1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第三节 函数的奇偶性、周期性与对称性 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解函数奇偶性的含义 .2.会运用基本初等函数的图像分析函数的奇偶性 .3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 (对应学生用书第 13 页 ) 基础知识填充 1奇函数、偶函数 图像关于原点对称的函数叫作奇函数在奇函数 f(x)中， f(x)和 f( x)的绝对值相等，符号相反即 f( x) f(x)，反之，满足 f( x) f(x)的函数一定是奇函数 图像关于 y 轴对称的函数叫作偶函数在偶函数 f(x)中， f(x) f( x)，反之，满足f( x) f(x)的
2、函数一定是偶函数 2奇 (偶 )函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ；偶函数在关于原点的区间上的单调性 相反 (填 “ 相同 ”“ 相反 ”) (2)在公共定义域内 两个奇函数和函数是 奇函数 ，两个奇函数的积函数是 偶函数 两个偶函数的和函数、积函数是 偶函数 一个奇函数，一个偶函数的积函数是 奇函数 (3)若函数 f(x)是奇函数且 x 0 处有定义，则 f(0) 0. 3函数的周期性 (1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在非零常数 T，对定义 域内的任意一个 x，都有 f(x T) f(x)，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期 (2
3、)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个 最小正数 就叫作 f(x)的最小正周期 4函数的对称性常见的结论 (1)函数 y f(x)关于 x a b2 对称 ?f(a x) f(b x)?f(x) f(b a x) 特殊：函数 y f(x)关于 x a 对称 ?f(a x) f(a x)?f(x) f(2a x)； 函数 y f(x)关于 x 0 对称 ?f(x) f( x)(即为偶函数 ) (2)函数 y f(x)关于点 (a， b)对称 ?f(a x) f(a x) 2b?f(2a x) f( x)2b. 特殊：函数 y f(x)关于点 (a,0)
4、对称 ?f(a x) f(a x) 0?f(2a x) f( x) 0； 函数 y f(x)关于 (0,0)对称 ?f(x) f( x) 0(即为奇函数 ) (3)y f(x a)是偶函数 ?函数 y f(x)关于直线 x a 对称； =【 ;精品教育资源文库 】 = y f(x a)是奇函数 ?函数 y f(x)关于点 (a,0)对称 知识拓展 1函数奇偶性常用结论 (1)若奇函数 f(x)在 x 0 处有定义，则 f(0) 0. (2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x) f(|x|) (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 (4)y
5、 f(x a)是奇函数，则 f( x a) f(x a)； y f(x a)是偶函数，则 f( x a) f(x a) 2函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(x a) f(x)，则 T 2a(a 0) (2)若 f(x a) 1f x ，则 T 2a(a 0) (3)若 f(x a) 1f x ，则 T 2a(a 0) 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)函数 y x2， x(0 ， ) 是偶函数 ( ) (2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点 ( ) (3)若函数 y f(x a
6、)是偶函数，则函数 y f(x)关于直线 x a 对称 ( ) (4)若函数 y f(x b)是奇函数，则函数 y f(x)关于点 (b,0)中心对称 ( ) (5)函数 f(x)在定义域上满足 f(x a) f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a 0)的周期函数 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2已知 f(x) ax2 bx 是定义在 a 1,2a上的偶函数，那么 a b 的值是 ( ) A 13 B.13 C.12 D 12 B 依题意 b 0，且 2a (a 1)， b 0 且 a 13，则 a b 13. 3 (教材改编 )下列函数 为偶函数的是 ( ) A f
7、(x) x 1 B f(x) x2 x =【 ;精品教育资源文库 】 = C f(x) 2x 2 x D f(x) 2x 2 x D D 中， f( x) 2 x 2x f(x)， f(x)为偶函数 4已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x 4) f(x)，则 f(8)的值为 ( ) A 1 B 0 C 1 D 2 B f(x)为定义在 R 上的奇函数， f(0) 0， 又 f(x 4) f(x)， f(8) f(0) 0. 5 (2017 全国卷 ) 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x( ， 0)时， f(x) 2x3 x2，则 f(2) _. 12 法一：令 x
8、0，则 x 0. f( x) 2x3 x2. 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f( x) f(x) f(x) 2x3 x2(x 0) f(2) 22 3 22 12. 法二： f(2) f( 2) 2( 2)3 ( 2)2 12. (对应学生用书第 14 页 ) 函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x) 1 x2 x2 1； (2)f(x) ln( x2 1 x)； (3)f(x) (x 1) 1 x1 x； (4)f(x)? x2 x， x 0，x2 x， x 0. 解 (1)由? x2 10 ，1 x20 ， 得 x 1 ， f(x)的定义域为 1,1 =【 ;精
9、品教育资源文库 】 = 又 f(1) f( 1) 0， f(1) f( 1) 0， f(x) f( x) f(x)既是奇 函数又是偶函数 (2)f(x)的定义域为 R， f( x) (ln x2 1 x) ln 1x2 1 x ln( x2 1 x) f(x)， f(x)为奇函数 (3)由 1 x1 x0 可得函数的定义域为 ( 1,1 函数定义域不关于原点对称， 函数为非奇非偶函数 (4)易知函数的定义域为 ( ， 0)(0 ， ) ，关于原点对称，又当 x 0 时， f(x) x2 x， 则当 x 0 时， x 0， 故 f( x) x2 x f(x)； 当 x 0 时， f(x) x2
10、x，则当 x 0 时， x 0， 故 f( x) x2 x f(x)，故原函数是偶函数 规律方法 判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法 (2)图像法 (3)性质法 在公共定义域内有：奇 奇奇，偶 偶偶，奇 奇偶，偶 偶偶，奇 偶奇 跟踪训练 (1)(2018 深圳二调 )下列函数中，既是偶函数又在 (0,1)上单调递增的是( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A y cos x B y x C y 2|x| D y |lg x| (2)设函 数 f(x)， g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是 ( ) A f(x)g(x)是偶函数
11、B |f(x)|g(x)是奇函数 C f(x)|g(x)|是奇函数 D |f(x)g(x)|是奇函数 (1)C (2)C (1)由于对应函数是偶函数，可以排除选项 B， D；对应函数在 (0,1)上单调递增，可以排除选项 A； y 2|x|是偶函数，又在 (0,1)上单调递增，选项 C 正确，故选C. (2)A：令 h(x) f(x) g(x)，则 h( x) f( x) g( x) f(x) g(x) h(x)， h(x)是奇函数， A 错 B：令 h(x) |f(x)|g(x)，则 h( x) |f( x)|g( x) | f(x)| g(x) |f(x)|g(x) h(x)， h(x)是
12、偶函数， B 错 C：令 h(x) f(x)|g(x)|，则 h( x) f( x)|g( x)| f(x)| g(x)| h(x)， h(x)是奇函数， C 正确 D：令 h(x) |f(x) g(x)|，则 h( x) |f( x) g( x)| | f(x) g(x)|f(x) g(x)| h(x)， h(x)是偶函数， D 错 函数的周期性 (1)若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0log24.1log24 220.8， f(log25)f(log24.1)f(20.8)， abc. 故选 C. (2)由题意得 f(x 4) f(2 (x 2) f( x) f(x)， f(x 8) f(x 4)f(x)， 函数 f(x)以 8 为周期， f(2 017) f(1) 1，故选 B. (3) 函数 y f(x)的图像关于直线 x 2 对称， f(2 x) f(2 x)， f(3) f(1) 3， 又 y f(x)是偶函数， f( 1) f(1) 3.
