1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (五十六 ) 直线与圆锥曲线的位置关系 A 组 基础达标 一、选择题 1若直线 y kx 与双曲线 x29y24 1 相交，则 k 的取值范围是 ( ) A.? ?0， 23 B.? ? 23， 0 C.? ? 23， 23 D.? ? ， 23 ? ?23， C 双曲线 x29y24 1 的渐近线方程为 y 23x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ? ? 23， 23 . 2已知直线 y 2 2(x 1)与抛物线 C： y2 4x 交于 A， B 两点 ，点 M( 1， m)，若 MA MB 0，则 m ( ) A. 2 B. 22 C.1
2、2 D 0 B 由 ? y 2 2(x 1)，y2 4x， 得 A(2,2 2)， B? ?12， 2 . 又 M( 1， m)且 MA MB 0， 2 m2 2 2m 1 0，解得 m 22 . 3直线 y kx 2 与抛物线 y2 8x 有且只有一个公共点，则 k 的值为 ( ) 【导学号： 79140306】 A 1 B 1 或 3 C 0 D 1 或 0 D 由? y kx 2，y2 8x， 得 k2x2 (4k 8)x 4 0，若 k 0，则 y 2，符合题意 若 k 0，则 0， 即 64 64k 0，解得 k 1， 所以直线 y kx 2 与抛物线 y2 8x 有且只有一个共公点
3、时， k 0 或 1. 4 (2017 河南重点中学联考 )已知直线 l： y 2x 3 被椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)截得的=【 ;精品教育资源文库 】 = 弦长为 7，则下列直线中被椭圆 C 截得的弦长一定为 7 的有 ( ) y 2x 3； y 2x 1； y 2x 3； y 2x 3. A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 C 直线 y 2x 3 与直线 l 关于原点对称，直线 y 2x 3 与 直线 l 关于 x 轴对称，直线 y 2x 3 与直线 l 关于 y 轴对称，故有 3 条直线被椭圆 C 截得的弦长一定为 7. 5已知椭圆 E： x2a2y2b2
4、 1(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A， B 两点若AB 的中点坐标为 (1， 1)，则 E 的方程为 ( ) A.x218y29 1 B.x227y218 1 C.x236y227 1 D.x245y236 1 A 因为直线 AB 过点 F(3,0)和点 (1， 1)，所以直线 AB 的方程为 y 12(x 3)，代入椭圆方程 x2a2y2b2 1 消去 y，得 ?a24 b2 x2 32a2x 94a2 a2b2 0， 所以 AB 的中点的横坐标为32a22? ?a24 b2 1，即 a2 2b2.又 a2 b2 c2，所以 b c 3， a3 2， 所以
5、E 的方程为 x218y29 1. 二、填空题 6已知倾斜角为 60 的直线 l 通过抛物线 x2 4y 的焦点，且与抛物线相交于 A， B 两点，则弦 AB 的长为 _ 16 直线 l 的方程为 y 3x 1， 由 ? y 3x 1，x2 4y， 得 y2 14y 1 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 14， 所以 |AB| y1 y2 p 14 2 16. 7已知 (4,2)是直线 l 被椭圆 x236y29 1 所截得的线段的中点，则 l 的方程是 _ x 2y 8 0 设直线 l 与椭圆相交于 A(x1， y1)， B(x2， y2) 则 x2136y
6、219 1，且x2236y229 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 两式相减得 y1 y2x1 x2 x1 x24(y1 y2). 又 x1 x2 8， y1 y2 4， 所以 y1 y2x1 x2 12，故直线 l 的方程为 y 2 12(x 4)，即 x 2y 8 0. 8已知椭圆 x24y2b2 1(00) 图 892 (1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程； (2)当 p 1 时，若抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.求线段 PQ 的中点 M 的坐标 解 (1)抛物线 C： y2 2px(p0)的焦点为 ? ?p2， 0 . 由点 ?
7、 ?p2， 0 在直线 l： x y 2 0 上， 得 p2 0 2 0，即 p 4. 所以抛物线 C 的方程为 y2 8x. (2)当 p 1 时，曲线 C： y2 2x. 设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，线段 PQ 的中点 M(x0， y0) 因为点 P 和 Q 关于直线 l 对称，所以直线 l 垂直平分线段 PQ， 于是直线 PQ 的斜率为 1，则可设其方程为 y x b. 由? y x b，y2 2x， 消去 x，得 y2 2y 2b 0. 因为 P 和 Q 是抛物线 C 的两相异点，则 y1 y2. 从而 4 41( 2b) 8b 40.(*) 因此 y1 y2 2，所
8、以 y0 1. 又 M(x0， y0)在直线 l 上，所以 x0 1. 所以点 M(1， 1)，此时 b 0 满足 (*)式 故线段 PQ 的中点 M 的坐标为 (1， 1) =【 ;精品教育资源文库 】 = B 组 能力提升 11 (2017 全国卷 ) 过抛物线 C： y2 4x 的焦点 F，且斜率为 3的直线交 C 于点 M(M 在 x轴的上方 )， l 为 C 的准线，点 N 在 l 上，且 MN l，则 M 到直线 NF 的距离为 ( ) A. 5 B 2 2 C 2 3 D 3 3 C 抛物线 y2 4x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x 1.由直线方程的点斜式可得直线MF
9、的方程为 y 3(x 1) 联立得方程组 ? y 3(x 1)，y2 4x， 解得? x 13，y 2 33或 ? x 3，y 2 3. 点 M 在 x 轴的上方， M(3,2 3) MN l， N( 1,2 3) | NF| (1 1)2 (0 2 3)2 4， |MF| |MN| (3 1)2 (2 3 2 3)2 4. MNF 是边长为 4 的等边三角形 点 M 到直线 NF 的距离为 2 3. 故选 C. 12 (2017 青岛质检 )过双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a，则 C 的离心率为
10、 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 3 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率为 ba，又直线 l 过右焦点F(c,0)，则直线 l 的方程为 y ba(x c) 因为点 P 的横坐标为 2a，代入双曲线方程得 4a2a2 y2b2 1， 化简得 y 3b 或 y 3b(点 P 在 x 轴下方，故舍去 ) 故点 P 的坐标为 (2a， 3b)， 代入直线方程得 3b ba(2a c)， 化简可得离心率 e ca 2 3. 13 (2018 广州综合测试 (二 )已知定点 F(0,1)，定直线 l： y 1，动圆 M 过点 F，且与直线 l 相切 (1)求动圆 M 的圆心轨迹 C
11、 的方程； (2)过点 F 的直线与曲线 C 相交于 A， B 两点，分别过点 A， B 作曲线 C 的切线 l1， l2两条切线相交于点 P，求 PAB 外接圆面积的最小值 . 【导学号： 79140308】 解 (1)法一：设圆心 M 到直线 l 的距离为 d， 由题意 |MF| d. 设圆心 M(x， y)，则有 x2 (y 1)2 |y 1|. 化简得 x2 4y. 所以点 M 的轨迹 C 的方程为 x2 4y. 法二：设圆心 M 到直线 l 的距离为 d， 由题意 |MF| d. 根据抛物线的定义可知，点 M 的轨迹为抛物线， 焦点为 F(0,1)，准线为 y 1. 所以点 M 的轨
12、迹 C 的方程为 x2 4y. (2)法一：设 lAB： y kx 1， 代入 x2 4y 中，得 x2 4kx 4 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 x1 x2 4k， x1x2 4. 所以 |AB| 1 k2| x1 x2| 4(k2 1) 因为曲线 C： x2 4y，即 y x24，所以 y x2. 所以直线 l1的斜率为 k1 x12， 直线 l2的斜率为 k2 x22. 因为 k1k2 x1x24 1， 所以 PA PB，即 PAB 为直角三角形 所以 PAB 的外接圆的圆心为线段 AB 的中点，线段 AB 是外接圆的直径 因
13、为 |AB| 4(k2 1)，所以当 k 0 时，线段 AB 最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小，最小面积为 4. 法二：设 lAB： y kx 1， 代入 x2 4y 中，得 x2 4kx 4 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 x2 4k， x1x2 4. 所以 |AB| 1 k2| x1 x2| 4(k2 1) 因为曲线 C： x2 4y，即 y x24，所以 y x2. 所以直线 l1的方程为 y y1 x12(x x1)， 即 y x12x x214. 同理可得直线 l2的方程为 y x22x x224. 联立 ，解得? x x1 x22 ，y x1x
14、24 ，即 P(2k， 1) 因为 PA PB (x1 2k， y1 1)( x2 2k， y2 1) x1x2 2k(x1 x2) 4k2 y1y2 (y1 y2) 1 0， 所以 PA PB，即 PAB 为直角三角形 所以 PAB 的外接圆的圆心为线段 AB 的中点，线段 AB 是外接圆的直径 因为 |AB| 4(k2 1)，所以当 k 0 时，线段 AB 最短，最短长度为 4，此时圆的面积最=【 ;精品教育资源文库 】 = 小，最小面积为 4. 法三：设 lAB： y kx 1，由对称性不妨设点 A 在 y 轴的左侧， 代入 x2 4y 中，得 x2 4kx 4 0. 解得 A(2k 2
15、 k2 1， 2k2 2k k2 1 1)， B(2k 2 k2 1， 2k2 2k k2 1 1) 所以 |AB| 4(k2 1) 因为曲线 C： x2 4y，即 y x24，所以 y x2. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2) 所以直线 l1的方程为 y y1 x12(x x1)， 即 y x12x x214. 同理可得直线 l2的方程为 y x22x x224. 联立 ，解得? x x1 x22 ，y x1x24 ，即 P(2k， 1) 因为 AB 的中点 M 的坐标为 (2k,2k2 1)， 所以 AB 的中垂线方程为 y (2k2 1) 1k(x 2k)， 因为 PA 的中垂线方程为 y (k2 k k2 1) (k k2 1)x (2k k2 1)， 联立上述两个方程，解得其交点坐标为 N(2k,2k2 1) 因为点 M， N 的坐标相同， 所以 AB 的中点 M 为 PAB 的外接圆的圆心 所以 PAB 是直角三角形，且 PA PB， 所以线段 AB 是 PAB 外接圆的直径 因为 |AB| 4(k2 1)， 所以当 k 0 时，线段 AB 最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小，最小面积为 4.
