1、2.5.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系成套的课件成套的教案成套的试成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全步资源大全QQ群群483122854 联系微信联系微信fjmath加入百度网盘群加入百度网盘群3500G一线老师必备资料一键转一线老师必备资料一键转存，自动更新，永不过期存，自动更新，永不过期讲课人：邢启强2直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交 相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d_ _代数法：消元得到一元二次方程的判别式_ _dr0 00由由直线与圆的位置关系
2、的判定方法：直线与圆的位置关系的判定方法：复习回顾复习回顾讲课人：邢启强3 切线方程的求法切线方程的求法1.求过圆上一点求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程的圆的切线方程:先求切点与圆心连线先求切点与圆心连线的斜率的斜率k,则由垂直关系则由垂直关系,切线斜率为切线斜率为-,由点斜式方程可求得切由点斜式方程可求得切线方程线方程.若若k=0或斜率不存在或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为则由图形可直接得切线方程为y=b或或x=a.2.求过圆外一点求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时的圆的切线时,常用几何方法求解常用几何方法求解设切线方程为设切线方程为y-y0=k(x-x0),即即kx
3、-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距由圆心到直线的距离等于半径离等于半径,可求得可求得k,进而切线方程即可求出进而切线方程即可求出.但要注意但要注意,此时的此时的切线有两条切线有两条,若求出的若求出的k值只有一个时值只有一个时,则另一条切线的斜率一定则另一条切线的斜率一定不存在不存在,可通过数形结合求出可通过数形结合求出.复习回顾复习回顾讲课人：邢启强4复习回顾复习回顾 求直线与圆相交时弦长的两种方法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法几何法:如图如图,直线直线l与圆与圆C交于交于A,B两点两点,设弦心距为设弦心距为d,圆的半圆的半讲课人：邢启强5例例1.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示
4、意图如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度圆拱跨度AB=20m,拱高拱高OP=4m,建造时每间建造时每间隔隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到的高度（精确到0.01m).例题讲评例题讲评分析：分析：建立如图所示的直角坐标系，要得到支柱建立如图所示的直角坐标系，要得到支柱A2P2的高度，的高度，只需求出点只需求出点P2的纵坐标的纵坐标.xy解：建立如图所示的直角坐标系，使线段解：建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为所在直线为x轴，轴，O为坐标原点，圆心在为坐标原点，圆心在y轴上，由题意，点轴上，由题意，点P,B的坐标分别为的坐标分别为（0
5、,4),(10,0),设圆心坐标是设圆心坐标是(0,b),圆的半径是圆的半径是r，那么圆的方程是，那么圆的方程是x2 2(yb)2 2r2 2.下面确定下面确定b和和r的值的值.因为因为P,B两点都在圆上，所以它们的坐标两点都在圆上，所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程都满足方程x2+(y-b)2=r2.于是，得于是，得到方程组到方程组 解得解得b=10.5,r2=14.52所以所以,圆的方程是圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52思考思考:如果不建立平面直角坐标系，你能解决这个问题吗？由此比较综合法和坐标法的特点。如果不建立平面直角坐标系，你能解决这个问题吗？由此比较综合
6、法和坐标法的特点。讲课人：邢启强6例题讲评例题讲评讲课人：邢启强7某圆拱桥的水面跨度某圆拱桥的水面跨度20m20m，拱高，拱高4m.4m.现有一船，宽现有一船，宽10m10m，水面以上高，水面以上高3m3m，这条船能否，这条船能否从桥下通过？从桥下通过？巩固练习巩固练习解建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系.依题意依题意,有有A(10,0)10,0),B(10,0)(10,0),P(0,4)(0,4),D(5,0)5,0)，E(5,0).(5,0).设所求圆的方程是设所求圆的方程是(xa)2 2(yb)2 2r2 2，解此方程组，得解此方程组，得a0 0，b10.510.5，r14.5.1
7、4.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2(y10.5)214.52(0y4).把点把点D的横坐标的横坐标x5代入上式，得代入上式，得y3.1.由于船在水面以上高由于船在水面以上高3 m,33.1，所以该船可以从桥下通过，所以该船可以从桥下通过.讲课人：邢启强8例例4一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西区域内，已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北处，港口位于小岛中心正北30km处处.如果轮如果轮船沿直线返港，那么它
8、是否会有触礁危险？船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？例题讲评例题讲评分析：分析：先画出示意图先画出示意图,了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离,如图如图,根据题意，建立根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险.解：以小岛的中心为原点解：以小岛的中心为原点O,东西方向为东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，轴，
9、建立如图所示的直角坐标系，为了运算的简便，我们取为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0,3),轮船所在位置的坐标为轮船所在位置的坐标为(4,0).由由=(-72)2-425800,可知方程组无解可知方程组无解.所以直线所以直线l与圆与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.思考思考:你还能用其他方法解决上述问题吗？你还能用其他方法解决上述问题吗？讲课人：邢启强9讲课人：邢启强10例题讲评例题讲评讲课人：邢启强11 用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、用坐标法解决几何
10、问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决平面几何问数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决平面几何问题的题的“三步曲三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代
11、数运算，解决代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果第三步：把代数运算的结果“翻译翻译”成几何结论成几何结论.方法总结方法总结比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？向量法是将点、线、面等几何要素用向量表示，对这些向量进行运算，然后把向量向量法是将点、线、面等几何要素用向量表示，对这些向量进行运算，然后把向量运算的结果运算的结果“翻译翻译”成关于点、线、面的相应结果，由于向量线性运算给向量表示成关于点、线、面的相应结果，由于向量线性运算给向量表示几何要素带来的便利性（由数乘向量和向量加法这两种
12、运算可以把平面内任意向量几何要素带来的便利性（由数乘向量和向量加法这两种运算可以把平面内任意向量表示成两个不共线向量的线性组合）表示成两个不共线向量的线性组合）,以及向量数量积运算在刻画长度与角度方面以及向量数量积运算在刻画长度与角度方面的强大功能，使得向量法在解决几何问题中发挥了巨大的作用，使许多问题的解决的强大功能，使得向量法在解决几何问题中发挥了巨大的作用，使许多问题的解决变得方便且简捷变得方便且简捷.讲课人：邢启强12巩固练习巩固练习讲课人：邢启强13坐标法证明几何问题坐标法证明几何问题例4.如图所示，在圆如图所示，在圆O上任取上任取C点为圆心，作圆点为圆心，作圆C与圆与圆O的直径的直
13、径AB相切相切于于D，圆，圆C与圆与圆O交于点交于点E，F，且，且EF与与CD相交于相交于H，求证：，求证：EF平分平分CD.例题讲评例题讲评证明以以AB所在直线为所在直线为x轴，轴，O为坐标原点，为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设建立平面直角坐标系，如图所示，设|AB|2r，D(a,0)，圆圆O：x2y2r2，EF平分平分CD.讲课人：邢启强14如图，直角如图，直角ABC的斜边长为定值的斜边长为定值2m，以斜边的中点，以斜边的中点O为圆心作半径为为圆心作半径为n的圆，直线的圆，直线BC交圆于交圆于P，Q两点，求证：两点，求证：|AP|2|AQ|2|PQ|2为定值为定值.证明如图，以
14、如图，以O为坐标原点，以直线为坐标原点，以直线BC为为x轴，建立平面直角坐标系，轴，建立平面直角坐标系，于是有于是有B(m,0)，C(m,0)，P(n,0)，Q(n,0).设设A(x，y)，由已知，点，由已知，点A在圆在圆x2y2m2上上.|AP|2|AQ|2|PQ|2(xn)2y2(xn)2y24n22x22y26n22m26n2(定值定值).巩固练习巩固练习讲课人：邢启强15设半径为设半径为3 km3 km的圆形村落，的圆形村落，A A、B B两人同时从村落中心出发，两人同时从村落中心出发，A A向东，向东，B B向北，向北，A A出村后不久出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向
15、前进，后来恰好与改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B B相遇，设相遇，设A A、B B两人的速度两人的速度一定，其比为一定，其比为3 31 1，问，问A A、B B两人在何处相遇？两人在何处相遇？巩固练习巩固练习解由题意以村中心为原点，正东方向为由题意以村中心为原点，正东方向为x轴的正方向，轴的正方向，正北方向为正北方向为y轴的正方向，建立直角坐标系，如图，轴的正方向，建立直角坐标系，如图，设设A、B两人的速度分别为两人的速度分别为3v km/h，v km/h，设设A出发出发a h，在，在P处改变方向，又经过处改变方向，又经过b h到达相遇点到达相遇点Q，则则P(3av,0
16、)，Q(0，(ab)v)，则则|PQ|3bv，|OP|3av，|OQ|(ab)v.在在RtOPQ中，中，|PQ|2|OP|2|OQ|2得得5a4b.由由PQ与圆与圆x2y29相切，相切，讲课人：邢启强161.一辆卡车宽一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道，要经过一个半圆形隧道(半径为半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A.1.4 m B.3.5 m C.3.6 m D.2.0 m巩固练习巩固练习B2.据气象台预报：在据气象台预报：在A城正东方城正东方300 km的海面的海面B处有一台风中心，正以每小时处有一台风中心，
17、正以每小时40 km的的速度向西北方向移动，在距台风中心速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响以内的地区将受其影响.从现在起经过约从现在起经过约_h，台风将影响，台风将影响A城，持续时间约为城，持续时间约为_h(结果精确到结果精确到0.1 h).答案2.06.6讲课人：邢启强17一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域。已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？.xOy港口港口BCAD巩固练习巩固练习讲课人：邢启强18(1)平面几何问题通
18、常要用坐标法来解决，具体步骤如下：平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题.通过代数运算，解决代数问题通过代数运算，解决代数问题.把代数运算结果把代数运算结果“翻译翻译”成实际或几何结论成实际或几何结论.(2)建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则：建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则：若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴.常选特殊点作为直角坐标系的原点常选特殊点作为直角坐标系的原点.尽量使已知点位于坐标轴上尽量使已知点位于坐标轴上.建立适当的直角坐标系，会简化运算过程建立适当的直角坐标系，会简化运算过程.课堂小结课堂小结
