1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 坐标系与参数方程 第一节 坐标系 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：? x x ，y y 的作用下，点 P(x， y)对应到点 P( x ， y) ， 称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 2极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个 定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条 射线 Ox，叫做极轴；再选定一个 长度单位 、一个 角度单位 (通 常取弧度 )及其正方向 (通常取逆时针方向 )，这样就建立了一个极坐标系 (2)极坐标 极径：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M
2、 的距离 |OM|叫做点 M 的极径，记为 . 极角：以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为 . 极坐标：有序数对 ( ， )叫做点 M 的极坐标，记为 M( ， ) 一般不作特殊说明时，我们认为 0 ， 可取任意实数 3极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是 (x， y)，极坐标是 ( ， )，则它们之间的关系为： ? x cos ，y sin ； ? 2 x2 y2，tan yx x 4简单曲线的极坐标方程 曲线 极坐标方程 圆心为极点，半径为 r 的圆 r(0 0 时，可取 2 ；当 x 0， y0)在以坐标原点为极点，
3、x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 4cos . (1)说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程； (2)直线 C3的极坐标方程为 0，其中 0满足 tan 0 2，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a. 解： (1)消去参数 t 得到 C1的普通方程为 x2 (y 1)2 a2，则 C1是以 (0,1)为圆心， a为半径的圆 将 x cos ， y sin 代入 C1的普通方程中，得到 C1的极坐标方程为 2 2 sin 1 a2 0. (2)曲线 C1， C2的公共点的 极坐标满足方程组 ? 2 2 sin 1 a2 0， 4cos . 若 0 ，由方程
4、组得 16cos2 8sin cos 1 a2 0， 由已知 tan 2，可得 16cos2 8sin cos 0， 从而 1 a2 0，解得 a 1(舍去 )或 a 1. 当 a 1 时，极点也为 C1， C2的公共点，且在 C3上 所以 a 1. 5 (2018 洛阳模拟 )在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2 (y 2)2 4.以 O 为极点，x 轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系 (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)直线 l 的极坐标方程是 2 sin? ? 6 5 3，射 线 OM： 6 与圆 C 的交点为 O，P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长 解： (1
5、)将 x cos ， y sin 代入 x2 (y 2)2 4， 得圆 C 的极坐标方程为 4sin . (2)设 P( 1， 1)，则由? 4sin ， 6 ， 解得 1 2， 1 6. 设 Q( 2， 2)，则由? 2 sin? ? 6 5 3， 6 ，=【 ;精品教育资源文库 】 = 解得 2 5， 2 6. 所以 |PQ| 2 1 3. 6在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 cos? ? 3 1， M， N 分别为 C 与 x 轴， y 轴的交点 (1)求 C 的直角坐标方程，并求 M， N 的极坐标； (2)设 MN 的
6、中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程 解： (1)由 cos? ? 3 1 得 ? ?12cos 32 sin 1. 从而 C 的直角坐标方程为 12x 32 y 1，即 x 3y 2. 当 0 时， 2，所以 M(2,0) 当 2 时， 2 33 ，所以 N? ?2 33 ， 2 . (2)由 (1)知 M 点的直角坐标为 (2,0)， N 点的直角坐标为 ? ?0， 2 33 . 所以 P 点的直角坐标为 ? ?1， 33 ，则 P 点的极坐标为 ? ?2 33 ， 6 ，所以直线 OP 的极坐标方程为 6( R) 7 (2018 福建质检 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的普通方
7、程为 (x 2)2 y2 4，在以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 2sin ，曲线 C3： 6( 0)， A(2,0) (1)把 C1的普 通方程化为极坐标方程； (2)设 C3分别交 C1， C2于点 P， Q，求 APQ 的面积 解： (1)因为 C1的普通方程为 (x 2)2 y2 4， 即 x2 y2 4x 0， 所以 C1的极坐标方程为 2 4 cos 0，即 4cos . (2)依题意，设点 P， Q 的极坐标分别为 ? ? 1，6 ， ?2，6 . 将 6 代入 4cos ，得 1 2 3， 将 6 代入 2sin ，得 2 1， 所以 |PQ| | 1 2| 2 3 1.
