1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第二节 等差数列及其前 n 项和 考纲传真 (教师用书独具 )1.理解等差数列的概念 .2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式 .3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题 .4.了解等差数列与一次函数的关系 (对应学生用书第 82 页 ) 基础知识填充 1等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从 第 2 项 起，每一项与前一项的 差 都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列用符号表示为 an 1 an d(n N ， d 为常数 ) (2)等差中项：如果在 a 与 b 中间插入一 个数 A，使 a， A
2、， b 成等差数列，那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项，即 A a b2 . 2等差数列的有关公式 (1)通项公式： an a1 (n 1)d， an am (n m)d. (2)前 n 项和公式： Sn na1 n(n 1)d2 n(a1 an)2 . 3等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广： an am (n m)d(n， m N ) (2)若 an为等差数列，且 k l m n(k， l， m， n N )，则 ak al am an. (3)若 an是 等差数列，公差为 d，则 a2n也是等差数列，公差为 2d. (4)若 an， bn是等差数列，则 pan qbn也是等差数列
3、 (5)若 an是等差数列，公差为 d，则 ak， ak m， ak 2m， ?( k， m N )是公差为 md 的等差数列 4等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Sn d2n2 ? ?a1d2 n. 5等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列 an中， a1 0， d 0，则 Sn存在最 大 值；若 a1 0， d 0，则 Sn存在最 小 值 知识拓展 an为等差数列， Sn是 an前 n 项和 (1)若 an m， am n，则 am n 0， (2)若 Sm n， Sn m，则 Sm n (m n)， (3)若 Sm Sk(m k)，则 Sm k 0. 基本能力自测 =【 ;精品教
4、育资源文库 】 = 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列 ( ) (2)数列 an为等差数列的充要条件是对任意 n N ，都有 2an 1 an an 2.( ) (3)等差数列 an的单调性是由公差 d 决定的 ( ) (4)数列 an为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数 ( ) (5)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S3 6， a3 0，
5、则公差 d 等于 ( ) A 1 B 1 C 2 D 2 D 依题意得 S3 3a2 6，即 a2 2，故 d a3 a2 2，故选 D 3在等差数列 an中，若 a2 4， a4 2，则 a6等于 ( ) A 1 B 0 C 1 D 6 B 由等差数列的性质，得 a6 2a4 a2 22 4 0，选 B 4 (2015 全国卷 ) 设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 a1 a3 a5 3，则 S5 ( ) A 5 B 7 C 9 D 11 A a1 a3 a5 3a3 3?a3 1， S5 5(a1 a5)2 5a3 5. 5 (教材改编 )在等差数列 an中，若 a3 a4 a5
6、a6 a7 450，则 a2 a8 _. 180 由等差数 列的性质，得 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 450， a5 90， a2 a8 2a5 180. (对应学生用书第 82 页 ) 等差数列的基本运算 (1)(2017 全国卷 ) 记 Sn为等差数列 an的前 n 项和若 a4 a5 24， S6 48，则an的公差为 ( ) A 1 B 2 C 4 D 8 (2)设 Sn为等差数列 an的前 n 项和， a12 8， S9 9，则 S16 _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 【导学号： 79140171】 (1)C (2) 72 (1)设 an的公差为 d，则 由? a4
7、 a5 24，S6 48， 得? (a1 3d) (a1 4d) 24，6a1 652 d 48， 解得 d 4. 故选 C (2)设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d， 由已知，得? a12 a1 11d 8，S9 9a1 982 d 9， 解得 ? a1 3，d 1. 所以 S16 163 16152 ( 1) 72. 规律方法 解决等差数列运算问题的思想方法 方程思想：等差数列的基本量为首项 a1和公差 d，通常利用已知条件及通项公式或前n 项和公式列方程 组 求解，等差数列中包含 a1， d， n， an， Sn五个量，可 “ 知三求二 ”. 整体思想：当所给条件只有一个时，可将
8、已知和所求都用 a1， d 表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解 . 利用性质：运用等 差数列性质可以化繁为简、优化解题过程 . 跟踪训练 (1)(2017 云南省二次统一检测 )设等差数列 an的前 n 项和为 Sn， S11 22，a4 12，若 am 30，则 m ( ) A 9 B 10 C 11 D 15 (2)张邱建算经卷上第 22 题为：今有女善织，日益功疾 (注：从第 2 天起每天比前一天多织相同量的布 )，第 1 天织 5 尺布，现在一月 (按 30 天计 )，共织 390 尺布，则第 2 天织布的尺数为 ( ) A 16129 B 16131 C 8115 D 8015
9、 (1)B (2)A (1) 设 等 差 数 列 an 的 公 差 为 d ， 依 题 意? S11 11a111 (11 1)2 d 22，a4 a1 3d 12，解得? a1 33，d 7， =【 ;精品教育资源文库 】 = am a1 (m 1)d 7m 40 30， m 10. (2)由条件知该女子每天织布的尺数构成一个等差数列 an，且 a1 5， S30 390，设公差为 d，则 305 30292 d 390，解得 d 1629，则 a2 a1 d 16129 ，故选 A 等差数列的判定与证明 (2017 全国卷 ) 记 Sn为等比数列 an的前 n 项和已知 S2 2， S3
10、6. (1)求 an的通项公式； (2)求 Sn，并判断 Sn 1， Sn， Sn 2是否成等差数列 解 (1)设 an的公比为 q.由题设可得 ? a1(1 q) 2，a1(1 q q2) 6. 解得 q 2， a1 2. 故 an的通项公式为 an ( 2)n. (2)由 (1)可得 Sn a1(1 qn)1 q 23 ( 1)n2n 13 . 由于 Sn 2 Sn 1 43 ( 1)n2n 3 2n 23 2? ? 23 ( 1)n 2n 13 2Sn， 故 Sn 1， Sn， Sn 2成等差数 列 规律方法 等差数列的四种判断方法 定义法： an 1 an d d 是常数 ?an是等差
11、数列 .可用来判定与证明 . 等差中项法： 2an 1 an an 2 n N ?an是等差数列 .可用来判定与证明 . 通项公式： an pn q p， q 为常数 ?an是等差数列 . 前 n 项和公式： Sn An2 Bn A， B 为常数 ?an是等差数列 . 跟踪训练 (1)在数列 an中，若 a1 1， a2 12， 2an 1 1an 1an 2(n N )，则该数列的通项为 ( ) A an 1n B an 2n 1 C an 2n 2 D an 3n (2)已知数列 an中， a1 35， an 2 1an 1(n2 ， n N )，数列 bn满足 bn 1an 1(n N
12、) =【 ;精品教育资源文库 】 = 求证：数列 bn是等差数列 求数列 an中的通项公式 an. (1)A 由已知式 2an 1 1an 1an 2可得 1an 11an1an 21an 1，知 ?1an是首项为 1a1 1，公差为 1a2 1a1 2 1 1 的等差数列，所以 1an n，即 an 1n. (2) 证明：因 为 an 2 1an 1(n2 ， n N )， bn 1an 1. 所以 n2 时， bn bn 1 1an 1 1an 1 1 1?2 1an 1 1 1an 1 1 an 1an 1 1 1an 1 1 1. 又 b1 1a1 1 52， 所以数 列 bn是以 5
13、2为首项， 1 为公差的等差数列 由 (1)知， bn n 72， 则 an 1 1bn 1 22n 7. 等差数列的性质及最值 (1)(2018 东北三省三校二联 )等差数列 an中， a1 a3 a5 39， a5 a7 a9 27，则数列 an的前 9 项的和 S9等于 ( ) A 66 B 99 C 144 D 297 (2)在等差数列 an中，已知 a1 10，前 n 项和为 Sn，若 S9 S12，则 Sn取 得最大值时，n _， Sn的最大值为 _. 【导学号： 79140172】 (1)B (2)10 或 11 55 (1)根据等差数列的性质知 a1 a3 a5 3a3 39，
14、可得 a3 13.由 a5 a7 a9 3a7 27，可得 a7 9，故 S9 9(a1 a9)2 9(a3 a7)2 99，故选 B =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)法一：因为 a1 10， S9 S12， 所以 910 982 d 1210 12112 d， 所以 d 1. 所以 an n 11. 所以 a11 0，即当 n10 时， an 0， 当 n12 时， an 0， 所以当 n 10 或 11 时， Sn取得最大值，且最大值为 S10 S11 1010 1092 ( 1)55. 法二：同法一求得 d 1. 所以 Sn 10n n(n 1)2 ( 1) 12n2 212n
15、12? ?n 2122 4418 . 因为 n N ，所以当 n 10 或 11 时， Sn有最大值，且最大值为 S10 S11 55. 法三：同法一求得 d 1. 又由 S9 S12得 a10 a11 a12 0. 所以 3a11 0，即 a11 0. 所以当 n 10 或 11 时， Sn有最大值 且最大值为 S10 S11 55. 规律方法 1.等差数列的性质 项的性质：在等差数列 an中， am an m n d?am anm n d m n ，其几何意义是点 n， an ， m， am 所 在直线的斜率等于等差数列的公差 . 和的性质：在等差数列 an中， Sn为其前 n 项和，则 S2n n a1 a2n ? n an an 1 S2n 1 n an. 2.求等差数列前 n 项和 Sn最值的两种方法 函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn an2 bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解 . 邻项变号法 .
