1、=【 ;精品教育资 源文库 】 = 第三节 二项式定理 考纲传真 (教师用书独具 )会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 (对应学生用书第 173 页 ) 基础知识填充 1二项式定理 二项式定理 (a b)n C0nan C1nan 1b1 ? Crnan rbr ? Cnnbn(n N ) 二项展开式的通项公式 Tr 1 Crnan rbr，它表示第 r 1 项 二项式系数 二项展开式中各项的系 数 Crn(r 0,1,2， ? ， n) 2.二项式系数的性质 (1)0 r n 时， Crn与 Cn rn 的关系是 Crn Cn rn . (2)二项式系数先增大后减中间项最大 当 n
2、 为偶数时，第 1 项的二项式系数最大，最大值为 ；当 n 为奇数时，第 项和 项的二项式系数最大，最大值为 和 . (3)各二项式系数和： C0n C1n C2n ? Cnn 2n， C0n C2n C4n ? C1n C3n C5n ? 2n 1. 知识拓展 二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n 1. (2)各项押次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次 数由零逐项增 1 直到 n. (4)二项式的系数从 C0n， C1n，一直到 Cn 1n ， Cn
3、n. 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)Cknan kbk是 (a b)n的展开式中的第 k 项 ( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项 ( ) (3)(a b)n的展开式中某一项的二项式系数与 a， b 无关 ( ) (4)若 (3x 1)7 a7x7 a6x6 ? a1x a0，则 a7 a6 ? a1的值为 128.( ) 解析 (1)错误应为第 k 1 项 (2)错误当 a， b 中包含数字时，系数最大的项不一定为中间一项或中间两项 =【 ;精品教育资 源文库 】 = (3)正确二项式系数只与 n 和项
4、数有关 (4)错误令 x 1，可得 a7 a6 ? a1 a0 27 128. 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )二项式 ? ?2x 1x26的展开式中，常数项的值是 ( ) A 240 B 60 C 192 D 180 A 二项式 ? ?2x 1x26展开式的通项为 Tr 1 Cr6(2x)6 r? ?1x2r 26 rCr6x6 3r，令 6 3r 0，得r 2，所以常数项 为 26 2C26 16 6521 240. 3已知 (2 x)10 a0 a1x a2x2 ? a10x10，则 a8等于 ( ) A 180 B 180 C 45 D 45 A 由题意得 a8
5、 C81022( 1)8 180. 4 (2017 山东高考 )已知 (1 3x)n的展开式中含有 x2项的系数是 54，则 n _. 4 (1 3x)n的展开式的通项为 Tr 1 Crn(3x)r.令 r 2，得 T3 9C2nx2.由题意得 9C2n 54，解得 n 4. 5在 ? ?x 2x25的展开式中， x2的系数是 _，各项系数之和为 _ (用数字作答 ) 10 243 x2的系数为 C152 10；令 x 1，得各项系数之和为 (1 2)5 243. (对应学生用书第 173 页 ) 二项展开式中的特定 项或特定项的系数 角度 1 求展开式中的某一项 (2018 合肥二测 )在
6、? ?x 1x 14的展开式中，常数项为 _ 5 由题知，二项式展开式为 C04? ?x 1x4( 1)0 C14? ?x 1x3( 1) C24? ?x 1x2( 1)2 C34? ?x 1x ( 1)3 C44? ?x 1x0( 1)4，则常数项为 C04C 24=【 ;精品教育资 源文库 】 = C24C 12 C44 6 12 1 5. 角度 2 求展开式中的项的系数或二项式系数 (2017 全国卷 ) ? ?1 1x2 (1 x)6展开式中 x2的系数为 ( ) A 15 B 20 C 30 D 35 C 对于 ? ?1 1x2 (1 x)6，若要得到 x2项，可以在 ? ?1 1x
7、2 中选取 1，此时 (1 x)6中要选取含 x2的项，则系数为 C26；当在 ? ?1 1x2 中选取 1x2时， (1 x)6中要选取含 x4的项，即系数为 C46，所以，展开式中 x2项的系数为 C26 C46 30，故选 C. 角度 3 由已知条件求 n 的值或参数的值 (2018 云南二检 )在 ( x 2 1x)n 的二项展开式中，若第四项的系数为 7，则 n ( ) A 9 B 8 C 7 D 6 B 由题意，得 C3n? ? 123 7，解得 n 8，故选 B. 规律方法 求二项展开式中的特定项的方法 求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项 Tk 1 Cknan kbk的特点
8、，一般需要建立方程求 k，再将 k 的值代回通项求解，注意 k 的取值范围 k 0， 1， 2， ? ， n 第 m 项：此时 k 1 m，直接代入通项； 常数项：即这项中不含 “ 变元 ” ，令通项中 “ 变元 ” 的幂指数为 0 建立方程； 有理项：令通项中 “ 变元 ” 的幂指数为整数建立方程 . 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解 . 求特定项或特定项的系数要多从组合的角度求解，一般用通项公式太麻烦 . 跟踪 训练 (1)(2017 全国卷 )( x y)(2x y)5的展开式中 x3y3的系数为 ( ) A 80 B 40 C 40 D 80 (2)在?x2 1
9、3xn的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 ( ) 【导学号： 79140347】 A 7 B 7 C 28 D 28 =【 ;精品教育资 源文库 】 = (3)(2018 西宁检测 (一 )若 ? ?x2 axn的展开式中，二项式系数和为 64，所有项的系数和为 729，则 a 的值为 _ (1)C (2)B (3) 4 或 2 (1)因为 x3y3 x( x2y3)，其系数为 C352 2 40， x3y3 y( x3y2)，其系数为 C252 3 80. 所以 x3y3的系数为 80 40 40. 故选 C. (2)由题意知 n2 1 5，解得 n 8，?x2
10、13x8的展开式的通项 Tk 1 Ck8? ?x28 k? 13xk ( 1)k2k 8Ck8x8 43k. 令 8 4k3 0 得 k 6，则展开式中的常数项为 ( 1)626 8C68 7. (3)由二项式系数和为 64 得 2n 64，解得 n 6.令 x 1，得所有项的系数和为 (1a)6 729，解得 a 2 或 a 4. 二项式系数的和或各项系数和 (1)已知 (1 x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 ( ) A 212 B 211 C 210 D 29 (2)(2015 全国卷 )( a x)(1 x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的
11、系数之和为 32，则 a _. (1)D (2)3 (1)(1 x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等， C 3n C7n，解得 n 10. 从而 C010 C110 C210 ? C1010 210， 奇数项的二项式系数和为 C010 C210 ? C1010 29. (2)设 (a x)(1 x)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5. 令 x 1，得 (a 1)2 4 a0 a1 a2 a3 a4 a5. 令 x 1，得 0 a0 a1 a2 a3 a4 a5. ，得 16(a 1) 2(a1 a3 a5) 232 ， a 3. 规律方法 赋值法的应用
12、(1)对形如 (ax b)n(a， b R)的式子求其展开式各项系数之和，常用赋值法，只需令 x 1即可 =【 ;精品教育资 源文库 】 = (2)对形如 (ax by)n(a， b R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x y 1 即可 (3)一般地，对于多项式 (a bx)n a0 a1x a2x2 ? anxn，令 g(x) (a bx)n，则 (a bx)n展开式中各项的系数的和为 g(1)， (a bx)n展开式中奇数项的系数和为 12g(1) g( 1)， (a bx)n展开式中偶数项的系数和为 12g(1) g( 1) 跟踪训练 (1)(2018 合肥一检 )已知 (ax b
13、)6的展开式中 x4项的系数与 x5项的系数分别为 135 与 18，则 (ax b)6展开式所有项系数之和为 ( ) A 1 B 1 C 32 D 64 (2)(2018 杭州质检 )若 ? ?2x 1x2n的展开式中所有二项式系数和为 64，则 n _；展开式中的常数项是 _ (1)D (2)6 240 (1)由题意可得? C26a4b2 135，C16a5b 18， 解得 a 1， b 3 或 a 1， b 3， 则 (ax b)6 (x 3)6，令 x 1 得展开式中所有项的系数和为 ( 2)6 64，故选 D. (2)由 ? ?2x 1x2n的展开式中所有二次项系数和为 64，得 2
14、n 64， n 6，则展开式第 r 1 项是 Tr 1 Cr6(2x)6 r? ? 1x2r Cr62 6 r( 1)rx6 3r，当 r 2 时为常数项，则常数项是 C262 4( 1)2 1516 240. 二项式定理的应用 (1)(2017 豫东名校模拟 )设复数 x 2i1 i(i是虚数单位 )，则 C12 017x C22 017x2 C32 017x3 ? C2 0172 017x2 017 ( ) A i B i C 1 i D 1 i (2)设 a Z，且 0 a13，若 512 012 a 能被 13 整除，则 a ( ) A 0 B 1 C 11 D 12 =【 ;精品教育
15、资 源文库 】 = (1)C (2)D (1)x 2i1 i 1 i， C12 017x C22 017x2 C32 017x3 ? C2 0172 017x2 017 (1 x)2 017 1 i2 017 1 1 i. (2)512 012 a (52 1)2 012 a C02 01252 2 012 C1201252 2 011 ? C2 0112 01252( 1)2 011 C2 0122 012( 1)2 012 a， C 02 01252 2 012 C1201252 2 011 ? C2 0112 01252( 1)2 011能被 13 整除 且 512 012 a 能被 13 整除， C 20122012( 1)2 012 a 1 a 也能被 13 整除 因此 a 可取值 12. 规律方法 1.逆用二项式定理的关键 根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解 . 2.利用二项式定理解决整除问题的思路 观察除式与被除式间的
