 1 (2)证明：由 (1)知，当 a， b M 时， 1 a 1， 1 b 1，从而 (a b)2 (1 ab)2 a2 b2 a2b2 1 (a2 1)(1 b2) 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 因此 |a b| |1 ab|. 规律方法 证明绝对值不等式三种常用方法 利用绝对值的定
7、义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明 . 利用不等式 |a| |b| a b| a| |b|进行证明 . 转化为函数问题，利用数形结 合进行证明 . 跟踪训练 (2018 长沙模拟 (二 )已知函数 f(x) |x a2| |x a 1|. (1)证明： f(x) 34； (2)若 f(4)1 时， 式化为 x2 x 40 ， 从而 1 x 1 172 . 所以 f(x) g(x)的解集为 ? ?x? 1 x 1 172 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)当 x 1,1时， g(x) 2， 所以 f(x) g(x)的解集包含 1,1等价于当 x 1,1时， f(x)2. 又 f(
8、x)在 1,1的最小值必为 f( 1)与 f(1)之一， 所以 f( 1)2 且 f(1)2 ，得 1 a1. 所以 a 的取值范围为 1,1 规律方法 1.研究含有绝对值的函数问题，常利用零点分段法或数形结合法 求解 . 2.与恒成立或能成立相关的求参问题，常构造函数转化为求最值问题 . 跟踪训练 (2018 郑州第二次质量预测 )已知函数 f(x) |2x 1|， g(x) |x| a. (1)当 a 0 时，解不等式 f(x) g(x)； (2)若存在 x R，使 f(x) g(x)成立，求实数 a 的取值范围 . 【导学号： 79140395】 解 (1)当 a 0 时，由 f(x) g(x)，得 |2x 1| x|. 两边平方整理，得 3x2 4x 10 ， 解得 x 1 或 x 13. 所以原不等式的解集为 ( ， 1 ? ? 13， . (2)由 f(x) g(x)，得 a|2 x 1| |x|. 令 h(x) |2x 1| |x|， 则 h(x)? x 1， x 12，3x 1， 12x0，x 1， x0.由分段函数图像可知 h(x)min h? ? 12 12， 从而所求实数 a 的取值范围为 ? ? 12， .
