1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四节 二次函数与幂函数 考纲传真 1.(1)了解幂函数的概念； (2)结合函数 y x， y x2， y x3， y x12， y1x的图像，了解它们的变化情况 .2.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题 (对应学生用书第 14 页 ) 基础知识填充 1二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式： f(x) ax2 bx c(a0) ； 顶点式： f(x) a(x h)2 k(a0) ，顶点坐标为 ( h， k)； 零点式 ： f(x) a(x x1)(x x2)(a0) ， x1， x2为 f(x)的零点 (2)
2、二次函数的图像与性质 函数 y ax2 bx c(a 0) y ax2 bx c(a 0) 图像 定义域 R 值域 ? ?4ac b24a ， ? ， 4ac b24a 单调性 在 ? ? ， b2a 上是 减少的 ， 在 ? ? b2a， 上是 增加的 在 ? ? ， b2a 上是 增加的 ， 在 ? ? b2a， 上是 减少的 对称性 函数的图像关于 x b2a对称 2. 幂函数 (1)定义：形如 y x ( R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 是常数 (2)五种常见幂函数的图像与性质 函数 特征 性质 y x y x2 y x3 y x12 y x 1 图像 =【 ;精品教育资源
3、文库 】 = 定义域 R R R x|x0 x|x0 值域 R y|y0 R y|y0 y|y0 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 ( ， 0)减， (0， ) 增 增 增 ( ， 0)和 (0， ) 减 公共点 (1,1) 知识拓展 1一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2 bx c 0(a0) 恒成立的充要 条件是? a 0， 0. (2)ax2 bx c 0(a0) 恒成立的充要条件是? a 0， 0. (3)ax2 bx c 0(a 0)在区间 a， b恒成立的充要条件是? f a 0，f b 0. (4)ax2 bx c 0(a 0)在区间 a， b恒成立的充要条件是?
4、 f a 0，f b 0. 2幂函数 y x ( R)的图像特征 (1) 0 时，图像过原点和 (1,1)，在第一象限的图像上升 (2) 0 时，图像不过原点，在第一象限的图像下降 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)二次函数 y ax2 bx c， x R，不可能是偶函数 ( ) (2)二次函数 y ax2 bx c， x a， b的最值一定是 4ac b24a .( ) (3)幂函数的图像一定经过点 (1,1)和点 (0,0) ( ) (4)当 n 0 时，幂函数 y xn在 (0， ) 上是增函数 ( ) 答案 (1) (2)
5、(3) (4) 2 (教材改编 )已知幂函数 f(x) x 的图像过点 (4,2)，若 f(m) 3，则实数 m 的值为 ( ) A 3 B 3 C 9 D 9 D 由题意可知 4 22 2，所以 12. 所以 f(x) x12 x， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 f(m) m 3?m 9. 3已知函数 f(x) ax2 x 5 的图像在 x 轴上方，则 a 的取值范围是 ( ) A ? ?0， 120 B ? ? ， 120 C ? ?120， D ? ? 120， 0 C 由题意知? a 0， 0， 即 ? a 0，1 20a 0， 得 a120. 4 (2017 贵阳适应性考试
6、(二 )二次函数 f(x) 2x2 bx 3(b R)零点的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 4 C 因为判别式 b2 24 0，所以原二次函数有 2 个零点，故选 C 5若二次 函数 y ax2 bx c 的图像与 x 轴交于 A( 2,0)， B(4,0)且函数的最大值为 9，则这个二次函数的表达式是 _ y x2 2x 8 设 y a(x 2)(x 4)，对称轴为 x 1， 当 x 1 时， ymax 9a 9， a 1， y (x 2)(x 4) x2 2x 8. (对应学生用书第 15 页 ) 求二次函数的解析式 已知二次函数 f(x)满足 f(2) 1， f( 1) 1，
7、且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式 解 法一 (利用一般 式 )： 设 f(x) ax2 bx c(a0) 由题意得? 4a 2b c 1，a b c 1，4ac b24a 8，=【 ;精品教育资源文库 】 = 解得? a 4，b 4，c 7. 所求二次函数为 f(x) 4x2 4x 7. 法二 (利用顶点式 )： 设 f(x) a(x m)2 n. f(2) f( 1)， 抛物线的图像的对称轴为 x 2 2 12. m 12.又根据题意函数有最大值 8， n 8. y f(x) a? ?x 12 2 8. f(2) 1， a? ?2 12 2 8 1，解得 a 4， f(x
8、) 4? ?x 12 2 8 4x2 4x 7. 法三 (利用零点式 )： 由已知 f(x) 1 0 的两根为 x1 2， x2 1， 故可设 f(x) 1 a(x 2)(x 1)， 即 f(x) ax2 ax 2a 1. 又函数的最大值是 8，即 4a 2a a24a 8，解得 a 4， 所求函数的解析式为 f(x) 4x2 4x 7. 规律方法 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下： 变式训练 1 已知二次函数 f(x)的图像经过点 (4,3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 x R，都有 f(2 x) f(2 x)，求 f(x)的解析
9、式 解 f(2 x) f(2 x)对 x R 恒成立， f(x)的对称轴为 x 2. 又 f(x)的图像被 x 轴截得的线段长为 2， f(x) 0 的两根为 1 和 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 设 f(x)的解析式为 f(x) a(x 1)(x 3)(a0) 又 f(x)的图像过点 (4,3)， 3a 3， a 1. 所求 f(x)的解析式为 f(x) (x 1)(x 3)， 即 f(x) x2 4x 3. 二次函数的图像与性质 角度 1 二次函数的最值问题 (1)(2017 广西一模 )若 xlog52 1，则函数 f(x) 4x 2x 1 3 的最小值为( ) A 4 B 3
10、 C 1 D 0 (2)(2017 安徽皖北第一次联考 )已知函数 f(x) x2 2ax 1 a 在区间 0,1上的最大值为 2，则 a 的值为 ( ) A 2 B 1 或 3 C 2 或 3 D 1 或 2 (1)A (2)D (1)xlog52 1?log52xlog 55 1?2x 15， 令 t 2x? ?t 15 ，则有 y t2 2t 3 (t 1)2 4， 当 t 1 15，即 x 0 时， f(x)取得最小值 4.故选 A (2)函数 f(x) (x a)2 a2 a 1 图像的对称轴为 x a，且开口向下，分三种情况讨论如下： 当 a0 时，函数 f(x) x2 2ax 1
11、 a 在区间 0,1上是减少的， f(x)max f(0) 1 a，由 1 a 2，得 a 1. 当 0 a1 时，函数 f(x) x2 2ax 1 a 在区间 0， a上是增加 的，在 a,1上是减少的， f(x)max f(a) a2 2a2 1 a a2 a 1， 由 a2 a 1 2，解得 a 1 52 或 a 1 52 . 0 a1 ， 两个值都不满足，舍去 当 a 1 时，函数 f(x) x2 2ax 1 a 在区间 0,1上是增加的， f(x)max f(1) 1 2a 1 a 2， a 2. 综上可知， a 1 或 a 2. 角度 2 二次函数中的恒成立问题 (1)已知函数 f
12、(x) x2 mx 1，若 对于任意 x m， m 1，都有 f(x) 0 成立，=【 ;精品教育资源文库 】 = 则实数 m 的取值范围是 _. 【导学号： 00090025】 (2)已知 a 是实数，函数 f(x) 2ax2 2x 3 在 x 1,1上恒小于零，则实数 a 的取值范围为 _ (1)? ? 22 ， 0 (2)? ? ， 12 (1)作出二次函数 f(x)的图像，对于任意 x m， m1，都 有 f(x) 0， 则有? f m 0，f m 0， 即? m2 m2 1 0，m 2 m m 1 0， 解得22 m 0. (2)由题意知 2ax2 2x 3 0 在 1,1上恒成立
13、当 x 0 时，适合； 当 x0 时， a 32? ?1x 13 2 16. 因为 1x ( ， 1 1， ) ，当 x 1 时，右边取最小值 12，所以 a 12. 综上，实数 a 的取值范围是 ? ? ， 12 . 规律方法 1.二次函数最值问题应抓住 “ 三点一轴 ” 数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 2由不等式恒成 立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是 a f(x)?a f(x)max， a f(x)?a f(x)min. 幂函数的图像与性质 (1)(2018 兰州模拟 )已知幂
14、函数 f(x) k x 的图像过点 ? ?12， 22 ，则 k 等于( ) A 12 B 1 C 32 D 2 (2)若 (2m 1)12 (m2 m 1)12，则实数 m 的取值范围是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A ? ? ， 5 12 B ? ?5 12 ， C ( 1,2) D ? ?5 12 ， 2 (1)C (2)D (1)由幂函数的定义知 k 1.又 f? ?12 22 ， 所以 ? ?12 22 ，解得 12，从而 k 32. (2)因为函数 y x12的定义域为 0， ) ， 且在定义域内为增函数， 所以不等式等价于? 2m 10 ，m2 m 10 ，2m 1 m2 m 1.解 2m 10 ，得 m 12； 解 m2 m 10 ，得 m 5 12 或 m 5 12 ； 解 2m 1 m2 m 1，得 1 m 2， 综上所述， m 的取值范围是 5 12 m 2. 规律方法 1.幂函数的形式是 y x ( R)，其中只有一个参数 ，因此只需一个条件即可确定其解析式 2在区间 (0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近 x 轴 (简记为 “ 指大图低 ”) ，在区间 (1， ) 上，幂函数中 指数越大，函数图像越远离 x
