1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第三节 几何概型 考纲传真 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率 .2.了解几何概型的意义 (对应学生用书第 153 页 ) 基础知识填充 1几何概型 向平面上有限区域 (集合 )G 内随机地投掷点 M，若点 M 落在子区域 G1 G 的概率与 G1的面积成正比，而与 G 的形状、位置无关，即 P(点 M 落在 G1) G1的面积G的面积 ，则称这种模型为几何概型 2几何概型中的 G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是 体积 之比或 长度 之比 3借助 模拟方法 可以估计随机事件发生的概率 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通
2、过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法 (2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法这个方法的基本步骤是 用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义； 统计代表某意义的随机数的个数 M 和总的随机数的个数 N； 计算频率 fn(A) MN作为所求概率的近似值 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率 ( ) (2)从区间 1,10内任取一个数，取到 1 的概率是 110.( ) (3)概率为 0 的事件一定是不可能事件 ( ) (4)在几何概型定义中的区域
3、可以是线段、平面图形、立体图形 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A P(A) 38， P(B) 28， P(C) 26， P(D) 13， P(A)P(C) P(D)P(B) 3 (2016 全国卷 )某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 ( ) A 710 B 58 C 38 D 310 B 如图
4、，若该行人在时间段 AB 的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待 15 秒才出现绿灯 AB 长度为 40 15 25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 40 1540 58，故选 B 4 (2018 石家庄模拟 )如图 1031 所示，在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子，有180 粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 _ 图 1031 0 18 由题意知， S阴S正 1801 000 0.18. S 正 1， S 阴 0.18. 5 设不等式组? 0 x2 ，0 y2 表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大
5、于 2 的概率是 _. 【导学号： 00090357】 1 4 如图所示，区域 D 为正方形 OABC 及其内部，且区域 D 的面积 S 4.又阴影部分表示的是区域 D 内到坐标原点的距离大于 2 的区域易知该阴影部分的面积 S 阴 4 ， 所求事件的概率 P 4 4 1 4. =【 ;精品教育资源文库 】 = (对应学生用书第 154 页 ) 与长度 (角度 )有关的几何概型 (1)(2016 全国卷 )某公司的班车在 7： 30,8： 00,8： 30 发车，小明在 7： 50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 ( )
6、 A 13 B 12 C 23 D 34 图 1032 (2)如图 1032 所示，四边形 ABCD 为矩形， AB 3， BC 1，在 DAB 内作射线 AP，则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为 _ (3)(2017 江苏高考 )记函数 f(x) 6 x x2的定义域为 D 在区间 4,5上随机取一个数 x，则 x D 的概率是 _ (1)B (2)13 (3)59 (1)如图， 7： 50 至 8： 30 之间的时间长度为 40 分钟，而小明等车时间不超过 10 分钟是指小明在 7： 50 至 8： 00 之间或 8： 20 至 8： 30 之间到达发车站，此两种情况下的时间长度
7、 之和为 20 分钟，由几何概型概率公式知所求概率为 P 2040 12.故选 B (2)以 A 为圆心，以 AD 1 为半径作圆弧 交 AC， AP， AB 分别为 C ， P ， B. 依题意，点 P 在 上任何位置是等可能的，且射线 AP 与线段 BC 有公共点，则事件 “ 点P 在 上发生 ” 又在 Rt ABC 中，易求 BAC B AC 6. =【 ;精品教育资源文库 】 = 故所求事件的概率 P 6 12 1 13. (3)由 6 x x20 ，解得 2 x3 ， D 2,3如图，区间 4,5的长度为 9，定义域 D 的长度为 5， P 59. 规律方法 1.解答几何概型问题的关
8、键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用 “ 线段长度 ” 为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置 2 (1)第 (2)题易出现 “ 以线段 BD 为测度 ” 计算几何概型的概率，导致错求 P 12. (2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧 长的大小作为区域度量来计算概率事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比 变式训练 1 (1)(2017 唐山质检 )设 A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与 A连接，则弦长超过半径 2倍的概率是 ( ) 【导学号： 00090358】 A 34
9、B 12 C 13 D 35 (2)(2016 山东高考 )在 1,1上随机地取一个数 k，则事件 “ 直线 y kx 与圆 (x 5)2 y2 9 相交 ” 发生的概率为 _ (1)B (2)34(1)作等腰直角 AOC 和 AMC， B 为圆上任一点，则当点 B 在 上运动时，弦长 |AB| 2R， P 12. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)由直线 y kx 与圆 (x 5)2 y2 9 相交，得 |5k|k2 13， 即 16k29，解得 34k34. 由几何概型的概率计算公式可知 P34 ? 342 34. 与面积有关的几何概型 角度 1 与模拟方法相关的几何概型 (2016
10、 全国卷 )从区间 0,1随机抽取 2n 个数 x1， x2， ? ， xn， y1， y2， ? ， yn，构成 n 个数对 (x1， y1)， (x2， y2)， ? ， (xn， yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 ( ) A 4nm B 2nm C 4mn D 2mn C 因为 x1， x2， ? ， xn， y1， y2， ? ， yn都在区间 0,1内随机抽取，所以构成的 n 个数对 (x1， y1)， (x2， y2)， ? ， (xn， yn)都在正方形 OABC 内 (包括边界 )，如图所示若两数的平方和小于 1，则
11、对应的数对在扇形 OAC 内 (不包括扇形圆弧上的点所对应的数对 )，故在扇形 OAC 内的数对有 m 个用随机模拟的方法可得 S扇形S正方形 mn，即 4 mn，所 以 4mn. 角度 2 与线性规划交汇问题 (2018 长沙模拟 )在区间 0,4上随机取两个实数 x， y，使得 x 2y8 的概率为( ) A 14 B 316 C 916 D 34 D 由 x， y 0,4可知 (x， y)构成的区域是边长为 4 的正方形及其内部，其中满足 x2y8 的区域为如图所示的阴影部分 =【 ;精品教育资源文库 】 = 易知 A(4,2)， S 正方形 16， S 阴影 2 12. 故 “ 使得
12、x 2y8” 的概率 P S阴影S正方形 34. 规律方法 求解与面积有关的几何概型的注意点 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解 变式训练 2 (1)(2017 全国卷 )如图 1033，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则 此点取自黑色部分的概率是 ( ) 【导学号： 00090359】 图 1033 A 14 B 8 C 12 D 4 (2)(2018 莆田模拟 )从区间 (0,1)中任
13、取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长不大于 1 的概率是 ( ) A 8 B 4 C 12 D 34 (1)B (2)B (1)不妨 设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形内切圆的半径为 1，可得 S 正方形 4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得 S 黑 S 白 12S 圆 2 ，所以由几何概型知所求概率 P S黑S正方形222 8. 故选 B =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)任取的两个数记为 x， y，所在区域是正方形 OABC 内部，而符合题意的 x， y 位于阴影区域内 (不包括 x， y 轴 )，故所求概率 P141211
14、4. 与体积有关的几何概型 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 ( ) A 12 B 1 12 C 6 D 1 6 B 设 “ 点 P 到点 O 的距离大于 1” 为事件 A 则事件 A 发生时，点 P 位于以点 O 为球心，以 1 为半径的半球的外部 V 正方体 23 8， V 半球 431 3 12 23. P(A)23 2323 112. 规律方法 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积 (总空间 )以及事件的体积 (事件空间 )，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解 变式训练 3 如图 1034，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，在正方体内随机取点 M，则使四棱锥 MABCD 的体积小于 16的 概率为 _ 图 1034 12 设四棱锥 MABCD 的高为 h，由于 V 正方体 1. 且 13 SABCD h 16， =【 ;精品
