1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 专题突破练 (五 ) 平面解析几何中的高考热点问题 (对应学生用书第 309 页 ) 1设 F1， F2分别是椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点， M 是 C 上一点且 MF2与 x 轴垂直，直线 MF1与 C 的另一个交点为 N. (1)若直线 MN 的斜率为 34，求 C 的离心率； (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 |MN| 5|F1N|，求 a， b. 解 (1)根据 c a2 b2及题设知 M? ?c， b2a ，b2a2c34， 2b2 3ac. 将 b2 a2 c2代入 2b2 3ac， 解得 ca 12， c
2、a 2(舍去 ) 故 C 的离心率为 12. (2)由题意，原点 O 为 F1F2的中点， MF2 y 轴， 所以直线 MF1与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1的中点， 故 b2a 4，即 b2 4a. 由 |MN| 5|F1N|得 |DF1| 2|F1N|. 设 N(x1， y1)，由题意知 y10，则 ? 2( c x1) c， 2y1 2， 即 ? x1 32c，y1 1.代入 C 的方程，得 9c24a21b2 1. 将 及 c a2 b2代入 得 9(a2 4a)4a2 14a 1. 解得 a 7， b2 4a 28，故 a 7， b 2 7. 2 (2018 海口调研 )
3、已知椭圆 E： x2a2y2b2 1(a b 0)经过点 ?52 ，32 ，离心率为2 55 ，点 O 为坐标原点 =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 2 (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)如图 2，过椭圆 E 的左焦点 F 任作一条不垂直于坐标轴的直线 l，交椭圆 E 于 P，Q 两点，记弦 PQ 的中点为 M, 过 F 作 PQ 的垂线 FN 交 直线 OM 于点 N，证明：点 N 在一条定直线上 解 (1)由题易得? 54a2 34b2 1，e2 1 b2a245，解得 ? a 5，b 1， 所以 c 2，所以椭圆 E 的方程为 x25 y2 1. (2)证明：设直线 l 的方程为
4、 y k(x 2)(k0) ， P(x1， y1)， Q(x2， y2)， 联立 y k(x 2)与 x25 y2 1， 可得 (1 5k2)x2 20k2x 20k2 5 0， 所以 x1 x2 20k21 5k2， x1x220k2 51 5k2 . 设直线 FN 的方程为 y 1k(x 2)， M(x0， y0)， 则 x0 x1 x22 10k21 5k2， y0 k(x0 2)2k1 5k2， 所以 kOM y0x0 15k， 所 以直线 OM 的方程为 y 15kx， 联立? y 15kx，y 1k(x 2).解得? x 52，y 12k，所以点 N 在定直线 x 52上 3 (2
5、018 合肥二检 )如图 3，已知抛物线 E： y2 2px(p 0)与圆 O： x2 y2 8 相交于 A， B=【 ;精品教育资源文库 】 = 两点，且点 A 的横坐标为 2.过劣弧 AB 上一动点 P(x0， y0)作圆 O 的切线交抛物线 E 于 C，D 两点，分别以 C， D 为切点作抛物线 E 的切线 l1， l2， l1与 l2相交于点 M. 图 3 (1)求抛物线 E 的方程； (2)求点 M 到直线 CD 距离的最大值 解 (1)由 xA 2 得 y2A 4，故 4p 4，解得 p 1. 于是抛物线 E 的方程为 y2 2x. (2)设 C? ?y212， y1 ， D?y2
6、22， y2 ， 切线 l1： y y1 k? ?x y212 ， 代入 y2 2x 得 ky2 2y 2y1 ky21 0， 由 4 4k(2y1 ky21) 0 解得 k 1y1， l1的方程为 y 1y1x y12， 同理， l2的方程为 y 1y2x y22. 联立? y 1y1x y12，y 1y2x y22，解得? x y1 y22 ，y y1 y22 ，易得 CD 的方程为 x0x y0y 8， 其中 x0， y0满足 x20 y20 8， x02,2 2 联立? y2 2x，x0x y0y 8， 得 x0y2 2y0y 16 0， 则? y1 y2 2y0x0，y1 y2 16
7、x0，代入? x y1 y22 ，y y1 y22 ，=【 ;精品教育资源文库 】 = M(x， y)满足? x 8x0，y y0x0，即点 M 的坐标 为 ? ? 8x0， y0x0. 点 M 到直线 CD： x0x y0y 8 的距离 d ? ? 8 y20x0 8x20 y20 y20x0 162 2 8 x20x0 162 2 8x0 x0 162 2为关于 x0的单调递减函数，故当且仅当 x0 2 时， dmax 182 2 9 22 . 4 (2018 陕西质检 (一 )已知 F1， F2为椭圆 E： x2a2y2b2 1(a b 0)的左、右焦点，点 P?1， 32在椭圆上，且
8、|PF1| |PF2| 4. (1)求椭圆 E 的方程； (2)过 F1的直线 l1， l2分别交 椭圆 E 于 A， C 和 B， D，且 l1 l2，问是否存在常数 ，使得 1|AC|， ， 1|BD|成等差数列？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由 . 解 (1)| PF1| |PF2| 4， 2 a 4， a 2. 椭圆 E 的方程为 x24y2b2 1. 将 P? ?1， 32 代入可得 b2 3， 椭圆 E 的方程为 x24y23 1. (2)存在 当 AC 的斜率为零或斜率不存在时， 1|AC|1|BD|1314712； 当 AC 的斜率 k 存在且 k0 时， 设 AC 的
9、方程为 y k(x 1)， 代入椭圆方程 x24y23 1，并化简得 (3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 0. 设 A(x1， y1)， C(x2， y2)， 则 x1 x2 8k23 4k2， x1 x24k2 123 4k2 ， |AC| 1 k2|x1 x2| =【 ;精品教育资源文库 】 = (1 k2)(x1 x2)2 4x1 x2 12(1 k2)3 4k2 . 同理， 直线 BD 的斜率为 1k， | BD|12? ?1 ? ? 1k23 4? ? 1k2 12(1 k2)3k2 4 . 1|AC| 1|BD| 3 4k212(1 k2)3k2 412(1 k2)712. 综上， 2 1|AC| 1|BD| 712， 724. 存在常数 724，使得 1|AC|， ， 1|BD|成等差数列
