1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 7.7.1 空间角 课 时 跟 踪 检 测 1 (2017 年天津卷 )如图，在三棱锥 P ABC 中， PA 底面 ABC， BAC 90. 点 D， E，N 分别为棱 PA， PC， BC 的中点， M 是线段 AD 的中点， PA AC 4， AB 2. (1)求证： MN 平面 BDE； (2)求二面角 C EM N 的正弦值； (3)已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 721，求线段 AH 的长 解：如图，以 A 为原点，分别以 AB ， AC ， AP 方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立空间直角坐标系
2、 依题意可得 A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(0,4,0)， P(0,0,4)， D(0,0,2)， E(0,2,2)， M(0,0,1)，N(1,2,0) (1)证明： DE (0,2,0)， DB (2,0， 2) 设 n (x， y， z)为平面 BDE 的法向量， 则? n DE 0，n DB 0，即? 2y 0，2x 2z 0. 不妨设 z 1，可得 n (1,0,1) 又 MN (1,2， 1)，可得 MN n 0. 因为 MN?平面 BDE， 所以 MN 平面 BDE. (2)易知 n1 (1,0,0)为平面 CEM 的一个法向量 设 n2 (x1， y1， z1)为
3、平面 EMN 的 法向量， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则? n2 EM 0，n2 MN 0.因为 EM (0， 2， 1)， MN (1,2， 1)， 所以? 2y1 z1 0，x1 2y1 z1 0. 不妨设 y1 1，可得 n2 ( 4,1， 2) 因此有 cos n1， n2 n1n 2|n1|n2| 421， 于是 sin n1， n2 10521 . 所以二面角 C EM N 的正弦值为 10521 . (3)依题意，设 AH h(0 h4) ，则 H(0,0， h)，进而可得 NH ( 1， 2， h)， BE (2,2,2)由已知得 |cos NH ， BE | |NH
4、BE |NH |BE | |2h 2|h2 52 3 721， 整理得 10h2 21h 8 0，解得 h 85或 h 12. 所以线段 AH 的长为 85或 12. 2.如图，四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD， AD BC， AB AD AC 3， PA BC 4， M为线段 AD 上一点， AM 2MD， N 为 PC 的中点 (1)证明： MN 平面 PAB； (2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值 解： (1)证明：由已知得 AM 23AD 2. 如图，取 BP 的中点 T，连接 AT， TN， 由 N 为 PC 中点知 TN BC， TN 12BC 2.
5、=【 ;精品教育资源文库 】 = 又 AD BC， 故 TN 綊 AM，四边形 AMNT 为平行四边形， 于是 MN AT. 因为 AT?平面 PAB， MN?平面 PAB， 所以 MN 平面 PAB. (2)如图，取 BC 的 中点 E，连接 AE. 由 AB AC 得 AE BC，从而 AE AD， 且 AE AB2 BE2 AB2 ? ?BC2 2 5. 以 A 为坐标原点，分别以 AE ， AD ， AP 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz. 由题意知， P(0,0,4)， M(0,2,0)， C( 5， 2,0)， N? ?52 ，
6、1， 2 ，则 PM (0,2， 4)， PN ? ?52 ， 1， 2 . 设 n (x， y， z)为平面 PMN 的法向量， 则? n PM 0，n PN 0，即? 2y 4z 0，52 x y 2z 0.取 z 1 可得 n (0,2,1) 于是 |cos n， AN | |n AN |n|AN | 8 525 . 所以直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 8 525 . 3 (2018 届 沈阳市教学质量监测 )如图，在长方体 AC1中， AD AB 2， AA1 1， E 为 D1C1的中点 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)在所给图中画出平面 ABD1与平面 B1E
7、C 的交线 (不必说明理由 )； (2)证明： BD1 平面 B1EC； (3)求平面 ABD1与平面 B1EC 所成锐二面角的余弦值 解： (1)连接 BC1交 B1C 于 M，连接 ME，则直线 ME 即为平面 ABD1与平面 B1EC 的交线，如图所示 (2)证明：在长方体 AC1中， DA， DC， DD1两两垂直，于是以 D 为坐标原点， DA， DC， DD1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角 坐标系， 因为 AD AB 2， AA1 1， 所以 D(0,0,0)， A(2,0,0)， D1(0,0,1)， B(2,2,0)， B1(2,2,1)， C(0,2
8、,0)， E(0,1,1) 所以 BD1 ( 2， 2,1)， CB1 (2,0,1)， CE (0， 1,1)， 设平面 B1EC 的法向量为 m (x， y， z)， 所以 CB1 m， CE m， 从而有，? CB1 m 0，CE m 0，即? 2x z 0，y z， 不妨令 x 1， 得到平面 B1EC 的一个法向量为 m ( 1,2,2)， 而 BD1 m 2 4 2 0， 所以 BD1 m， 又因为 BD1?平面 B1EC， 所以 BD1 平面 B1EC. (3)由 (2)知 BA (0， 2,0)， BD1 ( 2， 2,1)， 设平面 ABD1的法向量为 n (x1， y1，
9、z1)， 所以 BA n， BD1 n，从而有 =【 ;精品教育资源文库 】 = ? BA n 0，BD1 n 0，即? 2y1 0， 2x1 2y1 z1 0， 不妨令 x1 1， 得到平面 ABD1的一个法向量为 n (1,0,2)， 因为 cos m， n mn|m|n| 1 43 5 55 ， 所以平面 ABD1与平面 B1EC 所成锐二面角的余弦值为 55 . 4如图 1，已知正三角形 ABC，以 AB， AC 为边在同一平面内向外作正三角形 ABE 与 ACD，F 为 CD 中点，分别沿 AB， AF 将 平面 ABE，平面 ADF 折成直二面角，连接 EC， CD，如图 2 所示
10、 (1)求证： CD 平面 ABE； (2)求二面角 E AC B 的余弦值 解： (1)证明：取 AB 的中点 G，连接 EG，则 EG AB， 由题意知二面角 C AB E 为直二面角， EG 平面 ABCF. F 为 CD 的中点， AC AD， AF FC， AF FD. 又二面角 C AF D 为直二面角， DF 平面 ABCF， DF EG. 由题意知 BAC ACF 60 ， CF AB， 又 DF CF F， EG AB G， 平面 CDF 平面 ABE， 又 CD? 平面 DCF， CD 平面 ABE. (2)连接 GC，由于 AC BC，所以 GC AB 于点 G，以 G
11、为坐标原点， GB， GC， GE 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， =【 ;精品教育资源文库 】 = 设 ABC 的边长为 2， GE GC 3， 则 G(0,0,0)， C(0， 3， 0)， A( 1,0,0)， E(0,0， 3)， B(1,0,0)， AE (1,0， 3)， AC (1， 3， 0)， AB (2,0,0)， 设平面 AEC 的一个法向量为 m (x， y， z)， 则? m AE 0，m AC 0，即 ? x 3z 0，x 3y 0，取 x 3，得 y 1， z 1， m ( 3， 1,1) 同理可知平面 ABC 的一个法向量为 n (0,0,1)， 那么 cos m， n mn|m|n| 151 55 ， 又二面角 E AC B 为锐角， 二面角 E AC B 的余弦值为 55 .
